Ромб

Ромб — это…

А вот и официальное определение ромба:

Ромб – это геометрическая фигура, представляющая собой особый вид параллелограмма (так ли это?). И все стороны равны.

История происхождения самого слова весьма примечательна. По-древнегречески звучит как «ῥόμβος», а по-латыни «ромб». И оба слова переводятся как «бубен».

Дело в том, что в Древней Греции чаще изготавливали барабаны и другие ударные инструменты именно такой формы. Просто натянуть ткань на параллелограмм было намного проще. А вот круглые барабаны, более привычные нам сегодня, появились позже.

И еще один интересный факт – карточная масть «бубна» называется именно по этой же причине.

Говоря об определении ромба, не лишним будет сказать, что такое параллелограмм, раз он там фигурирует.

Параллелограмм – это геометрическая фигура, представляющая собой квадрат, противоположные стороны которого равны и параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит так:

Впервые его описал известный древнегреческий математик Евклид в своей книге «Начала». Эта работа была опубликована в 300 г до н.э. И она была посвящена основам математики, которые были известны в то время.

В частности, Евклид в своей книге разделил все четырехугольники на две большие категории — параллелограмм и трапецию (поскольку две стороны не параллельны друг другу). Также в «Началах» Евклид указал, что ромб — это частный случай параллелограмма, поскольку его противоположные стороны равны.

И, наконец, частный случай самого ромба — квадрат. Его противоположные стороны не только равны, но и пересекаются под прямым углом.

Читайте также: 5 формул площади квадрата и калькулятор

Свойства ромба

1. Поскольку ромб является параллелограммом, то для ромба верны все свойства параллелограмма.

Кроме того:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба – это биссектрисы углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Свойство 1

Противолежащие углы ромба равны, а сумма смежных углов равна 180°.

• ∠ABC = ∠ADC, ∠BAD = ∠BCD
• α + β = 180°

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

• диагональ BD (d1) перпендикулярна диагонали AC (d2)
• АЕ=ЕС
• БЫТЬ = ПРИСЯГА

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба — это биссектрисы углов.

Свойство 4

Сторону ромба а можно найти через диагонали d1 и d2 (по теореме Пифагора).

• а — гипотенуза одного из 4-х прямоугольных треугольников (например, ΔBEC);
• половины диагоналей d1 и d2 являются катетами треугольника.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, вычисляется по формуле:

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм был ромбом, должно выполняться одно из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов.

Признак 1

Если смежные стороны параллелограмма равны, то параллелограмм является ромбом.

Если AB = BC, то ABCD — ромб.

Доказательства знака ромба

Проведите через стороны параллелограмма ромб

Признак 2

Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то параллелограмм является ромбом.

Доказательства знака ромба

Через диагонали параллелограмма провести ромб

Признак 3

Если одна из диагоналей ромба является биссектрисой (то есть если одна из диагоналей делит угол пополам), то параллелограмм является ромбом.

Если AC — диагональ и ∠BAС = ∠CAD, то ABCD — ромб.

Доказательства знака ромба

Проведите ромб через диагональ параллелограмма

Признак 4

Если все высоты параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

BK = BH, значит, ABCD — ромб.

Проведите ромб через высоты параллелограмма

Признак 5

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательства знака ромба

Проведите ромб через вписанную окружность

Признак 6

Если в четырехугольнике (четырехугольник не является самопересекающимся) все стороны равны, то этот четырехугольник является ромбом.

Доказательства знака ромба

Нарисуйте ромб через стороны квадрата

Признак 7

Если диагонали квадрата являются биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом, то этот квадрат является ромбом.

Проведите ромб через диагонали квадрата

Симметрия ромба.

Ромб симметричен относительно всех диагоналей; он часто используется в орнаментах и ​​паркетах.

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = га

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2а р

4. Формула площади ромба через две диагонали:

С =	1	d1d2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

С =	4р2
син

6. Формулы площади в виде главной диагонали и касательной к острому углу (tgα) или малой диагонали и касательной к тупому углу (tgβ):

С =	1	d12 тг(α/2)
2

С =	1	d22 тг(β/2)
2

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

а =	С
иметь

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

а =	√С
√sinα

а =	√С
√sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

а =	С
2 года

4. Формула стороны ромба, проходящей через две диагонали:

а =	√д12 + д22
2

5. Формула стороны ромба в виде диагонали и косинуса острого угла (cos α) или косинуса тупого угла (cos β):

а =	d1
√2 + 2 cosα

а =	d2
√2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба в виде большой диагонали и половины угла:

а =	d1
2cos(α/2)

а =	d1
2sin(β/2)

7. Формула стороны ромба в виде малого и половинного диагонального угла:

а =	d2
2cos(β/2)

а =	d2
2sin(α/2)

8. Формула стороны ромба, проходящей через окружность:

а =	Р
4

Диагонали ромба

Определение. Диагональ ромба — это любой отрезок, соединяющий две вершины в противоположных углах ромба. У ромба две диагонали — длинная d1 и короткая — d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы для большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = а√2 + 2 cosα

d1 = а√2 — 2 cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = а√2 + 2 cosβ

d2 = а√2 — 2 cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через полтора боковых угла:

d1 = 2а cos(α/2)

d1 = 2a sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через полтора боковых угла:

d2 = 2a sin(α/2)

d2 = 2а cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба в виде стороны и другой диагонали:

d1 = √4a2 — d22

d2 = √4a2 — d12

6. Формулы для диагоналей в виде касательной к острому tgα или тупому углу tgβ и другой диагонали:

d1 = d2 tg(β/2)

d2 = d1 tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

д1 =	2С
d2

д2 =	2С
d1

8. Формулы для диагоналей в виде синуса половины угла и радиуса вписанной окружности:

д1 =	2 года
грех (α/2)

д2 =	2 года
грех (β/2)

Периметр ромба

Определение: Периметр ромба равен сумме длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти по приведенным выше формулам.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

Р = 4а

Окружность вписанная в ромб

Определение Окружностью, вписанной в ромб, называется окружность, граничащая со всеми сторонами ромба и имеющая центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса вписанной в ромб окружности через высоту ромба:

р =	час
2

2. Формула радиуса вписанной в ромб окружности через площадь и сторону ромба:

р =	С
2а

3. Формула радиуса вписанной в ромб окружности через площадь и синус угла:

р =	√S sinα
2

4. Формулы радиуса окружности, вписанной в ромб через сторону и синус любого угла:

р =	грехα
2

р =	грехβ
2

5. Формулы радиуса окружности, вписанной в ромб через диагональ и синус угла:

р =	d1 sin(α/2)
2

р =	d2 sin(β/2)
2

6. Формула радиуса окружности, вписанной в ромб через две диагонали:

р =	д1 д2
2√d12 + d22

7. Формула радиуса окружности, вписанной в ромб через две диагонали и сторону:

р =	д1 д2
4а