Шар, вписанный в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссектриса двугранного угла – это плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и делящая этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Рисунок 1

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, равноудалена от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссектрисе.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, лежащую внутри двугранного угла, и через эту точку проведем плоскость δ, перпендикулярную ребру двугранного угла AB (рис. 2).

Рис.2

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C и грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE — это линейный угол двугранного угла. Биссектриса γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF до линейного угла DCE .

δ перпендикулярна плоскости β и α, поэтому плоскость δ к плоскости AB проходит через перпендикуляры β и α. Так как плоскость δ перпендикулярна к плоскости β и α, то плоскости δ к плоскости AB проходят через перпендикуляр β а α и β лежат в плоскости δ.

Таким образом, справедливость утверждения следует из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, помещенная внутрь двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы лежит на биссектрисе двугранного угла (рис. 3).

Рис.3

Читайте также: Что такое число

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называется сфера, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Рис.4

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то говорят, что пирамида вписана около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного смежными гранями пирамиды. По следствию 1 центр сферы, вписанной в пирамиду, должен находиться на пересечении биссектрис всех внутренних двугранных углов, образованных смежными гранями пирамиды.

Если в пирамиде нет точки, в которой пересекаются биссектрисы всех внутренних двугранных углов, образованных смежными гранями пирамиды, то в такую ​​пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Чтобы проверить, вписывается ли сфера в пирамиду, достаточно проверить, есть ли пересечение биссектрис всех внутренних двугранных углов в основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если пирамида SA1A2… An имеет перпендикуляр O, то основание, опущенное из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A1A2… An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одинаковым углом к ​​плоскости основания пирамиды, то в такую ​​пирамиду можно вписать шар.

Доказательство. Пусть все боковые поверхности пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ, а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую поверхность SA1A2 и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

Рис.5

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A1A2. Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой поверхностью SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссектриса этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке О’ (рис. 6).

Рис. 6

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

OB знак равно час ctg φ .

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, биссектрисы всех внутренних двугранных углов пересекаются у основания пирамиды в точке O’, являющейся центром сферы вписанный в пирамиду.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Так как у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то верно

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, а ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду

Задача. Высота n-правильной углеродной пирамиды равна h, а длина ребра основания равна а. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Решение. Рассмотрим правильную n-углеродную пирамиду SA1A2… An и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB на боковой поверхности (рис. 7).

Рис.7

Буква R на рис. 7 обозначает радиус сферы, вписанной в пирамиду, буква r — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, а буква φ — внутренний двугранный угол в основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника ОСБ получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

(3)

Так как угол окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле n — радиус вписанной окружности в правильный прямоугольник выражается через сторону этого многоугольника по формуле n — радиус вписанной окружности в обычном

из формулы (3) получаем соотношение

Отвечать.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду высоты h и основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром а, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную квадратную пирамиду высоты h и основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду высоты h и основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.

Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично планиметрическому доказательству возможности вписания окружности в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC — произвольный тетраэдр. Биссектриса внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссектриса внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по прямой, проходящей через вершину A. Биссектриса внутреннего двугранного угла с ребром BC пересекает эту прямую в одной точке O , который является центром вписанной сферы (рис. 8).

Рис. 8

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус сферы, вписанной в тетраэдр SABC. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, а высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиус R сферы, вписанной в пирамиду SABC. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

SABC, SASC, SASB, SBSC ,

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB — с условными обозначениями

ВАБК , В АСК , В АСБ , В БСК ,

то верны следующие равенства:

где символ Stot обозначает общую площадь поверхности пирамиды SABC.

Поэтому,

Замечание 2. Если в пирамиду можно вписать сферу (не обязательно треугольную), то, рассуждая аналогичным образом, можно получить следующую формулу для радиуса сферы, вписанной в пирамиду

где символы Vпир и Stot обозначают соответственно объем и площадь всей поверхности пирамиды.

Формулы расчета радиуса шара (сферы)

Приведенная ниже информация относится только к обычным пирамидам. Формула нахождения радиуса зависит от типа фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На изображении:

• а — ребро основания пирамиды, т е это равные отрезки АВ, АС и ВС;
• DE – высота пирамиды (h).

Если известны значения этих величин, можно найти радиус (r) вписанного шара/сферы по формуле:

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является правильный тетраэдр. Для него формула нахождения радиуса выглядит следующим образом:

Правильная четырехугольная пирамида

На изображении:

• а — ребро основания пирамиды, т е. АВ, ВС, CD и AD;
• EF – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

На изображении:

• а — ребро основания пирамиды, т.е. АВ, ВС, CD, DE, EF, AF;
• GL — высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается по формуле: