- Признаки равнобедренной трапеции
- Основные свойства равнобедренной трапеции
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
- Формулы равнобедренной трапеции
- Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
- Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
- Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
- Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
- Формулы площади равнобедренной трапеции:
- Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
- Задача
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция будет равнобедренной, если выполняется одно из следующих условий: 1. Углы при основании равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
АС=БД
3. Равные углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описать окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции
1. Сумма углов, прилежащих к стороне равнобедренной трапеции, равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то сторона равна средней линии трапеции:
АВ=CD=м
3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна половине суммы оснований (осевой линии):
ч = м
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, площадь трапеции равна квадрату высоты:
САВСD=h2
6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению оснований трапеции:
h2 = БК AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение оснований трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
ВЧ┴ВС, ВЧ┴АД
9. Высота (CP), опущенная от вершины (C) к большему основанию (AD), делит его на большой отрезок (AP), равный половине суммы оснований, и меньший (PD), равный половина разницы оснований:
АП = | БК+АД |
2 |
ПД = | AD-BC |
2 |
10. См также свойства трапеции
Свойство 1
Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.
- ∠DAB = ∠ADC = α
- ∠ABC = ∠DCB = β
Свойство 2
Сумма противоположных углов трапеции равна 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Читайте также: Как найти радиус вписанной в правильный многоугольник окружности: формула, пример
Свойство 3
Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.
АС=BD=d
Свойство 4
Высота равнобедренной трапеции ВЕ, опущенная на основание большей длины AD, делит ее на два отрезка: первый равен половине суммы оснований, второй — половине их разности.
Свойство 5
Отрезок MN, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярен этим основаниям.
Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, называется ее осью симметрии.
Свойство 6
Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Свойство 7
Если сумма оснований равнобедренной трапеции равна удвоенной длине стороны, то в нее можно вписать окружность.
Радиус такой окружности равен половине высоты трапеции, т.е. R = h/2.
Примечание: остальные свойства, применимые ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации — «Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.
Формулы равнобедренной трапеции
Рассмотрим распространенные выражения для расчета равнобедренной трапеции: ее площадь, высоту, диагонали.
Площадь равна одной секунде произведения высоты геометрической фигуры на половину суммы длин оснований.
Если высота неизвестна, но есть стороны — с, прибегают к формуле Брахмагупты:
, Здесь:
s — половина периметра четырехугольника:
Выражение напоминает упрощенную из-за равенства сторон формулу Герона.
Третья формула:
Радиус описанной окружности, лежащей на оси симметрии, вычисляется по формуле:
Диагонали рассчитываются по приведенной ниже формуле.
где:
- h – высота квадрата;
- м — длина центральной линии.
Перпендикуляр OF, проведенный из точки пересечения диагоналей к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
.
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоты и угла:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α
с = | час | = | аб |
син | 2 потому что α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
а = | д12 — с2 | б = | д12 — с2 | с = √d12 — аб |
б | один |
3. Формулы длины оснований через площадь, высоту и другое основание:
а = | 2С | — бб = | 2С | — а |
час | час |
4. Формулы длины стороны через площадь, среднюю линию и угол при основании:
с = | С |
m sinα |
5. Формулы длины стороны через площадь, основания и угол при основании:
с = | 2С |
(а + б) sinα |
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
1. Формула определения длины центральной линии через основания, высоты и угла при основании:
m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c2 — h2 = b + √c2 — h2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
м = | С |
c sinα |
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты по сторонам:
ч = | 1 | √4c2 — (а — б)2 |
2 |
2. Формула высоты через стороны и угол, прилежащий к основанию:
ч = | аб | tgβ | = csinβ |
2 |
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
1. Формула длины диагонали, проходящей через стороны:
d1 = √с2 + аб
2. Формулы длины диагонали по закону косинусов:
d1 = √a2 + c2 — 2ac, потому что α
d1 = √b2 + c2 — 2bc, потому что β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2
4. Формула длины диагонали через высоту и основание:
д1 = | 1 | √4t2 + (а + б)2 |
2 |
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
С = | а+б | √4c2 — (а — б)2 |
4 |
2. Формула площади через стороны и углы:
S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основанием и стороной:
С = | 4р2 | = | 4р2 |
син | sinβ |
4. Формула площади через основания и угол между основанием и стороной:
С = | аб | = | аб |
син | sinβ |
5. Формула площади тазобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) r = √ab c = √ab m
6. Формула площади в виде диагоналей и угла между ними:
С = | d12 | грех γ | = | d12 | грех δ |
2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоты:
С = | а+б | час |
2 |
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагонали:
Р = | ас d1 |
4√p(p-a)(p-c)(p-d1) |
где
р = | а+с+d1 |
2 |
а — большая база
Задача
Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Докажите, что GH || ОБЪЯВЛЕНИЕ.
По условиям задачи имеем равнобедренную трапецию, где GH — средняя линия. Давайте докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB пополам с CD, как указано в условии, затем делит GH || до нашей эры || ОБЪЯВЛЕНИЕ.