Расстояние между точками на координатной прямой
Исходные данные: координатная линия Ox и лежащая на ней произвольная точка A. Каждой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А имеется некоторое число хА, которое также является координатой точки А.
В целом можно сказать, что оценка длины определенного отрезка происходит по сравнению с отрезком, принятым за единицу длины в данном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, то, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки — единицы длины, мы можем определить длину отрезка ОА по общему числу ожидающих одиночных отрезков.
Например, точке А соответствует цифра 3 — чтобы добраться до нее из точки О, нужно будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4, отдельные сегменты располагаются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом, в первом случае расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.
Если точка А имеет в качестве координаты рациональное число, откладываем от начала координат (точки О) целое число единичных отрезков, а затем необходимую часть. Но геометрически не всегда есть возможность произвести замер. Например, кажется сложным поставить 4111 на координатную дробь.
Приведенным выше способом совершенно невозможно нанести иррациональное число на прямую. Например, когда координата точки А равна 11. В этом случае можно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то ОА=хА (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем случае эти утверждения верны для любого действительного числа xA.
Резюме: расстояние от начала координат до точки, соответствующей вещественному числу на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- хА, если хА>0;
- -xA, если xA<0 .
В то же время очевидно, что длина самого отрезка не может быть отрицательной, поэтому под знаком модуля запишем расстояние от точки О до точки А с координатой хА: ОА=хА
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Те для точек A и B, которые лежат на одной координатной линии в любом месте и имеют координаты xA и xB соответственно: AB=xB-xA.
Расстояние между точками на плоскости
Вход: точки A и B, расположенные на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .
Проведем перпендикуляры к координатным осям Ох и Оу через точки А и В и получим в результате точки проекций: Ахе, Ау, Вх, Ву. В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты:
— если точки А и В совпадают, расстояние между ними равно нулю;
— если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси быка (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |ДаПо|. Так как расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA и, следовательно, AB=AyBy=yB-yA.
— если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (ось y) — аналогично предыдущему разделу: AB=AxBx=xB-xA
— если точки А и В не лежат на прямой, перпендикулярной одной из осей координат, находим расстояние между ними, выводя расчетную формулу:
Мы видим, что треугольник ABC прямоугольный по строению. В этом случае AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB — уА) 2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчетом по формуле с использованием координат этих точек
АВ=(хВ-хА)2+(уВ-уА)2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Итак, для случая совпадения точек А и В будет выполнено равенство: АВ=(хВ-хА)2+(уВ-уА)2=02+02=0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой линии, перпендикулярной оси x:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой линии, перпендикулярной оси y:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA
Читайте также: Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Расстояние между точками в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем плоскости, перпендикулярные осям координат, через точки A и B и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz
Расстояние между точками А и В является диагональю полученного прямоугольника. По построению измерения этого ящика: AxBx, AyBy и AzBz
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его размеров. На основании этого утверждения получаем равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2
Используя полученные нами ранее выводы, запишем следующее:
AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA
Преобразуем выражение:
AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2
Окончательная формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть так:
АВ=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Полученная формула справедлива и для случаев, когда:
— точки совпадают;
— лежат на одной оси координат или на прямой, параллельной одной из осей координат.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула расчета расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
АВ = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 - Формула расчета расстояния между двумя точками A(xa,ya,za) и B(xb,yb,zb) в пространстве:
AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Пример 1
Исходные данные: даны координатная линия и лежащие на ней точки с заданными координатами A(1-2) и B(11+2). Необходимо найти расстояние от точки отсчета О до точки А и между точками А и В.
Решение
- Расстояние от точки отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно ОА=1-2=2-1
- Расстояние между точками А и В определяется как модуль разности координат этих точек: АВ=11+2-(1-2)=10+22
Ответ: ОА=2-1, АВ=10+22
Пример 2
Исходные данные: дана прямоугольная система координат и две расположенные в ней точки A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ — действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2
Подставляя реальные значения координат получаем: AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16
А также воспользуемся существующим условием, что АВ = 5 и тогда будет верно равенство:
λ2+16=5λ2+16=25λ=±3
Ответ: АВ = 5, если λ = ± 3 .
Пример 3
Исходные данные: даны трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и расположенные в нем точки А (1, 2, 3) и В-7, -2, 4 .
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Подставляя реальные значения получаем: АВ=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9
Ответ: |АВ| = 9
