Синус угла. Таблица синусов.

Содержание

Определение синуса
Геометрическое определение синуса и косинуса
Тригонометрическое определение
Что такое синус и зачем он нужен?
График синуса
Свойства синуса
Обратная к синусу функция
Периодичность синуса
Четность
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Таблица синусов в радианах
Таблица Брадиса синусы
Связь между sin и cos одного угла
Тангенс и котангенс через синус и косинус

Определение синуса

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла α – это ордината точки B на единичной окружности, полученная поворотом точки P(1;0) на угол α.

sin(α) = BC/ABsin(-α) = -sin(α)

Геометрическое определение синуса и косинуса

sin(α) = BC/ABsin(-α) = -sin(α)

α — угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α) — это тригонометрическая функция угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длин противоположного катета |BC| на длину гипотенузы |AB|. Косинус (cos α) — тригонометрическая функция угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длин прилежащего катета |AC| на длину гипотенузы |AB|.

Тригонометрическое определение

По приведенным выше формулам можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник такой возможности не дает (например, в нем не может быть тупого угла); поэтому необходимо более общее определение синуса и косинуса, содержащее эти формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрический круг. Пусть задан любой угол; она соответствует одноименной точке на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.

На рис. 2 угол острый, и легко понять, что это определение совпадает с общегеометрическим определением. На самом деле мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой О и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть кос (ср рис. 1) и одновременно абсцисса точки; противоположный катет — sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы больше не ограничиваемся первой четвертью и получаем возможность расширить это определение на все стороны. На рис. 3 показано, каковы синус и косинус угла во второй, третьей и четвертой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Читайте также: Что такое луч

Что такое синус и зачем он нужен?

Вульгарное объяснение: синус — это математическое поле, в которое вставляется любое число, а в ответ оно выдает числа от −1 до 1. Если эти числа выстроить на определенной оси, получится такая кривая:

Как читать эту кривую: Если вы поместите число, примерно равное 1,57, в поле «sin», поле выведет число, близкое к единице. Если вы нажмете цифру 2, выход будет примерно 0,909. Если вы нажмете около 3,14, он вернет около 0. Синус 4,712 даст около -0,999. И так далее: число может быть сколь угодно большим, а синус всегда будет возвращать какое-то дробное значение от -1 до 1.

Это число взято из тригонометрии — то есть из науки, которая занимается углами и сторонами треугольника. В частности, синус описывает отношение между сторонами прямоугольного треугольника: насколько один из катетов (короткая сторона треугольника) короче гипотенузы (длинной стороны треугольника). Но чаще всего нам известны не длины сторон, а угол между ними, поэтому значения углов всегда записываются в синусы.

Грубо говоря, вы говорите ящику: «Коробка, у меня здесь прямоугольный треугольник. Смотрю на острый угол, это 30º. Что ты мне хочешь сказать?» А коробка отвечает: «Если угол равен 30º, то короткая сторона треугольника вдвое короче длинной гипотенузы. Итак, жалость (30º) = ½».

Это число очень нужно там в математике и компьютерах. Например, без синуса невозможно соединить две точки прямой линией на плоскости. Люди делают это легко линейкой, а вот компьютеру нужно очень четко сообразить, куда ставить пиксель, а для этого нужен синус.

Кроме синуса есть еще три аналогичные функции — косинус, тангенс и котангенс. Они в основном одинаковы, но описывают отношения с другими сторонами.

Многие языки программирования имеют встроенную команду для нахождения синуса угла — sin(). Внутри этой функции подключена некоторая логика для нахождения этого числа.

Чаще всего, когда не требуется высокой точности, компьютер берет значения синуса из готовых таблиц — находит там нужный угол и возвращает значение, ничего не вычисляя. Это достаточно быстро и точно для повседневного использования. Вы, наверное, использовали его в школе, когда считали пазухи в таблице Брадиса.

Таблица Брейди, по которой компьютер находит значения синуса с точностью до 4 знаков после запятой

Но когда требуется высокая точность вычислений (например, 20 знаков после запятой), синус и другие тригонометрические функции вычисляются каждый раз с нуля. Для этого используется множество различных алгоритмов, и самым простым из них является использование рядов Тейлора.

График синуса

Функция синуса записывается как y = sin(x). График называется синусоидой и в целом выглядит так:

Синусоида — это периодическая функция с периодом T = 2π.

Свойства синуса

Ниже в табличной форме представлены основные свойства синуса с формулами:

Свойство	Формула
Симметрия	грех (-α) = -sinα «порядок данных=»sin (-α) = -sin α»>sin (-α) = -sinα
Симметрия	sin (90°- α) = cos α» data-order=»sin (90°- α) = cos α»> sin (90°- α) = cos α
Пифагорейское тригонометрическое тождество	sin2 α + cos2 α = 1″ порядок данных=»sin2 α + cos2 α = 1″>sin2α + cos2α = 1
	sin α = cos α tg α» data-order=»sin α = cos α tg α»> sin α = cos α tg α
	грех α = 1 / csc α» порядок данных=»sin α = 1 / csc α»> sin α = 1 / csc α
Синус двойного угла	грех 2α = 2 грех α потому что α» порядок данных=»sin 2α = 2 sin α cos α»> sin 2α = 2 sin α cos α
Синус суммы углов	грех (α + β) = грех α, потому что β + потому что α, грех β» data-order=»sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β»> sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Синус угловой разности	грех (α-β) = грех α, потому что β — потому что α, грех β» data-order=»sin (α-β) = sin α cos β — cos α sin β»>sin(α-β) = sin α cos β — cos α sin β
Сумма синусов
Разница синусов
Произведение синуса
Произведение синуса и косинуса
Закон синуса	a / sin α = b / sin β = c / sin γ» data-order=»a / sin α = b / sin β = c / sin γ»>a/sin α = b/sin β = c/sin γ
Синусоидальная производная	грех х = потому что х» порядок данных=»sin’ x = cos x»> грех х = потому что х
Синусоидальный интеграл	∫ sin x dx = -cos x + C» data-order=»∫ sin x dx = -cos x + C»>∫ sin x dx = -cos x + C
Формула Эйлера	sin x = (eix — e-ix) / 2i» data-order=»sin x = (eix — e-ix) / 2i»> sin x = (eix — e-ix) / 2i

Обратная к синусу функция

Арксинус x является обратным синусу x, для -1≤x≤1.

Если синус угла y равен x (sin y = x), то дуга x равна y:

arcsinx=sin-1x=y

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) является периодической с периодом 2π

грех (α ± 2π) = грех (α)

Пример sin(5π) = sin(4π + π) = sin(π)

Четность

Функция синуса странная. Функция косинуса гладкая.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синуса и косинуса непрерывны в своей области определения, т е при всех x (см доказательство непрерывности). Их основные характеристики представлены в таблице (n — целое число).

	у = грех х	у = потому что х
Объем и преемственность	– ∞ < х < + ∞	– ∞ < х < + ∞
Диапазон значений	–1 ≤ у ≤ 1	–1 ≤ у ≤ 1
Рост
По убыванию
Максимум, у = 1
Минимум, у = –1
Ноль, у=0
Точки пересечения с осью Y, x = 0	у=0	у=1

Таблица синусов в радианах

sin(0°) = 0sin(π/12) = sin(15°) = 0,2588190451sin(π/6) = sin(30°) = 0,5sin(π/4) = sin(45°) = 0,7071067812sin (π/3) = sin(60°) = 0,8660254038sin(5π/12) = sin(75°) = 0,9659258263sin(π/2) = sin(90°) = 1sin(7π/12) = sin(105 °) = 0,9659258263sin(2π/3) = sin(120°) = 0,8660254038sin(3π/4) = sin(135°) = 0,7071067812sin(5π/6) = sin(150° 1)(2π5/1.) = sin(165°) = 0,2588190451sin(π) = sin(180°) = 0sin(13π/12) = sin(195°) = -0,2588190451sin(7π/6) = sin(210°) = -0,5 sin(5π/4) = sin(225°) = -0,7071067812sin(4π/3) = sin(240°) = -0,8660254038sin(17π/12) = sin(255°) = -0,9659258263sin(3π)) = sin(270°) = -1sin(19π/12) = sin(285°) = -0,9659258263sin(5π/3) = sin(300°) = -0,8660254038sin(7π/4) = sin(315°) = -0,7071067812sin(11π/6) = sin(330°) = -0,5sin(23π/12) = sin(345°) = — 0,2588190451

Таблица Брадиса синусы

грех (0) = 0	грех(120) = 0,8660254038	грех(240) = -0,8660254038
грех(1) = 0,01745240644	грех(121) = 0,8571673007	грех(241) = -0,8746197071
грех (2) = 0,0348994967	грех(122) = 0,8480480962	грех(242) = -0,8829475929
грех(3) = 0,05233595624	грех(123) = 0,8386705679	грех(243) = -0,8910065242
грех(4) = 0,06975647374	грех(124) = 0,8290375726	грех(244) = -0,8987940463
грех(5) = 0,08715574275	грех(125) = 0,8191520443	грех(245) = -0,906307787
грех(6) = 0,1045284633	грех(126) = 0,8090169944	грех(246) = -0,9135454576
грех(7) = 0,1218693434	грех(127) = 0,79863551	грех(247) = -0,9205048535
грех (8) = 0,139173101	грех(128) = 0,7880107536	грех(248) = -0,9271838546
грех (9) = 0,156434465	грех(129) = 0,7771459615	грех(249) = -0,9335804265
грех(10) = 0,1736481777	грех(130) = 0,7660444431	грех(250) = -0,9396926208
грех(11) = 0,1908089954	грех(131) = 0,7547095802	грех(251) = -0,9455185756
грех(12) = 0,2079116908	грех(132) = 0,7431448255	грех(252) = -0,9510565163
грех(13) = 0,2249510543	грех(133) = 0,7313537016	грех(253) = -0,956304756
грех(14) = 0,2419218956	грех(134) = 0,7193398003	грех(254) = -0,9612616959
грех(15) = 0,2588190451	грех(135) = 0,7071067812	грех(255) = -0,9659258263
грех(16) = 0,2756373558	грех(136) = 0,6946583705	грех(256) = -0,9702957263
грех(17) = 0,2923717047	грех(137) = 0,6819983601	грех(257) = -0,9743700648
грех(18) = 0,3090169944	грех(138) = 0,6691306064	грех(258) = -0,9781476007
грех(19) = 0,3255681545	грех(139) = 0,656059029	грех(259) = -0,9816271834
грех(20) = 0,3420201433	грех(140) = 0,6427876097	грех(260) = -0,984807753
грех(21) = 0,3583679495	грех(141) = 0,629320391	грех(261) = -0,9876883406
грех(22) = 0,3746065934	грех(142) = 0,6156614753	грех(262) = -0,9902680687
грех(23) = 0,3907311285	грех(143) = 0,6018150232	грех(263) = -0,9925461516
грех(24) = 0,4067366431	грех(144) = 0,5877852523	грех(264) = -0,9945218954
грех(25) = 0,4226182617	грех(145) = 0,5735764364	грех(265) = -0,9961946981
грех(26) = 0,4383711468	грех(146) = 0,5591929035	грех(266) = -0,9975640503
грех(27) = 0,4539904997	грех(147) = 0,544639035	грех(267) = -0,9986295348
грех(28) = 0,4694715628	грех(148) = 0,5299192642	грех(268) = -0,999390827
грех(29) = 0,4848096202	грех(149) = 0,5150380749	грех(269) = -0,9998476952
грех(30) = 0,5	грех(150) = 0,5	грех(270) = -1
грех(31) = 0,5150380749	грех(151) = 0,4848096202	грех(271) = -0,9998476952
грех(32) = 0,5299192642	грех(152) = 0,4694715628	грех(272) = -0,999390827
грех(33) = 0,544639035	грех(153) = 0,4539904997	грех(273) = -0,9986295348
грех(34) = 0,5591929035	грех(154) = 0,4383711468	грех(274) = -0,9975640503
грех(35) = 0,5735764364	грех(155) = 0,4226182617	грех(275) = -0,9961946981
грех(36) = 0,5877852523	грех(156) = 0,4067366431	грех(276) = -0,9945218954
грех(37) = 0,6018150232	грех(157) = 0,3907311285	грех(277) = -0,9925461516
грех(38) = 0,6156614753	грех(158) = 0,3746065934	грех(278) = -0,9902680687
грех(39) = 0,629320391	грех(159) = 0,3583679495	грех(279) = -0,9876883406
грех(40) = 0,6427876097	грех(160) = 0,3420201433	грех(280) = -0,984807753
грех(41) = 0,656059029	грех(161) = 0,3255681545	грех(281) = -0,9816271834
грех(42) = 0,6691306064	грех(162) = 0,3090169944	грех(282) = -0,9781476007
грех(43) = 0,6819983601	грех(163) = 0,2923717047	грех(283) = -0,9743700648
грех(44) = 0,6946583705	грех(164) = 0,2756373558	грех(284) = -0,9702957263
грех(45) = 0,7071067812	грех(165) = 0,2588190451	грех(285) = -0,9659258263
грех(46) = 0,7193398003	грех(166) = 0,2419218956	грех(286) = -0,9612616959
грех(47) = 0,7313537016	грех(167) = 0,2249510543	грех(287) = -0,956304756
грех(48) = 0,7431448255	грех(168) = 0,2079116908	грех(288) = -0,9510565163
грех(49) = 0,7547095802	грех(169) = 0,1908089954	грех(289) = -0,9455185756
грех(50) = 0,7660444431	грех(170) = 0,1736481777	грех(290) = -0,9396926208
грех(51) = 0,7771459615	грех(171) = 0,156434465	грех(291) = -0,9335804265
грех(52) = 0,7880107536	грех(172) = 0,139173101	грех(292) = -0,9271838546
грех(53) = 0,79863551	грех(173) = 0,1218693434	грех(293) = -0,9205048535
грех(54) = 0,8090169944	грех(174) = 0,1045284633	грех(294) = -0,9135454576
грех(55) = 0,8191520443	грех(175) = 0,08715574275	грех(295) = -0,906307787
грех(56) = 0,8290375726	грех(176) = 0,06975647374	грех(296) = -0,8987940463
грех(57) = 0,8386705679	грех(177) = 0,05233595624	грех(297) = -0,8910065242
грех(58) = 0,8480480962	грех(178) = 0,0348994967	грех(298) = -0,8829475929
грех(59) = 0,8571673007	грех(179) = 0,01745240644	грех(299) = -0,8746197071
грех(60) = 0,8660254038	грех(180) = 0	грех(300) = -0,8660254038
грех(61) = 0,8746197071	грех(181) = -0,01745240644	грех(301) = -0,8571673007
грех(62) = 0,8829475929	грех(182) = -0,0348994967	грех(302) = -0,8480480962
грех(63) = 0,8910065242	грех(183) = -0,05233595624	грех(303) = -0,8386705679
грех(64) = 0,8987940463	грех(184) = -0,06975647374	грех(304) = -0,8290375726
грех(65) = 0,906307787	грех(185) = -0,08715574275	грех(305) = -0,8191520443
грех(66) = 0,9135454576	грех(186) = -0,1045284633	грех(306) = -0,8090169944
грех(67) = 0,9205048535	грех(187) = -0,1218693434	грех(307) = -0,79863551
грех(68) = 0,9271838546	грех(188) = -0,139173101	грех(308) = -0,7880107536
грех(69) = 0,9335804265	грех(189) = -0,156434465	грех(309) = -0,7771459615
грех(70) = 0,9396926208	грех(190) = -0,1736481777	грех(310) = -0,7660444431
грех(71) = 0,9455185756	грех(191) = -0,1908089954	грех(311) = -0,7547095802
грех(72) = 0,9510565163	грех(192) = -0,2079116908	грех(312) = -0,7431448255
грех(73) = 0,956304756	грех(193) = -0,2249510543	грех(313) = -0,7313537016
грех(74) = 0,9612616959	грех(194) = -0,2419218956	грех(314) = -0,7193398003
грех(75) = 0,9659258263	грех(195) = -0,2588190451	грех(315) = -0,7071067812
грех(76) = 0,9702957263	грех(196) = -0,2756373558	грех(316) = -0,6946583705
грех(77) = 0,9743700648	грех(197) = -0,2923717047	грех(317) = -0,6819983601
грех(78) = 0,9781476007	грех(198) = -0,3090169944	грех(318) = -0,6691306064
грех(79) = 0,9816271834	грех(199) = -0,3255681545	грех(319) = -0,656059029
грех(80) = 0,984807753	грех(200) = -0,3420201433	грех(320) = -0,6427876097
грех(81) = 0,9876883406	грех(201) = -0,3583679495	грех(321) = -0,629320391
грех(82) = 0,9902680687	грех(202) = -0,3746065934	грех(322) = -0,6156614753
грех(83) = 0,9925461516	грех(203) = -0,3907311285	грех(323) = -0,6018150232
грех(84) = 0,9945218954	грех(204) = -0,4067366431	грех(324) = -0,5877852523
грех(85) = 0,9961946981	грех(205) = -0,4226182617	грех(325) = -0,5735764364
грех(86) = 0,9975640503	грех(206) = -0,4383711468	грех(326) = -0,5591929035
грех(87) = 0,9986295348	грех(207) = -0,4539904997	грех(327) = -0,544639035
грех(88) = 0,999390827	грех(208) = -0,4694715628	грех(328) = -0,5299192642
грех(89) = 0,9998476952	грех(209) = -0,4848096202	грех(329) = -0,5150380749
грех(90) = 1	грех(210) = -0,5	грех(330) = -0,5
грех(91) = 0,9998476952	грех(211) = -0,5150380749	грех(331) = -0,4848096202
грех(92) = 0,999390827	грех(212) = -0,5299192642	грех(332) = -0,4694715628
грех(93) = 0,9986295348	грех(213) = -0,544639035	грех(333) = -0,4539904997
грех(94) = 0,9975640503	грех(214) = -0,5591929035	грех(334) = -0,4383711468
грех(95) = 0,9961946981	грех(215) = -0,5735764364	грех(335) = -0,4226182617
грех(96) = 0,9945218954	грех(216) = -0,5877852523	грех(336) = -0,4067366431
грех(97) = 0,9925461516	грех(217) = -0,6018150232	грех(337) = -0,3907311285
грех(98) = 0,9902680687	грех(218) = -0,6156614753	грех(338) = -0,3746065934
грех(99) = 0,9876883406	грех(219) = -0,629320391	грех(339) = -0,3583679495
грех(100) = 0,984807753	грех(220) = -0,6427876097	грех(340) = -0,3420201433
грех(101) = 0,9816271834	грех(221) = -0,656059029	грех(341) = -0,3255681545
грех(102) = 0,9781476007	грех(222) = -0,6691306064	грех(342) = -0,3090169944
грех(103) = 0,9743700648	грех(223) = -0,6819983601	грех(343) = -0,2923717047
грех(104) = 0,9702957263	грех(224) = -0,6946583705	грех(344) = -0,2756373558
грех(105) = 0,9659258263	грех(225) = -0,7071067812	грех(345) = -0,2588190451
грех(106) = 0,9612616959	грех(226) = -0,7193398003	грех(346) = -0,2419218956
грех(107) = 0,956304756	грех(227) = -0,7313537016	грех(347) = -0,2249510543
грех(108) = 0,9510565163	грех(228) = -0,7431448255	грех(348) = -0,2079116908
грех(109) = 0,9455185756	грех(229) = -0,7547095802	грех(349) = -0,1908089954
грех(110) = 0,9396926208	грех(230) = -0,7660444431	грех(350) = -0,1736481777
грех(111) = 0,9335804265	грех(231) = -0,7771459615	грех(351) = -0,156434465
грех(112) = 0,9271838546	грех(232) = -0,7880107536	грех(352) = -0,139173101
грех(113) = 0,9205048535	грех(233) = -0,79863551	грех(353) = -0,1218693434
грех(114) = 0,9135454576	грех(234) = -0,8090169944	грех(354) = -0,1045284633
грех(115) = 0,906307787	грех(235) = -0,8191520443	грех(355) = -0,08715574275
грех(116) = 0,8987940463	грех(236) = -0,8290375726	грех(356) = -0,06975647374
грех(117) = 0,8910065242	грех(237) = -0,8386705679	грех(357) = -0,05233595624
грех(118) = 0,8829475929	грех(238) = -0,8480480962	грех(358) = -0,0348994967
грех(119) = 0,8746197071	грех(239) = -0,8571673007	грех(359) = -0,01745240644

Связь между sin и cos одного угла

Вы, наверное, уже знаете, что тождественное похоже.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла. Это означает, что одна из этих функций может быть найдена, если известна другая функция.

Ключом к сердцу тригонометрии является основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите ее, чтобы ваши отношения с тригонометрией развивались наилучшим образом:

sin2α + cos2α = 1

Сходство между тангенсом и котангенсом следует из основного тождества, поэтому оно является ключевым.

Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводятся из основного тождества делением обеих частей на sin2α и cos2α.

В результате деления получаем:

Поэтому важнейшему тригонометрическому тождеству уделяется максимальное внимание. Но какие же «метрики» могут обойтись без доказательств. Увидеть личность — докажи ее не раздумывая.

sin2α + cos2α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Для доказательства тождества обратимся к теме единичного круга.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin2α + cos2α = 1

Итак, мы знаем координаты точки A (1; 0).
Произвольный угол α, поэтому cos α = x0 = OB.
Если точку А повернуть на угол α, то точка А займет место точки А1.
По определению:
- Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом угла (cos α) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Это означает, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.
Опускаем перпендикуляр A1B к x0 из точки A1.
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
|А1В| = |у|
|ОБ| = |х|.
Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.
|ОА1| = 1.
Используя полученное выражение, запишем равенство по теореме Пифагора, так как полученный угол прямой:
|A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.
Запишем это в виде: |y|2 + |x|2 = 12.
Это означает, что y2 + x2 = 1.
угол греха α = y
cos угол α = x
Вставьте данные угла вместо координат точки:
ОВ = cosα
A1B = sinα
А1О = 1
Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
КЭД

Основное тригонометрическое тождество связывает синус с углом и косинус с углом. Зная один, вы легко найдете другой. Вам просто нужно извлечь квадратный корень по формулам:

sinα = ±
коса = ±

Как видите, перед корнем может стоять как минус, так и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, был ли первоначальный синус/косинус угла положительным или отрицательным.

Как правило, в задачах с подобными формулами уже есть условия, помогающие определить знак. Обычно таким условием является указание координатной четверти. Это позволяет легко узнать, какой знак нам нужен.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Несколько вступлений:

Синус угла — это ордината у.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не очень понятных слов можно сделать вывод, что одно зависит от другого. Такое соединение помогает отдельно преобразовывать нужные величины.