Сферический сегмент

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Читайте также: Таблицы сложения и вычитания до 20

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы радиусом R с центром в начале декартовой системы координат:

х2 + у2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы радиусом R с центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R sin θ cos φy = y0 + R sin θ sin φz = z0 + R cos θ
где θ ϵ 0,π, φ ε 0,2π. Определение: Диаметрально противоположными точками называются две точки на поверхности сферы (шара), соединенные диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки на сфере одинаково удалены от центра.2. Любая часть сферы плоскостью является окружностью.3. Любая часть сферы плоскостью является кругом.4. Сфера имеет наибольший объем среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. Через две диаметрально противоположные точки можно провести много красивых кругов для сферы или кругов для шара.

6. Через две точки, кроме диаметрально противоположных, можно провести только одну большую окружность для сферы или одну большую окружность для шара.7. Любые две большие окружности шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, причем окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.8. Если расстояние между центрами любых двух сфер меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие сферы пересекаются, и в плоскости пересечения образуется окружность.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение: секущая сферы – это прямая линия, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками проникновения в поверхность или точками входа и выхода на поверхности. Определение. Хорда сферы (шара) – это отрезок, соединяющий две точки шара (поверхности шара). Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая разрезает сферу.

Определение Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или сферы, сечение которой образует большой круг и большой круг соответственно. Большой круг и большой круг имеют центр, совпадающий с центром сферы (сферы). Любая хорда, проходящая через центр сферы (сферы), является диаметром. Хорда – это отрезок секущей. Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше радиуса сферы:

д < р

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

м < R

Сечение секущей плоскости на сфере всегда будет маленькой окружностью, а на сфере сечением будет маленькая окружность. Малый круг и малый круг имеют свои центры, не совпадающие с центром сферы (сферы). Радиус r такой окружности можно найти по формуле:

г = √R2 — м2,

где R — радиус сферы (сферы), м — расстояние от центра сферы до плоскости сечения. Определение Полусфера (полусфера) — это полусфера (сфера), образованная при разрезании ее диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение Касательной к сфере называется прямая, которая касается сферы только в одной точке. Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая касается сферы только в одной точке. Касательная линия (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания. Расстояние от центра сферы до касательной (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение: Сегмент шара — это часть шара, отсеченная от шара секущей плоскостью. Основанием сегмента называется круг, который образовался на месте разреза. Высота отрезка h — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания отрезка к поверхности отрезка. Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Формула. Объем сегмента сферы высотой hi равен радиусу сферы R:

В =	h2π	(3R-ч)
3

Определение: Диск шара – это часть шара, образованная в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и расположенная между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная суммой всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих на поверхности окружность радиусом г. Формула. Площадь поверхности сектора S высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

S = πR(2t + √2tR — h2)

Формула Объем сектора V высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

В =	2πR2h
3

Определение: Касательные сферы (сферы) – это любые две сферы (сферы), имеющие общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение: концентрическими сферами называются любые две сферы, имеющие общий центр и радиусы разной длины.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Прохладный		S = 4πr2, где r — радиус сферы.	Диапазон пуль
Мяч	где r — радиус шара.	Объем мяча
Сферический ремень		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !	Площадь сферического пояса
Мяч команда	где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.	Объем сферического слоя
Сферический сегмент		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.	Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент	где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.	Объем сферического сегмента
Сектор мяча		где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.	Объем сферического сектора

Прохладный

Диапазон мяча: S = 4πr2, где r — радиус сферы.

Мяч

Объем мяча: где r — радиус шара.

Сферический ремень

Площадь сферического пояса: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда

Объем шаровой кровати: где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента: где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча

Объем сектора сферы: где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.

Определение сегмента шара

Сегмент сферы (или сегмент сферы) — это часть сферы, отсеченная плоскостью. На рисунке ниже он окрашен в зеленый цвет.

• R — радиус шара;
• r — радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; — длина перпендикуляра из центра основания (точка О2) в точку на поверхности шара.

Отношение радиуса основания сегмента, высоты и радиуса шара:

Как найти объем шарового сегмента, формула

Формула 1

Объем сферического сегмента равен V=πH2R-H3, где H — высота сферического сегмента, R — радиус шара.

Формулы для нахождения площади сегмента шара

Площадь основания

Основанием сферического сегмента является окружность, площадь (S) которой находится по стандартной формуле (при расчетах число π округляется до 3,14):

Сосн. = за 2

Примечание: если диаметр окружности (d) известен, для нахождения радиуса (r) необходимо первое разделить на второе, то есть: r = d/2.

Площадь сферической поверхности

Чтобы найти площадь (S) сферической/внешней поверхности сегмента сферы, вам нужно знать высоту и радиус самого шара.

Сферы пов. = 2πRh

Площадь полной поверхности

Чтобы найти площадь (S) всей поверхности сегмента сферы, необходимо сложить площади основания и внешней поверхности.

Полный = Первичный. + Сферы пов. = π (2Rh + r 2)

Вычисление шарового слоя

Формула 2

Объем сферического слоя между плоскостями x=a и x=b: V=πR2b-a-π8b3-a3.

Формула 3

Объем сферического слоя высотой H: V=πR2H-π8H3.

Нахождение объема шарового сектора

Формула 4

Объем сферического сектора: V=23πR2H.

Доказательство и вывод уравнений

Введем декартовы координаты x, y, z и возьмем ось тела за ось x. Плоскость x пересекает поверхность тела по линии, где ось x является осью симметрии. Пусть y=f(x) — уравнение части прямой, расположенной над осью.

Источник: studfile.net

Проведем через точку х на оси абсцисс перпендикулярную ей плоскость и обозначим через V(x) объем части тела, лежащей левее этой плоскости, тогда V(x) есть функция от x . Найдем его производную: V'(x)=limh→0V(x+h)-V(x)h.

Разность V(x+h)-V(x) представляет собой объем слоя тела толщиной h между двумя плоскостями, перпендикулярными оси x, которые проходят через точки с абсциссами x и (x+h). Пусть M — наибольшее, а m — наименьшее значение функции f(x) на отрезке x, x+h. Тогда рассматриваемый слой тела содержит цилиндр радиуса m, высоты h и содержится в цилиндре радиуса M и той же высоты h, поэтому: πm2h≤V(x+h)-V(x)≤πM2h, πm2 ≤V (x+h)-V(x)h≤πM2.

Если f(x) — непрерывная функция, то левая и правая части последнего неравенства при h→0 будут стремиться к одному и тому же пределу πf2(x). Связь между ними стремится к тому же пределу, т.е производной V'(x)=πf2(x).

Формула 5

Согласно формуле анализа: V(b)-V(a)=∫abπf2(x)dx, a

Формула 6

Уравнение сферической поверхности x2+y2=R2.

Полуокружность над осью x задается уравнением: y=f(x)=R2-x2, -R≤x≤R. Следовательно, объем сферического слоя между плоскостями x=a и x=b определяется по формуле: V=V(b)-V(a)=π∫abR2-x2dx=πR2(ba)-π8b3-a3.

В качестве объема всего шара возьмите a=-R, b=R. Тогда получим объем сферы: V=43πR3.

Чтобы получить объем сегмента сферы высотой H, надо взять a=RH, b=R. Получаем объем сферического сегмента: V=πH2R-H3.

Пример задачи

Дан шар радиусом 6 см. Найдите полную площадь сферического сегмента, если известно, что его высота равна 2,4 см, а радиус основания равен 4,7 см.

Решение

Воспользуемся приведенными выше формулами, подставив в них известные по условиям задачи значения.

Сосн. = 3,14 ⋅ (4,7 см) 2 = 69,3626 см 2

Сферы пов. = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 см ⋅ 2,4 см = 90,432 см 2

Полный = Первичный. + Сферы пов. = 69,3626 см 2 + 90,432 см 2 = 159,7946 см 2