Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, формулы, примеры

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем различать синус, косинус, тангенс и котангенс?

Первоначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через отношение сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Что такое синус?

Синус угла (sin α) — это отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе.

Что такое косинус?

Косинусом угла (cosα) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Что такое тангенс?

Тангенс угла (tg α) есть отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — это отношение между соседним катетом и противолежащим катетом.

Эти определения даны для острого угла в прямоугольном треугольнике!

Синус и косинус можно представить в виде показателя степени (экспоненциальной функции).

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом C синус угла A равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислить (найти) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Что и почему важно и принято помнить во время такого открытия?

Важно помнить!

Диапазон значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Другими словами, синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Диапазон значений tg и ktg — вся числовая прямая, то есть эти функции могут иметь какое-либо значение.

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой треугольник перед нами: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно воспользоваться обычным тригонометрическим методом, а во втором — теоремой косинусов.

Как найти косинус? Следовательно, нам необходимо знать значения прилежащего катета и гипотенузы.

Как найти касательную? Если треугольник прямоугольный, тангенс рассчитывается по значениям противолежащего катета и прилежащего (в уравнении надо одно разделить на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углах и углах, превышающих 360 градусов, тангенс определяется с помощью синуса и косинуса (через их отношение и деление).

Теорема синусов и косинусов используется для нахождения элементов произвольного треугольника. Этот тип поиска часто используется.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, значение которого, в отличие от острого угла, не ограничено рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

В этом контексте можно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для угла произвольной величины. Представьте себе единичный круг (окружность) с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на угол α и переходит в точку A1. Определение дано в виде координат точки A1(x , y).

Синус (синус или синус) угла поворота

Синус угла поворота α есть ордината точки A1(x, y) sinα=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинусом угла поворота α является абсцисса точки A1(x, y) cos α=x

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A1(x, y) к абсциссе tan α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Тангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A1(x, y) к ординате ctgα=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить под любым углом. Иная ситуация с тангенсом и котангенсом. Касательная не определяется, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как содержит деление на ноль. Аналогичная ситуация с котангенсом. Разница в том, что котангенс не определяется в случаях, когда ордината точки обращается в нуль.

Важно помнить!

Простое правило: синус и косинус определены для всех углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180° k, k∈Z (α=π2+π k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180° k, k∈Z (α=π k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорите «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опущены, предполагая, что из контекста уже ясно, о чем идет речь.

Читайте также: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике: из прямого угла и острого

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа t — это число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу t радиан соответственно.

Например, синус 10π равен синусу угла поворота 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его более подробно.

Любое действительное число t связано с точкой на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальной точкой окружности является точка А с координатами (1, 0).

Положительное число t соответствует точке, куда пойдет начальная точка, если она движется против часовой стрелки по окружности и проходит путь t.

Отрицательное число t соответствует точке, куда пойдет начальная точка, если она движется против часовой стрелки по окружности и проходит путь t.

Теперь, когда связь между числом и точкой на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — это ордината точки на единичной окружности, соответствующей числу t sin t=y

Косинус (cos) t

Косинусом числа t называется абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей числу t cos t=x

Тангенс (tg) t

Тангенс числа t есть отношение между ординатой и абсциссой точки на единичной окружности, соответствующей числу t tg t=yx=sin tcos t

Последние определения согласуются с определением, данным в начале этого раздела, и не противоречат ему. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Как и всем углам α, кроме α = 90° + 180° · k, k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180°k, k ∈ Z (α = πk, k ∈ Z).

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α являются функциями угла α или функциями аргумента угла.

Точно так же можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе как функциях числового аргумента. Каждому вещественному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t.Все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z, соответствуют значению тангенса. Котангенс одинаково определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс являются основными тригонометрическими функциями.

Обычно из контекста ясно, с каким аргументом тригонометрической функции (аргументом угла или числовым аргументом) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определения и углу альфа, который колеблется от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с использованием отношения сторон прямоугольного треугольника. Давайте покажем это.

Возьмите единичный круг с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол до 90 градусов и отнимем от полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямом угле угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета напротив угла равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как это радиус единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sinα=A1HOA1=y1=y

Это означает, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон соответствует определению синуса угла поворота α, причем альфа лежит в пределах от 0 до 90 градусов.

Точно так же соответствие между определениями можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

​​​​​​​

Таблица углов от 0 до 179 градусов

0	0	1
1	0,01745241	0,9998477
2	0,0348995	0,99939083
3	0,05233596	0,99862953
4	0,06975647	0,99756405
5	0,08715574	0,9961947
6	0,10452846	0,9945219
7	0,12186934	0,99254615
8	0,1391731	0,99026807
9	0,15643447	0,98768834
10	0,17364818	0,98480775
одиннадцать	0,190809	0,98162718
12	0,20791169	0,9781476
1. 3	0,22495105	0,97437006
14	0,2419219	0,97029573
15	0,25881905	0,96592583
16	0,27563736	0,9612617
17	0,2923717	0,95630476
18	0,30901699	0,95105652
19	0,32556815	0,94551858
20	0.34202014	0,93969262
21	0,35836795	0,93358043
22	0,37460659	0,92718385
23	0,39073113	0,92050485
24	0,40673664	0,91354546
25	0,42261826	0,90630779
26	0,43837115	0,89879405
27	0,4539905	0,89100652
28	0,46947156	0,88294759
29	0,48480962	0,87461971
тридцать	0,5	0,8660254
31	0,51503807	0,8571673
32	0,52991926	0,8480481
33	0,54463904	0,83867057
34	0,5591929	0,82903757
35	0,57357644	0,81915204
36	0,58778525	0,80901699
37	0,60181502	0,79863551
38	0,61566148	0,78801075
39	0,62932039	0,77714596
40	0,64278761	0,76604444
41	0,65605903	0,75470958
42	0,66913061	0,74314483
43	0,68199836	0,7313537
44	0,69465837	0,7193398
45	0,70710678	0,70710678
46	0,7193398	0,69465837
47	0,7313537	0,68199836
48	0,74314483	0,66913061
49	0,75470958	0,65605903
50	0,76604444	0,64278761
51	0,77714596	0,62932039
52	0,78801075	0,61566148
53	0,79863551	0,60181502
54	0,80901699	0,58778525
55	0,81915204	0,57357644
56	0,82903757	0,5591929
57	0,83867057	0,54463904
58	0,8480481	0,52991926
59	0,8571673	0,51503807
60	0,8660254	0,5
61	0,87461971	0,48480962
62	0,88294759	0,46947156
63	0,89100652	0,4539905
64	0,89879405	0,43837115
65	0,90630779	0,42261826
66	0,91354546	0,40673664
67	0,92050485	0,39073113
68	0,92718385	0,37460659
69	0,93358043	0,35836795
70	0,93969262	0.34202014
71	0,94551858	0,32556815
72	0,95105652	0,30901699
73	0,95630476	0,2923717
74	0,9612617	0,27563736
75	0,96592583	0,25881905
76	0,97029573	0,2419219
77	0,97437006	0,22495105
78	0,9781476	0,20791169
79	0,98162718	0,190809
80	0,98480775	0,17364818
81	0,98768834	0,15643447
82	0,99026807	0,1391731
83	0,99254615	0,12186934
84	0,9945219	0,10452846
85	0,9961947	0,08715574
86	0,99756405	0,06975647
87	0,99862953	0,05233596
88	0,99939083	0,0348995
89	0,9998477	0,01745241
90	1	0
91	0,9998477	-0,01745241
92	0,99939083	-0,0348995
93	0,99862953	-0,05233596
94	0,99756405	-0,06975647
95	0,9961947	-0,08715574
96	0,9945219	-0,10452846
97	0,99254615	-0,12186934
98	0,99026807	-0,1391731
99	0,98768834	-0,15643447
100	0,98480775	-0,17364818
101	0,98162718	-0,190809
102	0,9781476	-0,20791169
103	0,97437006	-0,22495105
104	0,97029573	-0,2419219
105	0,96592583	-0,25881905
106	0,9612617	-0,27563736
107	0,95630476	-0,2923717
108	0,95105652	-0,30901699
109	0,94551858	-0,32556815
110	0,93969262	-0,34202014
111	0,93358043	-0,35836795
112	0,92718385	-0,37460659
113	0,92050485	-0,39073113
114	0,91354546	-0,40673664
115	0,90630779	-0,42261826
116	0,89879405	-0,43837115
117	0,89100652	-0,4539905
118	0,88294759	-0,46947156
119	0,87461971	-0,48480962
120	0,8660254	-0,5
121	0,8571673	-0,51503807
122	0,8480481	-0,52991926
123	0,83867057	-0,54463904
124	0,82903757	-0,5591929
125	0,81915204	-0,57357644
126	0,80901699	-0,58778525
127	0,79863551	-0,60181502
128	0,78801075	-0,61566148
129	0,77714596	-0,62932039
130	0,76604444	-0,64278761
131	0,75470958	-0,65605903
132	0,74314483	-0,66913061
133	0,7313537	-0,68199836
134	0,7193398	-0,69465837
135	0,70710678	-0,70710678
136	0,69465837	-0,7193398
137	0,68199836	-0,7313537
138	0,66913061	-0,74314483
139	0,65605903	-0,75470958
140	0,64278761	-0,76604444
141	0,62932039	-0,77714596
142	0,61566148	-0,78801075
143	0,60181502	-0,79863551
144	0,58778525	-0,80901699
145	0,57357644	-0,81915204
146	0,5591929	-0,82903757
147	0,54463904	-0,83867057
148	0,52991926	-0,8480481
149	0,51503807	-0,8571673
150	0,5	-0,8660254
151	0,48480962	-0,87461971
152	0,46947156	-0,88294759
153	0,4539905	-0,89100652
154	0,43837115	-0,89879405
155	0,42261826	-0,90630779
156	0,40673664	-0,91354546
157	0,39073113	-0,92050485
158	0,37460659	-0,92718385
159	0,35836795	-0,93358043
160	0.34202014	-0,93969262
161	0,32556815	-0,94551858
162	0,30901699	-0,95105652
163	0,2923717	-0,95630476
164	0,27563736	-0,9612617
165	0,25881905	-0,96592583
166	0,2419219	-0,97029573
167	0,22495105	-0,97437006
168	0,20791169	-0,9781476
169	0,190809	-0,98162718
170	0,17364818	-0,98480775
171	0,15643447	-0,98768834
172	0,1391731	-0,99026807
173	0,12186934	-0,99254615
174	0,10452846	-0,9945219
175	0,08715574	-0,9961947
176	0,06975647	-0,99756405
177	0,05233596	-0,99862953
178	0,0348995	-0,99939083
179	0,01745241	-0,9998477

Таблица углов от 180 до 359 градусов

180	0	-1
181	-0,01745241	-0,9998477
182	-0,0348995	-0,99939083
183	-0,05233596	-0,99862953
184	-0,06975647	-0,99756405
185	-0,08715574	-0,9961947
186	-0,10452846	-0,9945219
187	-0,12186934	-0,99254615
188	-0,1391731	-0,99026807
189	-0,15643447	-0,98768834
190	-0,17364818	-0,98480775
191	-0,190809	-0,98162718
192	-0,20791169	-0,9781476
193	-0,22495105	-0,97437006
194	-0,2419219	-0,97029573
195	-0,25881905	-0,96592583
196	-0,27563736	-0,9612617
197	-0,2923717	-0,95630476
198	-0,30901699	-0,95105652
199	-0,32556815	-0,94551858
200	-0,34202014	-0,93969262
201	-0,35836795	-0,93358043
202	-0,37460659	-0,92718385
203	-0,39073113	-0,92050485
204	-0,40673664	-0,91354546
205	-0,42261826	-0,90630779
206	-0,43837115	-0,89879405
207	-0,4539905	-0,89100652
208	-0,46947156	-0,88294759
209	-0,48480962	-0,87461971
210	-0,5	-0,8660254
211	-0,51503807	-0,8571673
212	-0,52991926	-0,8480481
213	-0,54463904	-0,83867057
214	-0,5591929	-0,82903757
215	-0,57357644	-0,81915204
216	-0,58778525	-0,80901699
217	-0,60181502	-0,79863551
218	-0,61566148	-0,78801075
219	-0,62932039	-0,77714596
220	-0,64278761	-0,76604444
221	-0,65605903	-0,75470958
222	-0,66913061	-0,74314483
223	-0,68199836	-0,7313537
224	-0,69465837	-0,7193398
225	-0,70710678	-0,70710678
226	-0,7193398	-0,69465837
227	-0,7313537	-0,68199836
228	-0,74314483	-0,66913061
229	-0,75470958	-0,65605903
230	-0,76604444	-0,64278761
231	-0,77714596	-0,62932039
232	-0,78801075	-0,61566148
233	-0,79863551	-0,60181502
234	-0,80901699	-0,58778525
235	-0,81915204	-0,57357644
236	-0,82903757	-0,5591929
237	-0,83867057	-0,54463904
238	-0,8480481	-0,52991926
239	-0,8571673	-0,51503807
240	-0,8660254	-0,5
241	-0,87461971	-0,48480962
242	-0,88294759	-0,46947156
243	-0,89100652	-0,4539905
244	-0,89879405	-0,43837115
245	-0,90630779	-0,42261826
246	-0,91354546	-0,40673664
247	-0,92050485	-0,39073113
248	-0,92718385	-0,37460659
249	-0,93358043	-0,35836795
250	-0,93969262	-0,34202014
251	-0,94551858	-0,32556815
252	-0,95105652	-0,30901699
253	-0,95630476	-0,2923717
254	-0,9612617	-0,27563736
255	-0,96592583	-0,25881905
256	-0,97029573	-0,2419219
257	-0,97437006	-0,22495105
258	-0,9781476	-0,20791169
259	-0,98162718	-0,190809
260	-0,98480775	-0,17364818
261	-0,98768834	-0,15643447
262	-0,99026807	-0,1391731
263	-0,99254615	-0,12186934
264	-0,9945219	-0,10452846
265	-0,9961947	-0,08715574
266	-0,99756405	-0,06975647
267	-0,99862953	-0,05233596
268	-0,99939083	-0,0348995
269	-0,9998477	-0,01745241
270	-1	0
271	-0,9998477	0,01745241
272	-0,99939083	0,0348995
273	-0,99862953	0,05233596
274	-0,99756405	0,06975647
275	-0,9961947	0,08715574
276	-0,9945219	0,10452846
277	-0,99254615	0,12186934
278	-0,99026807	0,1391731
279	-0,98768834	0,15643447
280	-0,98480775	0,17364818
281	-0,98162718	0,190809
282	-0,9781476	0,20791169
283	-0,97437006	0,22495105
284	-0,97029573	0,2419219
285	-0,96592583	0,25881905
286	-0,9612617	0,27563736
287	-0,95630476	0,2923717
288	-0,95105652	0,30901699
289	-0,94551858	0,32556815
290	-0,93969262	0.34202014
291	-0,93358043	0,35836795
292	-0,92718385	0,37460659
293	-0,92050485	0,39073113
294	-0,91354546	0,40673664
295	-0,90630779	0,42261826
296	-0,89879405	0,43837115
297	-0,89100652	0,4539905
298	-0,88294759	0,46947156
299	-0,87461971	0,48480962
300	-0,8660254	0,5
301	-0,8571673	0,51503807
302	-0,8480481	0,52991926
303	-0,83867057	0,54463904
304	-0,82903757	0,5591929
305	-0,81915204	0,57357644
306	-0,80901699	0,58778525
307	-0,79863551	0,60181502
308	-0,78801075	0,61566148
309	-0,77714596	0,62932039
310	-0,76604444	0,64278761
311	-0,75470958	0,65605903
312	-0,74314483	0,66913061
313	-0,7313537	0,68199836
314	-0,7193398	0,69465837
315	-0,70710678	0,70710678
316	-0,69465837	0,7193398
317	-0,68199836	0,7313537
318	-0,66913061	0,74314483
319	-0,65605903	0,75470958
320	-0,64278761	0,76604444
321	-0,62932039	0,77714596
322	-0,61566148	0,78801075
323	-0,60181502	0,79863551
324	-0,58778525	0,80901699
325	-0,57357644	0,81915204
326	-0,5591929	0,82903757
327	-0,54463904	0,83867057
328	-0,52991926	0,8480481
329	-0,51503807	0,8571673
330	-0,5	0,8660254
331	-0,48480962	0,87461971
332	-0,46947156	0,88294759
333	-0,4539905	0,89100652
334	-0,43837115	0,89879405
335	-0,42261826	0,90630779
336	-0,40673664	0,91354546
337	-0,39073113	0,92050485
338	-0,37460659	0,92718385
339	-0,35836795	0,93358043
340	-0,34202014	0,93969262
341	-0,32556815	0,94551858
342	-0,30901699	0,95105652
343	-0,2923717	0,95630476
344	-0,27563736	0,9612617
345	-0,25881905	0,96592583
346	-0,2419219	0,97029573
347	-0,22495105	0,97437006
348	-0,20791169	0,9781476
349	-0,190809	0,98162718
350	-0,17364818	0,98480775
351	-0,15643447	0,98768834
352	-0,1391731	0,99026807
353	-0,12186934	0,99254615
354	-0,10452846	0,9945219
355	-0,08715574	0,9961947
356	-0,06975647	0,99756405
357	-0,05233596	0,99862953
358	-0,0348995	0,99939083
359	-0,01745241	0,9998477

Таблица Брадиса для синуса и косинуса

Обратите внимание, что значения синуса и косинуса углов не могут быть больше 1.

грех	0′	6′	12′	18′	24′	тридцать′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	0,0000	90°
0°	0,0000	0,0017	0,0035	0,0052	0,0070	0,0087	0,0105	0,0122	0,0140	0,0157	0,0175	89°	3	6	9
1°	0,0175	0,0192	0,0209	0,0227	0,0244	0,0262	0,0279	0,0297	0,0314	0,0332	0,0349	88°	3	6	9
2°	0,0349	0,0366	0,0384	0,0401	0,0419	0,0436	0,0454	0,0471	0,0488	0,0506	0,0523	87°	3	6	9
3°	0,0523	0,0541	0,0558	0,0576	0,0593	0,0610	0,0628	0,0645	0,0663	0,0680	0,0698	86°	3	6	9
4°	0,0698	0,0715	0,0732	0,0750	0,0767	0,0785	0,0802	0,0819	0,0837	0,0854	0,0872	85°	3	6	9
5°	0,0872	0,0889	0,0906	0,0924	0,0941	0,0958	0,0976	0,0993	0,1011	0,1028	0,1045	84°	3	6	9
6°	0,1045	0,1063	0,1080	0,1097	0,1115	0,1132	0,1149	0,1167	0,1184	0,1201	0,1219	83°	3	6	9
7°	0,1219	0,1236	0,1253	0,1271	0,1288	0,1305	0,1323	0,1340	0,1357	0,1374	0,1392	82°	3	6	9
8°	0,1392	0,1409	0,1426	0,1444	0,1461	0,1478	0,1495	0,1513	0,1530	0,1547	0,1564	81°	3	6	9
9°	0,1564	0,1582	0,1599	0,1616	0,1633	0,1650	0,1668	0,1685	0,1702	0,1719	0,1736	80°	3	6	9
10°	0,1736	0,1754	0,1771	0,1788	0,1805	0,1822	0,1840	0,1857	0,1874	0,1891	0,1908	79°	3	6	9
11°	0,1908	0,1925	0,1942	0,1959	0,1977	0,1994	0.2011	0,2028	0,2045	0,2062	0,2079	78°	3	6	9
12°	0,2079	0,2096	0,2113	0,2130	0,2147	0,2164	0,2181	0,2198	0,2215	0,2233	0,2250	77°	3	6	9
13°	0,2250	0,2267	0,2284	0,2300	0,2317	0,2334	0,2351	0,2368	0,2385	0,2402	0,2419	76°	3	6	9
14°	0,2419	0,2436	0,2453	0,2470	0,2487	0,2504	0,2521	0,2538	0,2554	0,2571	0,2588	75°	3	6	8
15°	0,2588	0,2605	0,2622	0,2639	0,2656	0,2672	0,2689	0,2706	0,2723	0,2740	0,2756	74°	3	6	8
16°	0,2756	0,2773	0,2790	0,2807	0,2823	0,2840	0,2857	0,2874	0,2890	0,2907	0,2924	73°	3	6	8
17°	0,2924	0,2940	0,2957	0,2974	0,2990	0,3007	0,3024	0,3040	0,3057	0,3074	0,3090	72°	3	6	8
18°	0,3090	0,3107	0,3123	0,3140	0,3156	0,3173	0,3190	0,3206	0,3223	0,3239	0,3256	71°	3	6	8
19°	0,3256	0,3272	0,3289	0,3305	0,3322	0,3338	0,3355	0,3371	0,3387	0,3404	0,3420	70°	3	6	8
20°	0,3420	0,3437	0,3453	0,3469	0,3486	0,3502	0,3518	0,3535	0,3551	0,3567	0,3584	69°	3	5	8
21°	0,3584	0,3600	0,3616	0,3633	0,3649	0,3665	0,3681	0,3697	0,3714	0,3730	0,3746	68°	3	5	8
22°	0,3746	0,3762	0,3778	0,3795	0,3811	0,3827	0,3843	0,3859	0,3875	0,3891	0,3907	67°	3	5	8
23°	0,3907	0,3923	0,3939	0,3955	0,3971	0,3987	0,4003	0,4019	0,4035	0,4051	0,4067	66°	3	5	8
24°	0,4067	0,4083	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4163	0,4179	0,4195	0,4210	0,4226	65°	3	5	8
25°	0,4226	0,4242	0,4258	0,4274	0,4289	0,4305	0,4321	0,4337	0,4352	0,4368	0,4384	64°	3	5	8
26°	0,4384	0,4399	0,4415	0,4431	0,4446	0,4462	0,4478	0,4493	0,4509	0,4524	0,4540	63°	3	5	8
27°	0,4540	0,4555	0,4571	0,4586	0,4602	0,4617	0,4633	0,4648	0,4664	0,4679	0,4695	62°	3	5	8
28°	0,4695	0,4710	0,4726	0,4741	0,4756	0,4772	0,4787	0,4802	0,4818	0,4833	0,4848	61°	3	5	8
29°	0,4848	0,4863	0,4879	0,4894	0,4909	0,4924	0,4939	0,4955	0,4970	0,4985	0,5000	60°	3	5	8
30°	0,5000	0,5015	0,5030	0,5045	0,5060	0,5075	0,5090	0,5105	0,5120	0,5135	0,5150	59°	3	5	8
31°	0,5150	0,5165	0,5180	0,5195	0,5210	0,5225	0,5240	0,5255	0,5270	0,5284	0,5299	58°	2	5	7
32°	0,5299	0,5314	0,5329	0,5344	0,5358	0,5373	0,5388	0,5402	0,5417	0,5432	0,5446	57°	2	5	7
33°	0,5446	0,5461	0,5476	0,5490	0,5505	0,5519	0,5534	0,5548	0,5563	0,5577	0,5592	56°	2	5	7
34°	0,5592	0,5606	0,5621	0,5635	0,5650	0,5664	0,5678	0,5693	0,5707	0,5721	0,5736	55°	2	5	7
35°	0,5736	0,5750	0,5764	0,5779	0,5793	0,5807	0,5821	0,5835	0,5850	0,5864	0,5878	54°	2	5	7
36°	0,5878	0,5892	0,5906	0,5920	0,5934	0,5948	0,5962	0,5976	0,5990	0,6004	0,6018	53°	2	5	7
37°	0,6018	0,6032	0,6046	0,6060	0,6074	0,6088	0,6101	0,6115	0,6129	0,6143	0,6157	52°	2	5	7
38°	0,6157	0,6170	0,6184	0,6198	0,6211	0,6225	0,6239	0,6252	0,6266	0,6280	0,6293	51°	2	5	7
39°	0,6293	0,6307	0,6320	0,6334	0,6347	0,6361	0,6374	0,6388	0,6401	0,6414	0,6428	50°	2	5	7
40°	0,6428	0,6441	0,6455	0,6468	0,6481	0,6494	0,6508	0,6521	0,6534	0,6547	0,6561	49°	2	4	7
41°	0,6561	0,6574	0,6587	0,6600	0,6613	0,6626	0,6639	0,6652	0,6665	0,6678	0,6691	48°	2	4	7
42°	0,6691	0,6704	0,6717	0,6730	0,6743	0,6756	0,6769	0,6782	0,6794	0,6807	0,6820	47°	2	4	6
43°	0,6820	0,6833	0,6845	0,6858	0,6871	0,6884	0,6896	0,6909	0,6921	0,6934	0,6947	46°	2	4	6
44°	0,6947	0,6959	0,6972	0,6984	0,6997	0,7009	0,7022	0,7034	0,7046	0,7059	0,7071	45°	2	4	6
45°	0,7071	0,7083	0,7096	0,7108	0,7120	0,7133	0,7145	0,7157	0,7169	0,7181	0,7193	44°	2	4	6
46°	0,7193	0,7206	0,7218	0,7230	0,7242	0,7254	0,7266	0,7278	0,7290	0,7302	0,7314	43°	2	4	6
47°	0,7314	0,7325	0,7337	0,7349	0,7361	0,7373	0,7385	0,7396	0,7408	0,7420	0,7431	42°	2	4	6
48°	0,7431	0,7443	0,7455	0,7466	0,7478	0,7490	0,7501	0,7513	0,7524	0,7536	0,7547	41°	2	4	6
49°	0,7547	0,7559	0,7570	0,7581	0,7593	0,7604	0,7615	0,7627	0,7638	0,7649	0,7660	40°	2	4	6
50°	0,7660	0,7672	0,7683	0,7694	0,7705	0,7716	0,7727	0,7738	0,7749	0,7760	0,7771	39°	2	4	6
51°	0,7771	0,7782	0,7793	0,7804	0,7815	0,7826	0,7837	0,7848	0,7859	0,7869	0,7880	38°	2	4	5
52°	0,7880	0,7891	0,7902	0,7912	0,7923	0,7934	0,7944	0,7955	0,7965	0,7976	0,7986	37°	2	4	5
53°	0,7986	0,7997	0,8007	0,8018	0,8028	0,8039	0,8049	0,8059	0,8070	0,8080	0,8090	36°	2	3	5
54°	0,8090	0,8100	0,8111	0,8121	0,8131	0,8141	0,8151	0,8161	0,8171	0,8181	0,8192	35°	2	3	5
55°	0,8192	0,8202	0,8211	0,8221	0,8231	0,8241	0,8251	0,8261	0,8271	0,8281	0,8290	34°	2	3	5
56°	0,8290	0,8300	0,8310	0,8320	0,8329	0,8339	0,8348	0,8358	0,8368	0,8377	0,8387	33°	2	3	5
57°	0,8387	0,8396	0,8406	0,8415	0,8425	0,8434	0,8443	0,8453	0,8462	0,8471	0,8480	32°	2	3	5
58°	0,8480	0,8490	0,8499	0,8508	0,8517	0,8526	0,8536	0,8545	0,8554	0,8563	0,8572	31°	2	3	5
59°	0,8572	0,8581	0,8590	0,8599	0,8607	0,8616	0,8625	0,8634	0,8643	0,8652	0,8660	30°	1	3	4
60°	0,8660	0,8669	0,8678	0,8686	0,8695	0,8704	0,8712	0,8721	0,8729	0,8738	0,8746	29°	1	3	4
61°	0,8746	0,8755	0,8763	0,8771	0,8780	0,8788	0,8796	0,8805	0,8813	0,8821	0,8829	28°	1	3	4
62°	0,8829	0,8838	0,8846	0,8854	0,8862	0,8870	0,8878	0,8886	0,8894	0,8902	0,8910	27°	1	3	4
63°	0,8910	0,8918	0,8926	0,8934	0,8942	0,8949	0,8957	0,8965	0,8973	0,8980	0,8988	26°	1	3	4
64°	0,8988	0,8996	0,9003	0,9011	0,9018	0,9026	0,9033	0,9041	0,9048	0,9056	0,9063	25°	1	3	4
65°	0,9063	0,9070	0,9078	0,9085	0,9092	0,9100	0,9107	0,9114	0,9121	0,9128	0,9135	24°	1	2	4
66°	0,9135	0,9143	0,9150	0,9157	0,9164	0,9171	0,9178	0,9184	0,9191	0,9198	0,9205	23°	1	2	4
67°	0,9205	0,9212	0,9219	0,9225	0,9232	0,9239	0,9245	0,9252	0,9259	0,9265	0,9272	22°	1	2	3
68°	0,9272	0,9278	0,9285	0,9291	0,9298	0,9304	0,9311	0,9317	0,9323	0,9330	0,9336	21°	1	2	3
69°	0,9336	0,9342	0,9348	0,9354	0,9361	0,9367	0,9373	0,9379	0,9385	0,9391	0,9397	20°	1	2	3
70°	0,9397	0,9403	0,9409	0,9415	0,9421	0,9426	0,9432	0,9438	0,9444	0,9449	0,9455	19°	1	2	3
71°	0,9455	0,9461	0,9466	0,9472	0,9478	0,9483	0,9489	0,9494	0,9500	0,9505	0,9511	18°	1	2	3
72°	0,9511	0,9516	0,9521	0,9527	0,9532	0,9537	0,9542	0,9548	0,9553	0,9558	0,9563	17°	1	2	3
73°	0,9563	0,9568	0,9573	0,9578	0,9583	0,9588	0,9593	0,9598	0,9603	0,9608	0,9613	16°	1	2	3
74°	0,9613	0,9617	0,9622	0,9627	0,9632	0,9636	0,9641	0,9646	0,9650	0,9655	0,9659	15°	1	2	2
75°	0,9659	0,9664	0,9668	0,9673	0,9677	0,9681	0,9686	0,9690	0,9694	0,9699	0,9703	14°	1	2	2
76°	0,9703	0,9707	0,9711	0,9715	0,9720	0,9724	0,9728	0,9732	0,9736	0,9740	0,9744	13°	1	1	2
77°	0,9744	0,9748	0,9751	0,9755	0,9759	0,9763	0,9767	0,9770	0,9774	0,9778	0,9781	12°	1	1	2
78°	0,9781	0,9785	0,9789	0,9792	0,9796	0,9799	0,9803	0,9806	0,9810	0,9813	0,9816	11°	1	1	2
79°	0,9816	0,9820	0,9823	0,9826	0,9829	0,9833	0,9836	0,9839	0,9842	0,9845	0,9848	10°	1	1	2
80°	0,9848	0,9851	0,9854	0,9857	0,9860	0,9863	0,9866	0,9869	0,9871	0,9874	0,9877	9°	1	1	2
81°	0,9877	0,9880	0,9882	0,9885	0,9888	0,9890	0,9893	0,9895	0,9898	0,9900	0,9903	8°	0	1	1
82°	0,9903	0,9905	0,9907	0,9910	0,9912	0,9914	0,9917	0,9919	0,9921	0,9923	0,9925	7°	0	1	1
83°	0,9925	0,9928	0,9930	0,9932	0,9934	0,9936	0,9938	0,9940	0,9942	0,9943	0,9945	6°	0	1	1
84°	0,9945	0,9947	0,9949	0,9951	0,9952	0,9954	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9962	5°	0	1	1
85°	0,9962	0,9963	0,9965	0,9966	0,9968	0,9969	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974	0,9976	4°	0	1	1
86°	0,9976	0,9977	0,9978	0,9979	0,9980	0,9981	0,9982	0,9983	0,9984	0,9985	0,9986	3°	0	0	1
87°	0,9986	0,9987	0,9988	0,9989	0,9990	0,9990	0,9991	0,9992	0,9993	0,9993	0,9994	2°	0	0	0
88°	0,9994	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998	0,9998	0,9998	1°	0	0	0
89°	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90°	1.0000
	60′	54′	48′	42′	36′	тридцать′	24′	18′	12′	6′	0′	потому что	1′	2′	3′

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах давайте посмотрим, как использовать таблицу Брадиса.

sin 7° = 0,1219 (косинус внизу) cos 82° = 0,1392.

sin 3°42′ = 0,0645 (обозначено красным ниже) cos 80°24′ = 0,1668.

Обратите внимание, что то же самое относится и к определению значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим более сложный вариант, когда угол, представленный в таблице, не указан, а значит, приходится выбирать более близкое к нему значение (из указанных в таблице значений синуса и косинуса), а для разницы, которая может быть 1′,2′, 3′, берем поправку от минут (желтый столбец), как показано в примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0,0645+0,0009=0,0654 или

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0,0663−0,0009=0,0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса поправка имеет неотрицательный знак, а для косинуса — неположительный знак.

cos 80°27’=80°24’+3’=0,1668+(-0,0009)=0,1659 или

cos 80°27′=80°30′−3′=0,1650−(-0,0009)=0,1659