Смешанное произведение векторов

Термин

Чтобы узнать, что это за член, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанное произведение a→, b→ и d→ — это значение, равное скалярному произведению a→×b→ и d→ , где a→×b→ — произведение a→ и b→ . Операция умножения a→, b→ и d→ часто упоминается как a→·b→·d→. Вы можете преобразовать формулу следующим образом: a→·b→·d→=(a→×b→,d→) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножать векторы, если они заданы на координатной плоскости.

Возьми i→, j→, k→

Произведение векторов в этом частном случае будет иметь следующий вид: a→×b→=(ay bz-az by) i→+(az bx+ax bz) j→+(ax by+ay bx) k→= ayazbybz i →-axazbxbz j→+axaybxby k→

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученные при умножении координат.

Поэтому:

a→×b→=(ay bz-az by) i→+(az bx+ax bz) j→+(ax by+ay bx) k→=ayazbybz i→- axazbxbz j→+axaybxby k→

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в данной системе координат заданы координаты перемножаемых векторов.

a→×b→=(ayazbybz i→-axazbxbz j→+axaybxby k→, dx i→+dy j→+dz k→)==ayazbybz dx-axazbxbz dy+axaybxby dz =axayazbxbybzdxdydz

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, строки которой представляют собой векторные координаты. Визуально это выглядит так: a→·b→·d=a→×b→, d→=axayazbxbybzdxdydz .

Свойства операций над векторами Из функций, выделяющихся в скалярном или векторном произведении, можно вывести функции, характеризующие смешанное произведение. Мы представляем основные функции ниже.

1. (λ a→) b→ d→=a→ (λ b→) d→=a→ b→ (λ d→)=λ a→ b→ d→ λ ∈ R ;
2. а→·b→·d→=d→·a→·b→=b→·d→·a→; a→ d→ b→=b→ a→ d→=d→ b→ a→ ;
3. (a(1)→+a(2)→)b→d→=a(1)→b→d→+a(2)→b→d→a→(b(1)→+b(2) →) d→=a→ b(1)→ d→+a→ b(2)→ d→a→ b→ (d(1)→+d (2)→)=a→ b→ d(2) →+а→ б→ г(2)→

Помимо вышеперечисленных свойств, следует уточнить, что если множитель равен нулю, то и результат умножения будет равен нулю.

Результат умножения также будет равен нулю, если два или более множителя равны.

Действительно, если a→=b→ , то по определению векторного произведения a→×b→=a→ b→ sin 0 =0 смешанное произведение равно нулю, так как (a→×b →, d →)=(0→, d→)=0 .

Если a→=b→ или b→=d→ , то угол между векторами a→×b→ и d→ равен π2 . По определению скалярного произведения векторов (a→×b→, d→)=a→×b→ d→ cosπ2=0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются при решении задач.
Чтобы подробно проанализировать эту тему, давайте возьмем несколько примеров и опишем их подробно.

Пример 1

Докажите равенство (a→×b→, d→+λ·a→+b→)=(a→×b→, d→) , где λ — действительное число.

Чтобы найти решение этого равенства, необходимо преобразовать его левую часть. Для этого нужно использовать третье свойство смешанного произведения, которое гласит:

(a→×b→, d→+λ a→+b→)=(a→×b→, d→)+(a→×b→, λ a→)+([a →×б→], б→)
Мы проанализировали, что ((a→×b→, b→)=0. Отсюда следует, что
(a→×b→, d→+λ a→+b→)=(a→×b→, d→)+(a→×b→, λ a→)+([a →×b→], b→)==(a→×b→, d→)+(a→×b→, λ a→)+0=(a→×b→, d →)+([а→×b→], λ а→)

Согласно первому свойству ([a⇀×b⇀], λ·a→)=λ·([a⇀×b⇀],a→) и ([a⇀×b⇀], a→)= 0 . Таким образом, ([a⇀×b⇀], λ·a→) . Поэтому,
([a⇀×b⇀], d→+λ a→+b→)=([a⇀×b⇀], d→)+([a⇀×b⇀], λ a→)== ([а⇀×b⇀], d→)+0=([a⇀×b⇀], d→)

Равенство доказано.

Пример 2

Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше произведения их длин.

Решение

Исходя из условия, мы можем представить пример в виде неравенства a→×b→, d→≤a→·b→·d→ .

По определению преобразуем неравенство a→×b→, d→=a→×b→ d→ cos(a→×b→^, d→)==a→ b→ sin(a→, b→ ^) d→ cos([a→×b→^], d)

Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0≤sin(a→, b→^)≤1, 0≤cos([a→×b→^], d→)≤1 .

Отсюда можно сделать вывод, что
(a→×b→, d→)=a→ b→ sin(a→, b→)^ d→ cos(a→×b→^, d→)≤≤a→ b→ 1 d→ 1=a → б→ г→

Неравенство доказано.

Читайте также: Основное Тригонометрическое Тождество

Геометрический смысл

Мы используем факторы a→, b→ и d→ .

Векторы a→, b→ и d→ исходят из одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.

Укажите, что c→=a→×b→. В этом случае вы можете определить произведение векторов как a→ b→ d→=c→ d→ cos(c→, d→^)=c→ npc→d→ , где npc→d→ числовая проекция вектор d → в направлении вектора c→=a→×b→ .

Абсолютное значение npc→d→ равно числу, равному также высоте фигуры, где в качестве сторон используются векторы a→, b→ и d→. Исходя из этого, следует уточнить, что c→=a→×b→ перпендикулярно a→ и вектору и вектору согласно определению векторного умножения. Значение c→=a→xb→ равно площади параллелепипеда, построенного на векторах a→ и b→ .

Делаем вывод, что модуль произведения a→·b→·d→=c→·npc→d→ равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, построенной на векторах a→, б→ и г→ .

Определение 4

Абсолютное значение векторного произведения — это объем ящика: Vbox=a→·b→·d→ .

Эта формула имеет геометрический смысл.

Определение 5

Объем тетраэдра, построенного на a→,b→ и d→, равен 1/6 объема параллелепипеда→ .

Для закрепления знаний разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Требуется найти объем параллелепипеда со сторонами AB→=(3, 6, 3), AC→=(1, 3, -2), AA1→=(2, 2, 2) , заданного в виде прямоугольная система координат. Объем параллелепипеда можно найти по формуле абсолютного значения. Отсюда следует: AB→AC→AA1→=36313-2222=3 3 2+6 (-2) 2+3 1 2-3 3 2-6 1 2- 3 (-2) 2=-18

Тогда Vbox=-18=18 .

Vпараллелепипед=18

Пример 7

В системе координат заданы точки A(0, 1, 0), B(3, -1, 5), C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1). Необходимо определить объем тетраэдра, находящегося в этих точках.

Воспользуемся формулой Vтетраэдр=16·AB→·AC→·AD→ . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: AB→=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)AC→=(1-0, 0 -1, 3 -0) =(1,-1, 3)AD→=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)

Тогда определим смешанное произведение AB→AC→AD→ координатами векторов: AB→AC→AD→=3-251-13-221=3 (-1) 1+(-2) 3 (-2))+ 5 1 2-5 (-1) (-2)-(-2) 1 1-3 3 2=-7 Объем Vтетраэдра=16-7=76 .

Vтетраэдр=76 .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или более) называются компланарными, если при сведении к общему началу они лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов равен нулю, эти три вектора также считаются компланарными.

Признаки компланарности. Если система a, b, c верна, то abc>0; если оставить, то abc<0. Если векторы a, b, c компланарны, то abc=0. Другими словами, исчезновение смешанного произведения abc является признаком компланарности векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятом со знаком плюс, если система a, b, c прямая, а со знаком минус, если эта система остается.

YXZa(3;0;0)b(0;3;0)c(0;0;3)

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке множителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух множителей меняет знак: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Это следует из геометрического смысла.
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое количество терминов.
   Это следует из определения смешанного произведения.
3. (ma)bc=m(abc) (ассоциативность по отношению к скалярному множителю).
   Это следует из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических только тем, что порядок сомножителей можно менять только с учетом знака произведения.
4. Смешанный продукт по крайней мере с двумя равными множителями равен нулю: aab=0.

Пример №1. Найдите смешанный продукт ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

Пример №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc+bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba +bcc+bca. Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Также bca=abc. Следовательно, (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

Пример №3. Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Решение. Для вычисления смешанного произведения векторов необходимо найти определитель системы, состоящей из координат векторов. Запишем систему в виде:

А =

15 20 5 2 -4 14 3 -6 21

Главный определитель:
∆ = 15 • ((-4) • 21-(-6) • 14)-2 • (20 • 21-(-6) • 5)+3 • (20 • 14-(-4) • 5) = 0
Поскольку определитель равен 0, векторы компланарны (они лежат в одной плоскости).

Примечание. Определитель матрицы можно найти несколькими способами:

1. метод треугольника.
2. метод Гаусса.
3. через алгебраические дополнения (разложение по элементам первой строки).
4. метод разложения.

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, которая составлена ​​из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующий:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {ax; да; аз}, Ь = {Ьх; из; бз} и с = {сх; шить; сz}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе), мы строим матрицу элементов, как показано ниже, а затем вычисляем ее определитель.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, состоящей из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {ax; да; аз},б = {Ьх; из; бз} и с = {сх; су; cz} в декартовых координатах можно рассчитать по следующей формуле:

а [б × с] =	топор	да	аз
бх	из	бз
сх	су	cz

 

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и c равен объему параллелепипеда, образованного этими векторами:
  Vпар = |a · [b × c]|
• Геометрический смысл смешанного произведения. Объем пирамиды, образованной тремя векторами a, b и c, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:
  

  Впир =	1	|а · [б × с]|
  6

• Если смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
• а [b × c] = b (ac) — c (ab)
• a [b × c] = b [c × a] = c [a × b] = -a [c × b] = -b [a × c] = -c [b × a]
• a [b × c] + b [c × a] + c [a × b] = 0 — тождество Якоби.

Разбор типовых задач

Чтобы определить, чему равно произведение векторов, нужно знать координаты перемножаемых векторов. Для операции можно использовать следующую формулу a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz .

Пример 3

В прямоугольной системе координат 3 вектора представлены следующими координатами: a→=(1, -2, 3), b→(-2, 2, 1), d→=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a→·b→·d→ .

Основываясь на изложенной выше теории, мы можем использовать правило, которое гласит, что произведение смеси можно вычислить из определителя матрицы. Это будет выглядеть так: a→ b→ d→=(a→×b→, d→)=axayazbxbybzdxdydz=1-23-2213-25==1 2 5+(-1) 1 3 +3 (-2) (-2)-3 2 3-(-1) (-2) 5-1 1 (-2)=-7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i→+j→, i→+j→-k→, i→+j→+2·k→ , где i→,j→, k→ — орты прямоугольная декартова система координат.

Исходя из условия, что векторы находятся в заданной системе координат, мы можем вывести их координаты: i→+j→=(1, 1, 0)i→+j→-k→=(1, 1, -1) я →+j→+2 k→=(1, 1, 2)

Используйте формулу выше
i→+j→×(i→+j→-k→, (i→+j→+2 k→)=11011-1112=0i→+j→×(i→+j→-k→, (i →+j→+2 k→)=0

Также можно определить смешанное произведение, используя уже известную длину вектора и угол между ними. Разберем эту задачу на примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат есть три вектора a→,b→ и d→, которые перпендикулярны друг другу. Они представляют собой правильную тройку, их длины равны 4, 2 и 3. Вам нужно перемножить векторы.

Обозначим c→=a→×b→ .

По правилу результатом умножения скалярных векторов является число, равное результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Мы заключаем, что a→·b→·d→=(a→×b→, d→)=c→,d→=c→·d→·cos(c→, d→^) .

Используйте длину вектора d→, указанную в примере условия: a→ b→ d→=c→ d→ cos(c→, d→^)=3 c→ cos(c→, d→^) . Необходимо определить c→ и c→, d→^ . По условию a→,b→^=π2, a→=4, b→=2. Найдите вектор c→ по формуле: c→=a→×b→=a→ b→ sina→, b→^=4 2 sinπ2=8
Мы можем заключить, что c→ перпендикулярно a→ и b→ . Векторы a→, b→, c→ будут правильной тройкой, поэтому используется декартова система координат. Векторы c→ и d→ будут однонаправленными, то есть c→,d→^=0 . Используя полученные результаты, решаем пример a→·b→·d→=3·c→·cos(c→, d→^)=3·8·cos 0=24 .

а→·b→·d→=24 .

Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, б = {1; 1; 1}, с = {1; 2; 1}.

Решение:

а [б × с] =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 — 1 1 3 — 1 1 2 — 1 1 2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Пример 2. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2; 3}, б = {1; -1; 1}, с = {2; 0; -1}.

Решение: Найдите смешанное произведение этих векторов:

а [б × с] =	1	2	3	=
1	-1	1
2	0	-1

= 1 (-1) (-1) + 2 1 2 + 3 1 0 — 3 (-1) 2 — 2 1 (-1) — 1 1 0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 — 0 = 13

Найдите объем пирамиды, используя свойства:

Впир =	1	|а · [б × с]| =	1. 3	= 2	1
6	6	6