Разложение чисел на простые множители: способы и примеры

Зачем раскладывать число на простые множители

Но очень интересно, стоит ли вообще изучать эту тему, или она не пригодится в жизни? Насколько полезен навык разложения числа на множители?

Вопрос очень хороший! Математические задачи развивают совершенную логику и умение мыслить нестандартно, что пригодится в любой профессии. Кроме того, в математике многие темы имеют ступени, которые ведут к более объемным и сложным. Здесь тема нашего обсуждения не является исключением.

Когда вы научитесь разлагать число на простые множители, то:

• при этом повторяют понятие «простые факторы»;
• вспомнить тему «Признаки делимости»;
• мог найти наименьшее общее кратное;
• научиться сокращать дроби и находить общий множитель.

И это только те разделы, с которыми вы познакомитесь в 6-м классе. Подумайте, сколько еще впереди! Как видите, пользы от изучения предмета много — приступим.

Что значит разложить число на простые множители?

Рассмотрим понятие простых множителей. Известно, что каждое простое число является простым числом. В произведении вида 2 7 7 23 у нас есть 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Факторинг предполагает представление в виде произведений простых чисел. Если нужно разложить число 30, то получим 2,3,5. Запись будет иметь вид 30=2 3 5. Возможно повторение множителей. Число вроде 144 имеет 144=2 2 2 2 3 3.

Не все числа подлежат разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми числами, могут быть факторизованы. Простые металлы делятся только на 1 и на себя при разложении, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

Когда z относится к целым числам, оно представляется как произведение a и b, где z делится на a и b.Составные числа разлагаются на простые множители с использованием фундаментальной теоремы арифметики. Если число больше 1, факторизация p1, p2, …, pn имеет вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте.

Вспоминаем, что такое простые множители

Первое, что вам нужно понять, это само понятие «основной фактор». Вы помните, что это такое?

Множитель — это число, которое показывает, сколько раз нужно повторить другое число (множитель) с условиями, чтобы получить товар.

Так, в примере 2 × 7 = 14 число 2 называется первым множителем, число 7 — вторым множителем, а 14 — произведением, или стоимостью произведения.

В уравнении 5х = 20 число 5 можно назвать известным множителем, х — неизвестным множителем, 20 — значением произведения.

Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу.

Попробуем перечислить все простые числа от 1 до 10: 1, 3, 5, 7.

Является ли 9 простым числом? Нет, потому что помимо 1 и 9 число делится еще на 3.

А цифра 8? Нет, так как восьмерка делится на 1, 8, 2 и 4.

Как вы думаете, сколько существует простых чисел?

Правильно, бесконечное количество! Весь ряд чисел, конечно, не может быть выучен. Но есть две хорошие новости: Во-первых, нам не нужно знать весь этот набор, математики давно составили таблицы простых чисел (от 1 до 100, от 1 до 1000), которыми мы можем воспользоваться в любой момент. И самое главное, зная алгоритм проверки числа, мы можем самостоятельно определить, является ли оно простым.

Одним из способов проверки является метод итерации делителя. Для этого нам нужно проверить делимость числа на различные другие числа. Если подобрать к числу дополнительные делители, то окажется, что оно составное, а если среди делителей есть только один и само себя, то оно простое.

Читайте также: Как правильно раскрывать скобки?

Понятие разложения на простые множители

Итак, мы рассмотрели основные понятия. Что же тогда означает «разложить число на простые множители»?

разложить на множители означает представить число как произведение простых множителей (чисел).

Например:

20 = 2 х 2 х 5;

99 = 11 х 3 х 3;

126 = 2 х 2 х 31;

1084 = 2 х 2 х 271.

Разложение на простые множители можно сравнить с обменом банкнот. Представьте, что вы хотите купить безалкогольный напиток в автомате, но он принимает только монеты. Вы идете в магазин и просите обменять купюру, продавец дает вам целую стопку монет разного номинала. Среди общего числа будут повторы: несколько рублей, пара пятерок, горсть десятков. Теперь можно бежать к автомату: какой напиток будем пить, вишневый или грушевый?

Возможно, некоторые сейчас начали волноваться и переживать, что ошибутся при выполнении декомпозиции. Давайте успокоимся!

Это теорема арифметики: любое натуральное число n больше единицы можно разложить в произведение простых чисел, и это разложение однозначно с точностью до порядка множителей.

Это означает, что независимо от того, какой метод разложения вы используете, вы все равно получите правильный ответ — при условии, что все факторы в произведении просты.

Основные способы, описание алгоритмов

Составное число можно превратить в простое число, представив его как произведение меньших составных чисел, которые затем преобразуются в произведения простых чисел.

1 вариант

Например, число 144 — это арифметическое произведение чисел 12 и 12. Таким образом, 144 = 12 12.

Числа 12 и 12 составные. Следовательно, их можно представить в виде произведения следующих множителей: 12=3·4 и 12=12=2·6. В первом разложении есть составное число — 4. Во втором разложении составное число равно 6. Затем нужно разложить 4 и 6 на простые множители.

4=2 2 6=2 3.

В произведении больше нет составных чисел. Итак, факторизация завершена.

Вся цепочка разложения: 144=12 12=3 4 2 6=3 2 2 2 2 3=2 2 2 2 3 3

Здесь есть повторяющиеся числа: два встречается 4 раза, три — 2 раза.

Тогда разложение можно упростить, представив выражение в виде произведения степеней чисел 2 и 3:

144=2 2 2 2 3 3=24 32.

2 вариант

Число 144 можно представить как произведение 2 и 72. Таким образом, 144=2·72. Число 2 — простое, а число 72 — составное. Тогда 72 можно разложить на множители.

72 можно представить как произведение 6 и 12. Эти числа составные, поэтому их можно разложить на множители:

6=2 3 12=3 4.

В этих разложениях составным числом будет 4. Осталось представить 4 как произведение простых множителей:

4=2 2.

Все разложение представлено в виде произведения чисел: 144=2 72=2 6 12=2 2 3 3 4=2 2 3 3 2 2.

Все факторы в финальной версии простые, а значит, расширение завершено.

Практика

Теперь о методах разложения. В школе на уроках математики часто используют метод, заключающийся в записи множителей в столбик, своеобразное последовательное деление. Перебираем простые множители по порядку, начиная с числа 2, и деля число на них, пока от него не останется один.

Задачка 1

Разложим число 52 на простые множители:

1. Начнем с простых множителей. 52 точно делится на 2, потому что это четное число: 52 : 2 = 26.
2. Полученный ответ 26 также делится на 2:26:2 = 13.
3. Число 13 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Если мы пройдемся по ряду простых чисел, мы сможем разделить 13 только само на себя, а это значит, что это число простое.

Визуально это записывается так:

Разложение прошло успешно!

52 = 2 х 2 х 13.

«Практика делает совершенным» — говорят в Англии, что означает «Практика делает совершенным». Продолжим решать задачи и подведем итоги разбора метода с алгоритмом, который можно использовать на уроках математики.

Задачка 2

Разложим число 63 на простые множители:

1. Начнем с простых множителей. 63 не делится на 2, но 3 это здорово! 63 : 3 = 21.
2. Число 21 снова не делится на 2, потому что это нечетное число. Следующий простой множитель равен 3, с ним проверяем делимость: 21 : 3 = 7.
3. Перебираем ряд простых чисел и делим на них число 7. Без остатка 7 делится только само на себя: 7_7=1.

63 = 3 х 3 х 7.

Задачка 3

Разложим число 128 на простые множители:

1. 128 точно делится на 2:128:2 = 64.
2. Число 64 также является четным числом, что означает 64:2 = 32.
3. Продолжаем делить на два: 32_2=16.
4. Еще немного: 16 : 2 = 8.
5. 8 : 2 = 4.
6. 4 : 2 = 2.
7. 2 : 2 = 1.

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, или 128 = 27. О втором виде записи мы поговорим чуть ниже.

Задачка 4

Разложим число 37 на простые множители.

Перебирая простые множители от 1 до 37, мы не найдем ни одного числа, кроме самого 37, которое делилось бы на него без остатка. Это означает, что число 37 является простым числом и расширение не может быть выполнено.

37 = 37.

Алгоритм разложения числа на множители

Пришло время взять частичную сумму и создать алгоритм для разложения числа на множители:

1. Запишите исходное число в первый столбец.
2. Во второй столбик напротив первого числа записываем наименьший простой множитель, на который исходное число делится без остатка (идем в порядке ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7 и т д на).
3. В первую колонку записываем результат деления и снова ищем наименьший простой множитель, на который это число делится без остатка.
4. Выполняем разложение до тех пор, пока не напишем цифру 1 в левом столбце.

Каноническая запись

Канонический вид — это вид записи, который иначе можно назвать стандартным, общепринятым. То есть, где бы вы ни показали запись, вас обязательно поймут — и в Индии, и в Китае, и даже в Арктике (при условии, что вы покажете записи математикам, конечно).

Это все равно, что показать любому ученому химическую формулу H2O: это каноническое, общепринятое обозначение молекулы воды.

Но вернемся к основным факторам. Мы думаем, вы уже заметили, что одни и те же числа могут повторяться во время расширения. Итак, когда мы разложили число 128, у нас получилось целых семь двоек! Для упрощения записи произведение одинаковых множителей записывается со степенью.

Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз множитель был умножен сам на себя.

52 = 5 × 5.

73 = 7 х 7 х 7.

104 = 10 х 10 х 10 х 10.

Таким образом, разложение на простые множители будет выглядеть так:

63 = 32 х 7;

52 = 22 х 13;

32 = 25.

Применение признаков делимости при разложении на простые множители

Последний нюанс, который нам нужно обсудить, — это использование признаков делимости при рассмотрении простых множителей. Другими словами, как узнать, делится ли число на 3, 7 или какое-либо другое число, не прибегая непосредственно к делению?

Почему это важно? Иногда при поиске простых делителей приходится перебирать число за числом, что довольно долго и энергозатратно. Математики (и программисты тоже) всегда стремятся упростить задачу, найти более простое решение. А зная свойства делимости, можно лишь ускорить процесс разложения.

Для начала вспомним: как определить, на что делится число? Приведем несколько примеров.

Делимость на…

Правило

Примеры

2

Четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8

10, 24, 12658:

• 10:2 = 5;
• 24:2 = 12;
• 12658: 2 = 6329

3

Сумма цифр делится на 3

24, 63, 102:

• 24: 2 + 4 = 6, а 6 делится на 3, значит, 24 делится на 3;
• 63: 6 + 3 = 9, а 9 делится на 3, значит, 63 тоже делится на 3;
• 102: 1 + 0 + 2 = 3, а 3 делится на 3, поэтому 102 делится на 3

4

Последние две цифры являются нулями или образуют число, делящееся на 4

100, 1024:

• 100:4 = 25;
• 1024:24 делится на 4, поэтому 1024:4 = 256

5

Оканчивается на 0 или 5

15, 105, 1200:

• 15:5 = 3;
• 105:5=21;
• 1200 : 5 = 240

6

Делится на 2 и 3

36:

• делится на 2, потому что это четное число;
• делится на 3, потому что сумма цифр 3 + 6 = 9 делится на 3

72:

• делится на 2, потому что это четное число;
• делится на 3, потому что сумма цифр 3 + 6 = 9 делится на 3

7

Разница между числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7

343:

• 34 — 3 х 2 = 34 — 6 = 28;
• 28 делится на 7, поэтому 343:7 = 49

8

Последние три цифры являются нулями или образуют число, кратное 8

• 12 000 : 8 = 1 500;
• 1320:8 = 165;
• 1567488 : 8 = 195936

9

Сумма цифр делится на 9

• 252 делится на 9, потому что 2 + 5 + 2 = 9;
• 9900 делится на 9, потому что 9 + 9 + 0 + 0 = 18

10

Заканчивается на 0

• 50:10 = 5;
• 600: 10 = 60;
• 75460 : 10 = 7546

Чтобы определить, делится ли число на составной множитель, необходимо проверить, делится ли оно на простые множители, входящие в составное.

Например, чтобы проверить, делится ли число на 14, нужно выяснить, делится ли оно на 2 и на 7. А число, которое делится на 27, будет делиться и на 3, и на 9 одновременно.

Попробуем применить знания о делимости к факторизации.

Задачка 5

Разложим на множители число 5600:

1. Поскольку число заканчивается двумя нулями, оно точно делится на 100. 100 = 25 × 4 = 5 × 5 × 2 × 2.
2. Число 56 не делится на 3 (потому что 5 + 6 = 11), 4, 5, 6, но делится на 7. 56 = 7 × 8 = 7 × 2 × 2 × 2.
3. Итак, 5600 = 56 × 100 = 7 × 8 × 25 × 4 = 7 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 2 × 2. Канонически 5600 = 25 × 52 × 7.

Задачка 6

Разложим число 364 на множители:

1. Оно заканчивается числом 64, которое снова делится на 4. Это означает, что само число делится: 364:4 = 91.
2. Число 91 не делится на 2, 3, 4, 5, 6, но делится на 7:91:7=13.
3. 364 = 4 х 7 х 13 = 22 х 7 х 13.

Задачка 7

Фактор числа 750:

1. Число оканчивается на 0, что означает, что оно делится на 10. 10 = 2 × 5.
2. 75 делится на 3 (7 + 5 = 12): 75 : 3 = 25.
3. 750 = 75 х 10 = 25 х 3 х 2 х 5 = 5 х 5 х 3 х 2 х 5 = 53 х 2 х 3.

Примеры разложения на простые множители

При рассмотрении простых множителей следует придерживаться основного алгоритма.

Пример 2

Разложите число 78 на простые множители.

Решение

Чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа в числе 78. То есть 78_2=39. Деление без остатка, значит, это первый простой делитель, который мы обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Мы пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Итак, a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Нужно перебрать простые числа, т.е. 39_2=19 (остаток 1). Так как при делении есть остаток, 2 не делитель. Когда вы выбираете число 3, мы получаем, что 39_3=13. Это означает, что p2=3 — наименьший простой делитель числа 39 на a2=a1:p2=39:3=13. Получаем равенство вида a=p1 p2 a2 в виде 78=2 3 13. Имеем, что a2=13 не равно 1, значит надо двигаться дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 находится путем подсчета чисел, начиная с 3. Получаем, что 13_3=4 (остаток 1). Это показывает, что 13 не делится на 5,7,11, потому что 13_5=2 (остальные 3), 13_7=1 (остальные 6) и 13_11=1 (остальные 2). Видно, что 13 — простое число. Формула выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Мы получили, что a3=1, что означает конец алгоритма. Теперь множители записываются как 78=2 3 13(a=p1 p2 p3).

Ответ: 78=2 3 13.

Пример 3

Разложите число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг включает факторизацию p1=2 и a1=a:p1=83,006:2=41,503, где 83,006=2,41,503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не являются простыми делителями числа a1=41503, но 7 является простым делителем, поскольку 41503_7=5929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41503 :7=5 929. Очевидно, 83 006=2 7 5 929.

нахождение наименьшего простого делителя p4 числа a3=847 равно 7. Можно видеть, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2 7 7 7 121.

Чтобы найти простой делитель числа a4=121, мы используем число 11, т.е p5=11. Тогда мы получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2 7 7 7 11 11.

При a5=11 p6=11 — наименьший простой делитель. Следовательно, a6=a5:p6=11:11=1. Тогда а6=1. Это означает конец алгоритма. Множители будут записаны как 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

Каноническая запись ответа будет иметь вид 83 006=2 73 112.

Ответ: 83 006=2 7 7 7 11 11=2 73 112.

Пример 4

Фактор число 897 924 289.

Решение

Чтобы найти первый простой множитель, вы перебираете простые числа, начиная с 2. Конец счета приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289_937=958 297 и 897 924 289 = 937 958 297.

Второй шаг алгоритма — подсчет меньших простых чисел. То есть мы начинаем с числа 937. Число 967 можно считать простым числом, потому что оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда мы получаем, что p2=967, поэтому a2=a1:p1= 958 297:967=991 и 897 924 289 = 937 967 991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как у него нет простого числа, которое не превосходило бы 991. Приблизительное значение подкоренного выражения 991<402. В противном случае мы запишем это как 991<402. Это показывает, что p3=991 ​​и a3=a2:p3=991:991=1. Получаем, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как 897 924 289=937 967 991.

Ответ: 897 924 289 = 937 967 991.