шаровой сектор

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Читайте также: Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Прохладный		S = 4πr2, где r — радиус сферы.	Диапазон пуль
Мяч	где r — радиус шара.	Объем мяча
Сферический ремень		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !	Площадь сферического пояса
Мяч команда	где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.	Объем сферического слоя
Сферический сегмент		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.	Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент	где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.	Объем сферического сегмента
Сектор мяча		где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.	Объем сферического сектора

Прохладный

Диапазон мяча: S = 4πr2, где r — радиус сферы.

Мяч

Объем мяча: где r — радиус шара.

Сферический ремень

Площадь сферического пояса: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда

Объем шаровой кровати: где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента: где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча

Объем сектора сферы: где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.

 

Шаровой сектор

Сферический сектор — это часть сферы, ограниченная конической поверхностью с вершиной в центре сферы.

Площадь криволинейной поверхности сферического сектора (без учета поверхности конуса):
S = 2 pi Rh

Общая площадь поверхности (включая поверхность конуса):
S=pi R(2t + r)

Объем:
Объем = frac{2pi R^2h}{3}

Определение сектора шара

Сферический сектор (или сферический сектор) — часть сферы, состоящая из сферического сегмента и конуса, вершина которого — центр шара, а основание — основание соответствующего сегмента. На рисунке ниже сектор окрашен в оранжевый цвет.

• R — радиус шара;
• r — радиус сегмента и основания конуса;
• h – высота сегмента; перпендикулярно из центра основания отрезка к точке на сфере.

Формула для нахождения объема сектора шара

Чтобы найти объем сферического сектора, необходимо знать радиус сферы и высоту соответствующего сегмента.

Примечания:

• если вместо радиуса сферы (R) задан ее диаметр (d), то последний нужно разделить на два, чтобы найти искомый радиус.
• π округляется до 3,14.

Объём шарового сектора через радиус шара и высоту шарового сегмента

Зная радиус и высоту сферического сектора, можно найти объем по следующей формуле:

V = 2/3 * π * R² * ч

где R — радиус сферы, h — высота сегмента сферы (или проекция хорды, стягивающей дугу сектора на ось вращения).

Радиус (R):mmsmdmmВысота (h):mmsmdmmДесятичный разряд:012345678910Результат:мм³см³дм³м³РезультатРадиус (R):мм
Высота (h): ммОбъем (V) = мм³

Величина π приблизительно равна 3,14 — это числовая константа «пи-число», одна из самых известных и наиболее широко используемых, равная отношению длины окружности к ее диаметру; для всех окружностей это отношение постоянно. «Пи» — иррациональное и трансцендентное число, т е не может быть выражено никакой рациональной дробью и не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Пример. Радиус R = 5 м; h = 1,5 м. Рассчитаем объем: V = 2 * π * R² * h / 3 = 2 * 3,14 * 5² * 1,5 / 3 = 78,5 м³.

Объём шарового сектора через радиус шара и угол между осью и образующей конуса

Зная радиус сферы и угол между осью и образующей конуса, можно также найти объем сферического сектора. Для этого используется формула:

V = 2/3 * π * R³ * (1 — cos α/2)

где R — радиус сферы, cos α — угол между осью и образующей конуса.

Радиус (R):mmsmdmmУгол (α):градусырадианыcosДесятичные разряды:012345678910Результат: мм³см³дм³м³РезультатРадиус (R):мм
Угол (α): мм Объем (V) = мм³

Пример. Вафельный рожок для мороженого при наполнении льдом имеет форму сферического сектора, имеет следующие размеры: радиус R = 11 см, угол α = 26°. Необходимо рассчитать объем мороженого в рожке при его наполнении. V = 2/3 * 3,14 * 11³ * (1 — cos 26º/2) = 71 см³.

Сферический сектор — это геометрическое тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов. Форма, близкая к сферическому сектору, — это, например, современные воздушные шары и мороженое в вафельном рожке.

Пример задачи

Дан шар радиусом 12 см. Найдите объем сектора шара, если высота сегмента, из которого состоит этот сектор, равна 3 см.

Решение

Воспользуемся формулой, рассмотренной выше, подставив известные по условиям задачи значения: