- Определение квадратного неравенства
- Способы решения квадратных неравенств
- Алгоритм применения метода интервалов
- 1. Приводим к стандартному виду
- 2. Находим корни уравнения, полученного приравниванием левой части нулю
- 3. Отмечаем найденные корни на числовой прямой
- 4. Проводим условно «параболу» через точки на прямой
- 5. Выбираем интервалы, являющиеся решением неравенства
- 6. Записываем ответ
- Примеры решения квадратных неравенств
- С двумя корнями
- С одним корнем
- Без корней
- Решение неравенства графическим методом
- Выделение квадрата двучлена
- Неравенства, сводящиеся к квадратным
- Плюс или минус: как определить знаки
- Научные основы метода промежутков
- Нахождение нулей числителя и знаменателя
Определение квадратного неравенства
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.
Числовым неравенством называется такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака стоят числа или числовые выражения.
Решение — это значение переменной, при котором неравенство становится верным.
решить неравенство означает найти множество, для которого оно верно.
Квадратное неравенство выглядит так:
где х — переменная,
а, б, в — числа,
в то время как ≠ 0.
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- интервальный метод.
Читайте также: Теорема ⭐ о сумме углов треугольника: определение, доказательство, следствие
Способы решения квадратных неравенств
Существует три основных метода:
Определение 2
- графика;
- интервальный метод;
- путем выбора квадрата бинома в левой части.
Алгоритм применения метода интервалов
Рассмотрим алгоритм применения интервального метода в адаптированном варианте, пригодном для решения квадратных неравенств. Именно с этой версией интервального метода учащиеся знакомятся с уроками алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.
Перейдем к самому алгоритму.
У нас есть квадратный трехчлен a x2+b x+c из левой части квадратного неравенства. Находим нули этого трехчлена.
Начертите координатную линию в системе координат. Отмечаем на нем корни. Для простоты можно ввести разные способы обозначения точек для строгих и нестрогих неравенств. Условимся, что координаты с «пустыми» точками следует помечать при решении строгого неравенства, а с обычными точками — нестрокового. Отметив точки, мы получим несколько отверстий на оси координат.
Если на первом шаге мы нашли нули, определяем знаки значений трехчлена для каждого из полученных интервалов. Если мы не получили нулей, то выполняем это действие для всей числовой строки. Отверстия помечаем знаками «+» или «-».
Кроме того, мы будем вводить штриховку в тех случаях, когда решаем неравенства со знаками > или ≥ и < или ≤. В первом случае штриховка будет нанесена над отверстиями, отмеченными знаком «+», во втором случае над областями, отмеченными знаком «-».
Отметив знаки значений трехчлена и заштриховав отрезки, мы получим геометрическую картину некоторого числового набора, который и является решением неравенства. Нам просто нужно записать ответ.
Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, предполагающем определение знака гэпа. Существует несколько способов определения символов. Давайте рассмотрим их по порядку, начиная с самых точных, но не самых быстрых. Этот метод предполагает вычисление значений трехчлена в нескольких точках полученных интервалов.
Пример 1
Например, возьмем трехчлен x2+4 x−5.
Корни этого трехчлена 1 и -5 делят ось координат на три интервала (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Начнем с интервала (1, +∞). Чтобы упростить нашу задачу, возьмем x = 2. Получаем 22+4 2−5=7.
7 — положительное число. Это означает, что значения этого квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) положительны, и его можно обозначить знаком «+».
Чтобы определить знак интервала (−5, 1), возьмем x=0. У нас есть 02+4 0−5=−5. Ставим знак «-» над интервалом «-».
Для интервала (−∞, −5) возьмем x=−6, получим (−6)2+4 (−6)−5=7. Отмечаем этот интервал знаком «+».
Гораздо быстрее определить признаки, учитывая следующие факты.
При положительном дискриминанте квадратный трехчлен с двумя корнями дает чередование знаков значений в промежутках, на которые числовая ось делится корнями этого трехчлена. Это означает, что нам не нужно определять символы для каждого из интервалов. Достаточно выполнить расчеты для одного и проставить знаки для остальных с учетом принципа чередования.
При желании можно вообще обойтись без расчетов, а выводы о признаках делать из значения старшего коэффициента. Если a>0, мы получаем последовательность символов +, −, +, а если a<0, то −, +, −.
Для квадратных трехчленов с одним корнем, когда дискриминант равен нулю, мы получаем два пробела на оси координат с одинаковым знаком. Это означает, что мы определяем знак для одного из интервалов и устанавливаем такой же для другого.
Здесь также используется метод определения знака по значению коэффициента а: если а>0, то это будет +, +, а если а<0, то −, −.
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то знаки значений для всей координатной прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента а, так и со знаком свободного члена с.
Например, если мы возьмем квадратный трехчлен −4 x2−7, у него нет корней (дискриминант отрицательный). Коэффициент при x2 является отрицательным числом -4, и свободный член -7 также отрицателен. Это означает, что на интервале (−∞, +∞) значения отрицательные.
1. Приводим к стандартному виду
Если первое неравенство в условии уже записано в стандартной форме (левая часть неравенства — квадратный трехчлен, правая — нуль), то второе неравенство необходимо привести к этому виду.
2. Находим корни уравнения, полученного приравниванием левой части нулю
Здесь, в Дзен, речь шла о «корнях».
нахождение корней уравнения и извлечение корня — разные математические понятия. Так что не запутайтесь !
Корень уравнения — это число, которое при подстановке в уравнение дает правильное уравнение.
извлечение корня — это обратная операция возведения в степень, с помощью которой находится основание степени для данной степени и для данного показателя степени.
Будем искать КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ, т.е число, у которого левая часть равна нулю. Обычно используют формулы или подбор корней по обратной теореме Виета.
Здесь я покажу расчет с формулами.
3. Отмечаем найденные корни на числовой прямой
4. Проводим условно «параболу» через точки на прямой
Направление ветвей параболы определяется коэффициентом «а», входящим в квадратный трехчлен в левой части неравенства.
В первом неравенстве a=1>0,
во втором неравенстве а=-5<0.
5. Выбираем интервалы, являющиеся решением неравенства
Теперь давайте снова посмотрим на знак неравенства. Если знак «меньше нуля», то выбираем интервалы, где функция находится ниже числовой прямой. Если знак «больше нуля», то выбирают интервалы, в которых парабола находится над числовой прямой.
6. Записываем ответ
А вот в какие скобки заключены интервалы, можно кратко пояснить так:
«> → ○→(«
«≥→●→[«
Если вы знаете кого-то, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда полезно.
Примеры решения квадратных неравенств
Рассмотрим примеры решения квадратных неравенств по рассмотренному выше алгоритму.
Пример 2
Решите неравенство 8 x2−4 x−1≥0.
Решение
Воспользуемся интервальным методом для решения неравенства. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 8 x2−4 x−1. Ввиду того, что коэффициент при x четный, нам будет удобнее вычислять не дискриминант, а четвертую часть дискриминанта: D’=(−2)2−8·(−1)=12.
Дискриминант больше нуля. Это позволяет нам найти два корня квадратного трехчлена: x1=2-129, x1=1-34 и x2=2+128, x2=1+34. Отметьте эти значения на числовой прямой. Поскольку уравнение не является строгим, мы используем на графике регулярные точки.
Теперь интервальным методом определяем знаки трех полученных интервалов. Коэффициент при х2 равен 8, то есть он положительный, поэтому последовательность знаков будет +, −, +.
Так как мы решаем неравенство со знаком ≥, то заштриховываем пробелы со знаком плюс:
Аналитически запишем числовой набор по полученному графическому изображению. Мы можем сделать это двумя способами:
(-∞; 1-34]∪[1+34, +∞) или x≤1-34, x≥1+34.
Ответ: (-∞; 1-34]∪1+34, +∞) или x≤1-34, x≥1+34.
Пример 3
Решите квадратное неравенство -17·x2+2·x-7<0 интервальным методом.
Решение
Найдем сначала корни квадратного трехчлена из левой части неравенства:
D’=12—17-7=0x0=-1-17×0=7
Это строгое неравенство, поэтому используем «пустую» точку на графике. С координатой 7.
Теперь нам нужно определить знаки полученных интервалов (−∞, 7) и (7, +∞). Так как дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент отрицательный, то проставляем знаки −, −:
Так как мы решаем неравенство со знаком <, то проводим штриховку по отрезкам со знаком минус:
В этом случае оба интервала (−∞, 7), (7, +∞) являются решениями, +∞).
Ответ: (−∞, 7)∪(7, +∞) или в других обозначениях x≠7.
Пример 4
Имеет ли квадратное неравенство x2+x+7<0 решения?
Решение
Найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства. Для этого находим дискриминант: D=12−4 1 7=1−28=−27. Дискриминант меньше нуля, поэтому действительных корней нет.
Графическое изображение будет выглядеть как числовая линия без отмеченных на ней точек.
Определим знак значений квадратного трехчлена. При D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x2, то есть со знаком числа 1 положителен, поэтому имеем знак +:
В этом случае мы можем использовать штриховку над пробелами со знаком «-». Но у нас нет таких дыр. Итак, рисунок выглядит так:
В результате вычислений мы получили пустой набор. Это означает, что это квадратное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет.
С двумя корнями
Квадратные уравнения решаются с помощью так называемого интервального метода, принцип которого заключается в следующем:
1. Собираем все элементы неравенства в левой части, в правой должен остаться только ноль. Помните, что при переносе элемента из одной части в другую знак меняется на противоположный.
2. Если перед неизвестной переменной второй степени стоит отрицательный коэффициент, все элементы неравенства умножаем на число -1, а знак сравнения меняем на противоположный.
3. Заменив знак сравнения на «равно», решаем полученное квадратное уравнение.
4. Отмечаем найденные корни на числовой оси.
При этом, если знак сравнения строгий («больше» или «меньше»), отметка обычно представляет собой незакрашенный внутри кружок, если не строгий («больше или равно», «меньше чем или равно»), он заполняется.
5. Проводим интервалы, и справа налево присваиваем им знаки «плюс» и «минус» (начинаем с «+», затем чередуем).
6. Если в неравенстве стоят знаки «>» или «≥», нужны положительные интервалы, если «<» или «≤» — отрицательные.
Пример 1
Решим квадратное неравенство x2 + 4x > -3.
Решение:
1. Так как правая часть должна быть равна нулю, то число -3 переносим влево, заменяя знак на «плюс”:
х2 + 4х + 3 > 0
2. Теперь найдем корни квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.
Мы подробно рассматривали этот вопрос в отдельной публикации, поэтому здесь не будем останавливаться на нем отдельно.
Итак, корни данного уравнения: x1 = -1, x2 = -3. Отмечаем их на числовой оси (светлые кружки, потому что неравенство строгое).
Проводим интервалы, отмечаем знаками «плюс» и «минус”.
Нам нужны только положительные площади, потому что в неравенстве стоит знак «больше”.
Таким образом, решение неравенства следующее:
х > -1 и х < -3.
Примечание: если бы в рассматриваемом нами неравенстве были другие знаки, область решения была бы следующей:
- знак «<«, тогда -3 < x < -1
- знак «≥», тогда x ≥ -1 и x ≤ -3
- знак «≤», тогда -3 ≤ x ≤ -1
С одним корнем
Квадратные уравнения не всегда имеют два корня, иногда может быть и один.
Пример 2
Решим x2 — 4x + 4 < 0.
Решение:
Соответствующее квадратное уравнение имеет только один корень: x1 = x2 = 2, т е его смысл повторяется дважды.
Отмечаем на числовой оси точку в виде пустого кружка и проводим от нее два отрезка.
Теперь нужно присвоить интервалам знаки, и здесь эта процедура отличается от описанной выше (когда уравнение имеет два корня): если значение корня в уравнении повторяется четное число раз, то знак не не меняются при изменении интервалов. Ставим их также справа налево, начиная с «плюса”.
В нашем случае значение повторяется дважды, т.е получаем:
Нам нужны только отрицательные интервалы, а их здесь нет. Более того, диспропорция серьезная. Следовательно, у него нет решений.
Примечание: если бы это неравенство имело другие знаки, область решения была бы следующей:
- знак «>», тогда x > 2 и x < 2
- знак «≥», тогда x ≥ 2 и x ≤ 2, т.е все действительные числа.
- знак «≤», единственное решение x = 2
Без корней
В некоторых случаях квадратные уравнения могут вообще не иметь действительных корней.
В этом случае соответствующее неравенство также не будет иметь действительных решений. Это будет ответ.
Пример 3
х2 + 3х + 5 > 0
Решение:
Уравнение не имеет корней, поэтому неравенство не имеет действительных решений.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант этого уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня;
- Д2 + бх + с.
Если требуется найти числовой интервал, в котором квадратичная трехчленная ось 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой интервал находится там, где парабола лежит над осью ОХ.
Если вам нужно найти числовой интервал, в котором квадратичная трехчленная ось 2 + bx + c меньше нуля, это числовой интервал, в котором парабола лежит ниже оси OX.
Если квадратное неравенство не является строгим, то корни включаются в числовой интервал. А если строго — не входить.
Выделение квадрата двучлена
Принцип выбора квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства заключается в выполнении эквивалентных преобразований, позволяющих перейти к решению эквивалентного неравенства вида (x−p)2, ≥), где p и q — некоторые числа.
(≤, >
Неравенства, сводящиеся к квадратным
К квадратным неравенствам можно прийти, используя эквивалентные преобразования из неравенств других типов. Это можно сделать разными способами. Например, путем перестановки членов в заданном неравенстве или переноса членов из одной части в другую.
Возьмем пример. Рассмотрим эквивалентное преобразование неравенства 5≤2 x −3 x2. Если мы перенесем все члены из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 x2−2 x+5≤0.
Пример 5
Необходимо найти множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2)2+x2+5.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3 (x−1) (x+1)−(x−2)2−x2−5<0, 3 (x2−1)−(x2−4x+4)−x2−5<0, 3×2− 3-х2+4 х-4-х2-5<0, х2+4 х-12<0.
Мы получили эквивалентное квадратное неравенство, которое можно решить графически, определив дискриминант и точки пересечения.
D’=22−1 (−12)=16, x1=−6, x2=2
Построив график, мы видим, что множество решений представляет собой интервал (−6, 2).
Ответ: (−6, 2).
Иррациональные и логарифмические неравенства являются примером неравенств, которые часто сводятся к квадратам. Так, например, неравенство 2 x2+5<>
эквивалентно квадратному неравенству x2−6 x−9<0, а логарифмическое неравенство log3(x2+x+7)≥2 эквивалентно неравенству x2+x−2≥0.
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках значения старшего коэффициента а:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a < 0, последовательность знаков такова: −, +, −.
Вы также можете вывести знаки из значения старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность символов: +, +,
если a < 0, последовательность символов такова: −, −.
Например -4х2 — 7 не имеет корней и на интервале (-∞, +∞) значения отрицательные, так как коэффициент при х2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицательный.
- Когда квадратный трехчлен для D > 0 имеет два корня, знаки значений на отрезках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак одного из трех отверстий и поочередно расставить знаки над остальными отверстиями. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, -, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень делит действительную ось на два отрезка, и знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и поставить такой же над другим. В этом случае он будет отображаться либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен не имеет корней (D < 0), то знаки значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента а, так и со знаком свободного члена с.
Теперь мы знаем алгоритм шаг за шагом. Для закрепления материала потренируемся на примерах и научимся использовать интервальный метод для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство интервальным методом: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.
Как мы решаем:
- Приравняем квадратный трехчлен к 0 и найдем нули:
х2 — 5х + 6 = 0
(х — 3) (х -2) = 0
х — 3 = 0
х — 2 = 0
х=3
х=2 - Отметьте полученные значения на числовой прямой:
- Расставим знаки на полученных интервалах:
Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Методом интервалов решить неравенство x2+4x+3 < 0.
Мы уже знаем, как решить неравенство интервальным методом. Таким образом, мы можем резюмировать решение:
Ответ: -3 < х < -2.
Пример 3. Решить квадратное неравенство интервальным методом:
Как мы решаем:
- Находим корни квадратного трехчлена, которые находятся в левой части:
- Поскольку мы решаем строгое неравенство, наносим на координатную прямую точку пробития с координатой 7:
- Теперь определим знаки двух полученных интервалов (−∞, 7) и (7, +∞).Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент равен минусу. Фиксируем знаки: −, −:
- Поскольку мы решаем неравенство со знаком <, штриховку будем проводить по отрезкам со знаком минус:
Ясно, что оба интервала (−∞, 7), (7, +∞) являются решениями, +∞).
Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).
Научные основы метода промежутков
Аппроксимация, лежащая в основе интервального метода, основана на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет знак постоянного на интервале (а, Ь), на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (−∞, a) и (a , + ∞) .
Вышеупомянутое свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приводится во многих пособиях по подготовке к вступительным экзаменам.
Знакопостоянство интервалов можно также обосновать на основе свойств числовых неравенств. Возьмем, к примеру, неравенство х — 5 х + 1 > 0. Если мы найдем нули числителя и знаменателя и положим их на числовую прямую, то получим ряд интервалов: (− ∞ , − 1), (− 1 , 5) и (5 , + ∞) .
Возьмем любой из интервалов и покажем на нем, что на всем интервале выражение в левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет интервал (−∞,−1). Возьмем любое число t из этого интервала. Он будет удовлетворять условиям t − 1 , а так как − 1 5 , то по свойству транзитивности он будет удовлетворять и неравенству t 5 .
Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, можно считать, что t + 1 0 и t − 5 0 . Это означает, что t + 1 и t — 5 являются отрицательными числами независимо от значения t на интервале (-∞,-1) .
Используя правило деления отрицательных чисел, можно утверждать, что значение выражения t — 5 t + 1 будет положительным. Это означает, что значение выражения x — 5 x + 1 будет положительным для любого значения x из интервала (− ∞ , − 1) . Все это позволяет утверждать, что на взятом в качестве примера интервале выражение имеет знакопостоянный характер. В нашем случае этот знак « + ».
Нахождение нулей числителя и знаменателя
Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. Если у вас возникли проблемы, обратитесь к теме «Решение уравнений с помощью факторинга». В этом разделе мы ограничимся примером.
Рассмотрим дробь x · (x — 0 , 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Для нахождения нулевых точек числителя и знаменателя приравняем их к нулю, получим и решим уравнения: x · (x − 0 , 6) = 0 и x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (х + 5) 3 = 0 .
В первом случае мы можем перейти к системе двух уравнений x = 0 и x − 0, 6 = 0, что дает нам два корня 0 и 0, 6. Это нулевые точки счетчика.
Второму уравнению соответствует система из трех уравнений x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0 , (x + 5) 3 = 0 . Производим ряд преобразований и получаем х = 0, х 2 + 2 х + 7 = 0, х + 5 = 0. Корень первого уравнения равен 0, второе уравнение корней не имеет, так как имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения равен 5. Это нули знаменателя.
0 в этом случае является одновременно нулем числителя и нулем знаменателя.
В общем случае, когда в левой части неравенства стоит дробь, не обязательно рациональная, для получения уравнений также приравниваются к нулю числитель и знаменатель. Решая уравнения, можно найти нули числителя и знаменателя.