Равенство ⭐ двух векторов в геометрии: как доказать, какие нужны условия, примеры задач для 9 класса

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом. В некоторых учебниках вектор может называться направленным отрезком.

Вектор обозначается одной буквой латинского алфавита или двумя заголовками со стрелкой (в некоторых случаях — прямой) сверху.

Интересно, что порядок букв в имени вектора важен! Первая буква соответствует началу вектора, а последняя буква соответствует его концу. Поэтому это абсолютно разные векторы.

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

Те векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. На рисунке оба и коллинеарны, а относительно друг друга — нет.

Векторы различаются по направлению. Если векторы уже коллинеарны, они могут быть совмещены или направлены в противоположные стороны. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: Если они направлены в противоположные стороны, мы можем записать это следующим образом:

Равны те векторы, которые и коллинеарны, и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю собрание всего его массива, так.

Иногда в геометрию вводят дополнительные понятия, рассмотрим их:

• Неподвижный вектор — это отрезок с неупорядоченными концами: если С — начальная точка вектора, а Е — конечная, то (именно это мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).
• Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не зафиксированы. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он расположен, так и параллельно этой прямой. По сути, под свободным вектором понимается набор фиксированных векторов.

Читайте также: Квадрат

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения других действий с векторами нам необходимо поместить их в такую ​​систему координат, чтобы можно было определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат, которую можно использовать как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Тогда, если он расположен на плоскости, его координаты можно выразить как бы в пространстве —

Базисные векторы – это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси, в трехмерном пространстве они обозначают

Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на три основных вектора.

Что такое равенство двух векторов в геометрии

Основными характеристиками вектора в пространстве и на плоскости являются его длина и направление, и именно на этом основании основано определение равенства векторов.

Для начала введем понятие коллинеарности.

Определение 1

Коллинеарность — характеристика ненулевых векторов. Векторы коллинеарны, если они расположены на одной прямой или параллельной прямой. Коллинеарные векторы допускается называть параллельными.

Из определения нулевого вектора (вектора, начальная и конечная точки которого совпадают, а длина равна нулю) видно, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Если направления коллинеарных векторов совпадают, то они называются сонаправленными и обозначаются b→↑↑d→, если нет — противоположно направленными и обозначаются b→↑↓d→.

Определение 2

Те векторы, длины которых равны и направления которых совпадают, считаются равными.

Понятие, признаки, какие нужны условия

Понятие равенства векторов используется не только в геометрии, но и в алгебре, и особенно часто в физике, где силы, действующие на тела, представляются в векторной форме.

Необходимые признаки следуют из определения равных векторов. Итак, запасов достаточно, если:

• их модули или корзины доступности;
• они сонаправлены.

Остановитесь для более подробной информации на первом знаке. Модуль — длина вектора обзовления как left|overrightarrow bright|. Формула для вычисления длины вектора на плоскости выглядит следующим образом:

Формула

б→=х2+у2

Под корнем находится сумма координат вектора, то есть векторы равны, если доказано либо равенство их модулей, либо координат.

Необходимым условием равенства векторов является сочетание двух признаков: векторы должны быть выровнены и их длины равны.

Заметим, что наличие только одного из признаков не делает векторы равными. Таким образом, противоположно направленные векторы одинаковой длины не равны. Сонаправленные векторы с разными модулями величины также нельзя назвать равными.

Доказательство теоремы, формулы

Теорема

Равные векторы обладают следующими свойствами:

1. Вектор равен самому себе.
2. Для средних векторов языка тождество: b→=d→⇔d→=b→.
3. Если векторы равны третьему, то они равны между собой.

Доказательство. Первые два свойства непосредственно следуют из определения равенства векторов. Возможно третье свойство. Для этого воспользуемся правилом параллельного переноса. Пусть у нас есть три вектора, где b→=d→ и f→=d→. Начальная и конечная граминные почечные f→ совместимы с соответствующими граничными точками d→. Так как f→=d→, векторы совпадают. По соценке b→=d→, а если f→ и d→ совпали, то b→=f→. Теория доказана.

Кратко рассмотрим формулы математических операций с векторами, используемые для решения задач:

1. Умножение b→ на настрое k: d→=k·b→.
2. Сложение и считывание векторов производится по методу треугольников.

Противоположно направленные векторы

Вектор можно развернуть в противоположном направлении. С точки зрения математиков, для этого достаточно добавить к вектору знак минус.

Пример 1:

Векторы (vec{F} ) и (-vec{F} ) расширяются в противоположные стороны.

Когда векторы обозначаются двумя буквами, то:

Векторы (overrightarrow{AB} ) и (left(-overrightarrow{AB}right) ) направлены в противоположные стороны.

Вектор (left(-overrightarrow{AB} right) ) — это вектор (overrightarrow{BA} ).

На языке математики записи этовают так: (left(-overrightarrow{AB}right) = overrightarrow{BA} ).

Для вектора (overrightarrow{AB} ): точка A — начальная, B — конечная.

А для вектора (overrightarrow{BA} ) наоборот: точка B — начальная, A — конечная.

Когда координаты вектора заданы, для его расширения в обратную сторону необходимо изменить знак каждой его координаты на противоположный.

Пример 2:

Векторы (vec{a} = left{ -2; 7; -5 right} ) и (vec{b} = left{ 2; -7; 5 right} ) направлены в противоположные стороны.

Инжир. 2. Векторы на рисунках а) и б) имеют одинаковую длину и противоположные направления

Примечание:

Если только длины векторов равны, и они направлены в противоположные стороны, вы не сможете поставить между ними знак равенства. Такие векторы не равны!

(vec{a} = left{ -2; 7; -5 right} )

(vec{b} = left{ 2; -7; 5 right} )

(|vec{a} | = | vec{b} | ) – достаточно только языков векторов;

(vec{a} ne vec{b} ) – векторы не равны, так как их направления различны;

Физика, равные по модулю противоположно направленне векторы

В физике в третьем законе Ньютона мы говорим о равных по модулю и противоположно направленных векторах.

Мы помним третий закон Ньютона: (vec{F_{12}} = -vec{F_{21}} ) — длины векторов равны, а направления противоположны.

Для выравнивания таких векторов необходимо перед одним из них написать знак минус:

(vec{F_{12}} = -vec{F_{21}} ) или (-vec{F_{12}} = vec{F_{21}} )

Примеры задач на равенство векторов

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов доступности a = {1; 2}, б = {1; 2}, с = {3; 2}.

Решение:

a = b — так, чтобы их координаты были равны,
a ≠ c — так что их координаты не равны,
b ≠ c — так как их кородины не достаточны. Пример 2. При каком задании параметра n вектора a = {1; 8;} и б = {1; 2n}высокости.

Решение:

Проверим регенство компоненцион векторов
ах = Ьх = 1
ау = by => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b нагрузки.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов доступности a = {1; 2; 4}, б = {1; 2; 2}, с = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так, чтобы их координаты были равны,
a ≠ b — так что их координаты не равны,
b ≠ c — так как их кородины не достаточны. Пример 4. При каком задании параметра n вектора a = {1; 2; 4} и б = {1; 2; 2n}высокости.

Решение:

Проверим регенство компоненцион векторов
ах = Ьх = 1
ай = город = 2
аз = бз => 4 = 2n => п = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b нагрузки.