Равнобедренная трапеция

Вычисления

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной, если выполняется одно из следующих условий: 1. Углы при основании равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

АС=БД

3. Равные углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описать окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов, прилежащих к стороне равнобедренной трапеции, равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то сторона равна средней линии трапеции:

АВ=CD=м

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна половине суммы оснований (осевой линии):

ч = м

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, площадь трапеции равна квадрату высоты:

САВСD=h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению оснований трапеции:

h2 = БК AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение оснований трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

ВЧ┴ВС, ВЧ┴АД

9. Высота (CP), опущенная от вершины (C) к большему основанию (AD), делит его на большой отрезок (AP), равный половине суммы оснований, и меньший (PD), равный половина разницы оснований:

АП = БК+АД
2
ПД = AD-BC
2

10. См также свойства трапеции

Свойство 1

Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

  • ∠DAB = ∠ADC = α
  • ∠ABC = ∠DCB = β

Свойство 2

Сумма противоположных углов трапеции равна 180°.

Для рисунка выше: α + β = 180°.

Читайте также: Как найти радиус вписанной в правильный многоугольник окружности: формула, пример

Свойство 3

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.

АС=BD=d

Свойство 4

Высота равнобедренной трапеции ВЕ, опущенная на основание большей длины AD, делит ее на два отрезка: первый равен половине суммы оснований, второй — половине их разности.

Формула нахождения длины основания равнобедренной трапеции

Формула нахождения длины основания равнобедренной трапеции

Свойство 5

Отрезок MN, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярен этим основаниям.

Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, называется ее осью симметрии.

Свойство 6

Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Свойство 7

Если сумма оснований равнобедренной трапеции равна удвоенной длине стороны, то в нее можно вписать окружность.

Радиус такой окружности равен половине высоты трапеции, т.е. R = h/2.

Примечание: остальные свойства, применимые ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации — «Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.

Формулы равнобедренной трапеции

Рассмотрим распространенные выражения для расчета равнобедренной трапеции: ее площадь, высоту, диагонали.

Площадь равна одной секунде произведения высоты геометрической фигуры на половину суммы длин оснований.

S = 12BC+AD*EF.

Если высота неизвестна, но есть стороны — с, прибегают к формуле Брахмагупты:

S = (sa)(sb)(sc)2
, Здесь:

s — половина периметра четырехугольника: s = 1/2 (а + b + 2с).

Выражение напоминает упрощенную из-за равенства сторон формулу Герона.

Третья формула:

S = а+b44c2-a-b2.

Радиус описанной окружности, лежащей на оси симметрии, вычисляется по формуле:

R = каб + c24c2-a-b2.

Диагонали рассчитываются по приведенной ниже формуле.

д1=д2=ч2+м2,
где:

  • h – высота квадрата;
  • м — длина центральной линии.

Перпендикуляр OF, проведенный из точки пересечения диагоналей к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
OF=AD*EFAD+BC
.

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоты и угла:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

с = час  = аб
син 2 потому что α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

а = д12 — с2        б = д12 — с2        с = √d12 — аб
б один

3. Формулы длины оснований через площадь, высоту и другое основание:

а = — бб = — а
час час

4. Формулы длины стороны через площадь, среднюю линию и угол при основании:

с = С
m sinα

5. Формулы длины стороны через площадь, основания и угол при основании:

с =
(а + б) sinα

 

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины центральной линии через основания, высоты и угла при основании:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c2 — h2 = b + √c2 — h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

м = С
c sinα

 

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты по сторонам:

ч = 1 √4c2 — (а — б)2
2

2. Формула высоты через стороны и угол, прилежащий к основанию:

ч = аб tgβ  = csinβ
2

 

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали, проходящей через стороны:

d1 = √с2 + аб

2. Формулы длины диагонали по закону косинусов:

d1 = √a2 + c2 — 2ac, потому что α

d1 = √b2 + c2 — 2bc, потому что β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основание:

д1 = 1 √4t2 + (а + б)2
2

 

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

С = а+б √4c2 — (а — б)2
4

2. Формула площади через стороны и углы:

S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основанием и стороной:

С = 4р2  = 4р2
син sinβ

4. Формула площади через основания и угол между основанием и стороной:

С = аб  = аб
син sinβ

5. Формула площади тазобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) r = √ab c = √ab m

6. Формула площади в виде диагоналей и угла между ними:

С = d12 грех γ  = d12 грех δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоты:

С = а+б час
2

 

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагонали:

Р = ас d1
4√p(p-a)(p-c)(p-d1)

где

р = а+с+d1
2

а — большая база

Задача

Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Докажите, что GH || ОБЪЯВЛЕНИЕ.

По условиям задачи имеем равнобедренную трапецию, где GH — средняя линия. Давайте докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB пополам с CD, как указано в условии, затем делит GH || до нашей эры || ОБЪЯВЛЕНИЕ.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word