Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямая называется касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Точка пересечения касательной и сферы называется точкой касания (рис. 1).
Рисунок 1
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта линия проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания.
Совокупность всех прямых, которые касаются сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис. 2).
Рис.2
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, и только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, и плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к этой точке.
Точка пересечения сферы и касательной к ней плоскости называется точкой касания.
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называется сфера, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, причем каждая образующая цилиндра касается сферы (рис. 3).
Рис.3
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то говорят, что цилиндр вписан около сферы.
Рисунок 3 показывает, что следующие два утверждения верны.
Утверждение 1. Вокруг любой сферы можно описать цилиндр.
Предложение 2. Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру основания.
Комментарий. В случае, когда сферу можно вписать в цилиндр, радиус вписанной сферы равен радиусу основания цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов сферы и цилиндра, описанного вокруг сферы, ограничивающей эту сферу.
Решение. Если R — радиус шара, вычислите объем шара по формуле
2R и высота R, Цилиндром, описанным около сферы, является радиус основания. Следовательно, объем цилиндра
Читайте также:Умножение вектора на число
Формула расчета площади шара
Напомним сначала общую формулу, по которой рассчитывается площадь поверхности шара:
S = 4 π R2
или S = 4 π (d/2)2, где d = 2R.
- R — радиус шара;
- d — его диаметр;
- π — это число, приблизительное значение которого равно 3,14.
Способы вписать шар в цилиндр
Теперь давайте разберемся, как поместить сферу в цилиндр. В этом случае возможно несколько вариантов:
- Мяч касается основания и стороны цилиндра
- радиус (диаметр) цилиндра является, в том числе, радиусом (диаметром) сферы;
- высота цилиндра равна диаметру шара.
- Шарик касается только основания цилиндра
Радиус сферы равен половине высоты цилиндра, а диаметр равен полной высоте.
- Мяч касается только боковой стороны цилиндра
Радиус (диаметр) цилиндра равен радиусу (диаметру) шара.
Примечание: после выяснения радиуса или диаметра шара остается только воспользоваться формулой для расчета площади поверхности.
Примеры задач
упражнение 1
В цилиндр радиусом 15 см вписан шар так, что он касается как основания, так и боковой поверхности последнего. Найдите площадь поверхности шара.
Решение:
Исходя из условий задачи, мы имеем дело с первым из трех описанных выше вариантов. А это значит, что радиус шара тоже 15 см. Следовательно, площадь:
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (15 см)2 = 2826 см2.
Задача 2
Шарик имеет площадь поверхности 1519,76 см2 и вписан в цилиндр так, что касается его оснований. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
Сначала найдите радиус шара, который равен:
Высота цилиндра равна двум радиусам сферы или ее диаметру (второй вариант, рассмотренный в разделе выше):
h = 2R = 2 ⋅ 11 см = 22 см.
