Общие сведения
Основными элементами, используемыми в геометрии, являются лучи и углы. С их помощью формируется любая геометрическая фигура – квадрат, треугольник или любой вид многоугольника. Луч – это полупрямая, то есть часть прямой, где точки расположены по одну сторону от тела. По-другому можно сказать, что луч — это линия, ограниченная только с одной стороны. Обозначают его как заглавными латинскими буквами, так и заглавными буквами с названием точек. Во втором случае отправная точка указывается первой.
Два луча, исходящие из одной точки, образуют угол. По сути, это открытая геометрическая фигура. Он имеет вершину (общую точку) и стороны. Обозначают его с помощью трех заглавных букв, соответствующих трем точкам — вершине и двум лучам, расположенным по разные стороны. Внутренняя часть образована множеством точек, принадлежащих плоскости, ограниченной сторонами угла.
Существует шесть типов углов:
- Резкий – расстояние между сторонами меньше 90 градусов.
- Прямая образована двумя взаимно перпендикулярными прямыми.
- Тупой угол больше 90 градусов, но не больше 180.
- Расширенный — представляет собой сумму двух прямых элементов.
- Выпуклая – угол между лучами больше 180 градусов, но меньше 360.
- Полный — соответствует 360 градусам.
Находясь на плоскости, относительно друг друга, углы могут быть смежными или вертикальными. По определению, смежные углы — это такая пара, у которой одна сторона принадлежит обеим фигурам, а два других луча образуют прямую. Вертикальные углы – это углы, стороны которых дополняют друг друга в прямые линии. Они всегда равны по степени.
От угла всегда можно провести линию, разделяющую его на две равные части. Такой луч, исходящий из вершины, называется биссектрисой. А это значит, что после его выполнения образуются два равных смежных угла, обладающих одинаковыми свойствами.
Единицей измерения вращения фигуры является градусная мера. Если оно содержит нецелое число градусов, используются минуты и секунды. Таким образом, один градус содержит 60 минут, а одна минута содержит 60 секунд.
Смежные углы
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла образуют прямой угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только если смежные углы не равны).
∠ABD и ∠DBC — смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная с прямой AC, ∠ABC — прямой угол, B — основание наклонного.
Чтобы построить угол, смежный с данным углом, вытяните одну из сторон угла за вершину:
Читайте также: Вписанный в конус шар (сфера): как найти радиус, объем, площадь
Определение смежных углов
Два смежных угла, которые своими внешними сторонами образуют прямую, называются смежными. На рисунке ниже это углы α и β.
Если два угла имеют одну и ту же вершину и сторону, то они смежные. При этом внутренние области этих вершин не должны пересекаться.
Принцип построения смежного угла
Одну из сторон угла протягиваем через вершину дальше, в результате чего образуется новый угол, следующий за первоначальным.
Теорема о смежных углах
Сумма градусов смежных углов равна 180°.
Рядом с углом 1 + Смежный угол 2 = 180°
Пример 1
Один из смежных углов равен 92°, чему равен другой?
Решение, согласно рассмотренной выше теореме, очевидно:
Смежный угол 2 = 180° – Смежный угол 1 = 180° — 92° = 88°.
Следствия теоремы:
- Смежные углы двух равных углов равны между собой.
- Если угол примыкает к прямому углу (90°), то он также равен 90°.
- Если угол находится рядом с вершиной, то он больше 90°, т.е тупой (и наоборот).
Пример 2
Допустим, у нас есть угол, близкий к 75°. Он должен быть больше 90°. Давайте проверим это.
Используя теорему, находим значение второго угла:
180° — 75° = 105°.
105° > 90°, поэтому угол тупой.
Следствия из теоремы о смежных углах
- Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
- Если угол не расширяется, он не равен 180 градусам.
- Угол, примыкающий к прямому углу (то есть угол, мера которого равна $90^{circ}$), также является прямым углом.
- Угол, примыкающий к острому углу (значение которого меньше $90^{circle}$), является тупым (больше $90^{circle}$), а к тупому углу — острый.
Пример
Упражнение. Докажите, что у двух неподобных углов смежные с ними углы также неподобны, причем меньшему прилежащему углу соответствует больший угол.
Доказательство. Пусть даны два угла $angle alpha neq angle beta$. Для определенности будем считать, что $angle alpha > angle beta$. Пусть $angle alpha_{1}$ и $angle beta_{1}$ — соответствующие им смежные углы. Тогда по теореме о соседних углах имеем:
$$угол alpha_{1}=180^{circ}-угол alpha, угол beta_{1}=180^{circ}-угол beta$
Так как $angle alpha neq angle beta$, то разности в правой части последних равенств тоже не равны, а если уменьшаемое равно, то разность меньше там, где вычитаемое больше, поэтому $angle alpha_{ 1} < angle beta_{1}$.
КЭД
Тригонометрические свойства смежных углов
- Синусы смежных углов равны, т.е sinα = sinβ.
- Значения косинусов и тангенсов смежных углов равны, но имеют противоположные знаки (кроме неопределенных значений).
- потому что α = -cos β.
- tg α = -tg β.
Сумма смежных углов
Любые два смежных угла образуют прямой угол. Прямой угол равен двум прямым углам, поэтому мы можем сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.
∠ABD + ∠DBC = 2d,
где d — обозначение прямого угла (d = 90°).
Вертикальные углы
Вертикальные углы — это пара углов, в которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых образует две пары вертикальных углов:
∠AOB и ∠COD и ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными углами.
Равенство вертикальных углов
Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:
Сумма ∠1 и ∠2 равна прямому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 также равна прямому углу (180°). Фонды:
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3
Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.
Углы при пересечении двух прямых секущей
Примеры решения задач
решать задачи на заданную тему проще, если делать рисунки. С их помощью, помимо знания свойств и теорем, найти правильный ответ не составит труда. Есть стандартные задания, позволяющие закрепить пройденный материал и применить полученные знания на практике. Вот самые интересные с похожим решением:
- Возможна ли такая соседняя пара, где два острых угла? Чтобы ответить на вопрос, необходимо рассуждать следующим образом. Острый элемент — это тот, угол поворота которого меньше 90 градусов. Так как пара должна содержать общую сторону, второй элемент будет тупым. Исключение будет, если лучи выходят из вершины под прямым углом друг к другу, поэтому существование такой пары невозможно.
- Один из соединяемых элементов меньше другого на 80 градусов, необходимо найти изгиб другого. Так, если первый угол принять равным U, то второй, по условию, будет равен U — 80. Так как в сумме оба дают 180 градусов, то будут верны следующие уравнения: U + U + 66 = 180 ; 2 * У = 180 — 80; 2*U=100; U = 100/2 = 50. Отсюда поворот второго элемента будет: 50 + 80 = 130 градусов.
- Есть два прямоугольных треугольника со смежными углами, и их меры в градусах связаны соотношением 2:3. Чтобы найти их значения, вспомните, что сумма смежных углов равна 180 градусам. Обозначив первый виток двумя х, а второй кратным трем, справедливо будет написать: 2х + 3х = 180. После решения уравнения можно определить х, значение будет: х = 30. Тогда , подставив вместо x его числовое значение, достаточно легко вычислить ответ. Искомые значения будут 60 и 90 градусов.
- Одна восьмая часть одного из соседних элементов и три четверти другого образуют прямую фигуру. Мы должны найти разницу. Так как сумма парных углов равна 180°, пусть один из них равен х, другой будет равен у. На основе этих данных можно составить систему: x+y=180; х/8+(3у)/4=90. Если сложить оба уравнения, то можно получить равенство: х+6у=720; 5y = 540. Следовательно: y = 108°, x = 180 — 108 = 72 градуса. В итоге искомая разница будет: 108 — 72 = 36.
Важно уметь правильно решать задачи, так как в дальнейшем эти знания помогают находить такие важные элементы, как площадь треугольника, просто зная изгиб и высоту произвольной фигуры, и тогда будет легко рассчитать объем. Кроме того, правила близости часто используются в тригонометрии при нахождении синуса и косинуса.
