Сфера описанная около пирамиды

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула Объем пирамиды через площадь основания и высоту:

В =	1	СоснХ
3

Определение.Боковая строфечите примиды — это коплочная площадь всех кововых граней граней примиды:

Сб =	1	кандидат наук
2

Для определения площади основания пирамиды см формулы площади плоских фигур Для определения площади основания правильной пирамиды см формулы площади правильных многоугольников

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причем центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный сверху, проходит через центр основания (окружности).Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами, описывающими окружность.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.2. Все боковые ребра качества.3. Все боковые ребра наконленены под иднейдими углами к основанию.4. Апофемы весх боковых граней равны.5. Площади всех боковых граней плотности.6. Все грани имеют одинаковые двусторонние (плоские) углы 7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. 8. В пирамиде можно написать сферу. 9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центр сферы будет точкой пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды..Конус можно описать вокруг пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Читайте также: Что такое квадратный корень?

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра.

Определение Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большее основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани представляют собой трапеции.
Определение. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем любые два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих треугольный угол. ГМ). Бимедиана называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы делятся в отношении 3:1 начиная с вершин.
Опередение.
Определение.Прямоугольная пирамида — это пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двусторонние углы (между ребрами) и трехгранные углы (при вершине) равны. Три грани образуют прямоугольный трехсторонний угол, а грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любого зерна равна половине стороны основания, на которое падает апофема. В таком тетраэдре грани являются равносторонними треугольниками.Определение.Ортоцентрическим тетраэдром называется четырехгранник, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке.Определение.Звездчатой ​​пирамидой называется многогранная пирамида, в основе которой лежит звезда.
Определение Бипирамида — многогранная, состоящая из двух разных пирамид (также можно разрезать пирамиды), имеющих общее основание, причем вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, найти такую ​​пирамиду, все вершины количения принадлежат на шферу (рис. 1).

Опередение 2. Если пирамида написана на сфере, то сферой называется та, которая описана вокруг пирамиды.

Теорема 1. Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Сначала докажем, что если пирамида вписана в сферу, то вокруг ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рис. 2 показана пирамида SA1A2, вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу, в которую вписан многоугольник A1A2. Ан – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что она находится вокруг основания A1A2. Пирамида SA1A2. Можно описать окруженность. Докажем, что в этом случае вокруг пирамиды SA1A2 . Можно описать сферу. С этой целью отметим центр окружности, описанной вокруг многоугольника A1A2. An , с символом O’ и проведите прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную плоскости многоугольника A1A2 . Ан (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O будет центром сферы, описанной вокруг пирамиды SA1A2. Ан. Чтобы доказать это, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одинаковом расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2. Ан. Отсюда следует, что точка O является центром сферы, описываемой вокруг пирамиды SA1A2. Ан .

Для завершения доказательства теоремы осталось доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из этого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2. An , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Описание пирамиды можно описать.

Следствие 2. Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вокруг нее можно описать сферу.

Инструкция. Основанием перпендикуляра, опущенного с вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центр, описываемый вокруг основания окружности. См доказательство.

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (сферы), описанной вокруг правильной пирамиды: треугольной, четырехгранной, шестиугольной и тетраэдрической.

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, найти такую ​​пирамиду, все вершины количения принадлежат на сфере (рис. 1).

Опередение 2. Если пирамида написана на сфере, то сферой называется та, которая описана вокруг пирамиды.

Рисунок 1

Теорема 1. Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Сначала докажем, что если пирамида вписана в сферу, то вокруг ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рис. 2

На рисунке 2 примида SA1A2 .. показана , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу, в которую вписан многоугольник A1A2… An – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что об основании А1А2… Пирамида СА1А2… Набросок можно описать. Докажем, что в этом случае вокруг пирамиды SA1A2.. можно описать сферу. С этой целью отметим центр окружности, описанной вокруг многоугольника A1A2… An , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную плоскости многоугольника A1A2.. Ан (рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O будет центром сферы, описанной вокруг пирамиды SA1A2… An . Чтобы доказать это, рассмотрим следующий рисунок 4.

Рис. 4

Докажем, что точка O находится на одном и том же расстоянии от точек S, A1, A2,…, An. Так как точка O лежит на середине перпендикуляра к отрезку SAn, то расстояния OS и OAn равны. С другой стороны, отрезки OA1, OA2,…, OAn являются гипотенузами в равных прямоугольных треугольниках OO’A1, OO’A2,…, OO’An.) многоугольника A1A2… An).

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2… An . Отсюда следует, что точка O является центром сферы, описываемой вокруг пирамиды SA1A2… An .

Для завершения доказательства теоремы осталось доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из этого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2… An , что противоречит определению пирамиды.

Теория доказана.

Следствие 1. Описание пирамиды можно описать.

Следствие 2. Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вокруг нее можно описать сферу.

Инструкция. Основанием перпендикуляра, опущенного с вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центр, описываемый вокруг основания окружности. См доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота — угольной пирамиды правильной равана h , а длина ребра остановки равана a . Найдите радиусную сферу, описанную вокруг пирамиды.

Решение. Возьмем правильную — угольную примиду SA1A2… An и обозначим центр сферы, описанной вокруг пирамиды, буквой O, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’An (рис. 5).

Рис. 5

Буква R на рисунке 5 обозначает радиус, описанный вокруг пирамиды сферы, а буква r – радиус, описанный вокруг основания пирамиды круга. По теореме Пифагора для треугольника O’OAn получаем

R2 = (h – R)2 + r2;

R2 = h2 – 2hR + R2 + r2;

2hR = h2 + r2.

Следовательно,

(1)

Потому что

— угол окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле радиуса, описанной вокруг правильного — угол окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле радиуса, описанной вокруг правильного

из форумы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ

Следствие 3. Радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, спасительный около правильного тетраедра с ребром а , равенство

Следствие 5. Радиус сферы, описанной вокруг правильной прямоугольной пирамиды высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной вокруг правильной шестигранной пирамиды высотой h и ребром основания a, равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около — угольной прирамной паузы с высотой и ребром остановки проспанна шфера. Найдите отношение объемов пирамиды и сферы, ограниченной сферой, описанной вокруг пирамиды.

Решение. Объем шаракасается церезом его радиуса по формуле

Используя формулу (2), выразим объем сферы, ограниченной сферой, описанной вокруг пирамиды, через высоту и ребро основания пирамиды:

— угольной пирамиды находим по формулеОбъемлогир — угольной пирамиды находим по форумуОбъемпазол

Таким образом,

Ответ

Результат 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды высотой h и ребром основания a к объему сферы, ограниченной сферой, описанной вокруг этой пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение воломы правильного тетраэдра с ребром к воему шару, ограниченного сферой, специальной около данного тетраэдра, раво

Результат 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды высотой h и ребром основания a к объему сферы, ограниченной сферой, описанной вокруг этой призмы, равно

Результат 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды высотой h и ребром основания a к объему сферы, ограниченной сферой, описанной вокруг этой призмы, равно

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация относится только к обычным пирамидам. Формула нахождения радиуса зависит от типа фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом чертеже и чертежах далее:

• а – реберное основание пирамид;
• h – высота фигуры.

Если даны эти значения, можно рассчитать радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/сферы по следующей формуле:

Правильный тетраэдр – это разновидность правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/ступени рассчитывается следующим образом: