Сравнение десятичных дробей — как правильно?

Понятие десятичной дроби

Прежде чем мы расскажем вам, как сравнивать десятичные дроби, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это число в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный дисплей — 1/2 или a/b,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Оно пишется в строке через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Как это:

• 0,1
• 2,53
• 9932

Конечный десятичный знак — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21.10200000 = 21.102

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и так далее. То есть 1 цифра — это делитель 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Читайте также: Как умножать логарифмы

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Каждой конечной десятичной и бесконечно повторяющейся десятичной дроби соответствуют определенные обыкновенные дроби. Поэтому сравнение конечных и бесконечных периодических дробей можно проводить как сравнение соответствующих им правильных дробей. По сути, это утверждение является общим принципом сравнения периодических десятичных дробей.

На основе общего принципа сформулированы правила сравнения десятичных дробей, в соответствии с которыми можно не переводить сравниваемые десятичные дроби в правильные.

То же самое можно сказать и о случаях, когда периодическая десятичная дробь сравнивается с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями — данные числа должны быть заменены соответствующими им обыкновенными дробями.

Если говорить о сравнении бесконечных непериодических дробей, то обычно оно сводится к сравнению конечных десятичных дробей. Для оценки берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое позволит получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Определение 1

Равные десятичные дроби — это две конечные десятичные дроби, имеющие одинаковые общие дроби. В противном случае десятичные дроби будут другими.

Исходя из этого определения, легко обосновать такое утверждение: если в конце данной десятичной дроби поставить знак или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ему десятичная дробь. Например: 0,5 = 0,50 = 0,500 =…. Или: 130 000 = 130,00 = 130,0 = 130. Фактически добавление или отбрасывание нуля в конце дроби справа означает умножение или деление на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеизложенного утверждения.

Например, десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная дробь 710. Если справа прибавить ноль, то получится десятичная дробь 0,70, что соответствует обыкновенной дроби 70100, 7 70100:10. То есть: 0,7 = 0,70. И наоборот: если отбросить ноль справа в десятичной дроби 0,70, то получится дробь 0,7 — значит, из десятичной дроби 70100 мы перейдем в дробь 710, но 710=70:10100:10 Тогда: 0,70 = 0,7.

Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.

Определение 2

Это определение позволяет сделать следующие выводы:

— если элементы данных периодических десятичных дробей равны, то такие дроби равны. Например, периодические десятичные числа 0,21 (5423) и 0,21 (5423) равны;

— если периоды данных периодических десятичных дробей начинаются с одного и того же места, то первая дробь имеет период 0, а вторая — 9; значение цифры перед периодом 0 на единицу больше значения цифры перед периодом 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические дроби 91,3(0) и 91,2(9) подобны, а также дроби: 135,(0) и 134,(9);

— две другие периодические дроби не равны. Например: 8,0(3) и 6,(32); 0,(42) и 0,(131) и так далее

Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби являются иррациональными числами и не могут быть преобразованы в обыкновенные дроби. Поэтому сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению правильных.

Определение 3

Равные бесконечные неповторяющиеся десятичные числа — это неповторяющиеся десятичные числа, записи которых абсолютно одинаковы.

Логичен вопрос: как сравнивать записи, если невозможно увидеть «готовую» запись таких дробей? При сравнении бесконечных непериодических десятичных дробей необходимо учитывать только определенное ограниченное число знаков данных для сравнения дробей, чтобы это позволяло сделать вывод. По сути, они сравнивают бесконечные неповторяющиеся десятичные дроби с конечными десятичными дробями.

Такой подход позволяет утверждать равенство бесконечных непериодических дробей только до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6,73451… и 6,73451… равны до стотысячных, потому что конечные десятичные дроби 6,73451 и 6,7345 равны. Дроби 20,47. и 20,47. равны с точностью до сотых, потому что дроби 20,47 и 20,47 равны, и так далее.

Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при очевидных различиях в записях. Например, дроби 6,4135. и 6,4176. или 4,9824. и 7,1132. и т д неравны.

Правило сравнения десятичных дробей

Чтобы сравнить две десятичные дроби, нужно сначала сравнить их целые части. Если целые части равны, мы продолжаем искать первый бит, который не совпадает. Самая большая дробь та, у которой больше соответствующая цифра.

Таким образом, тема сравнения десятичных дробей была раскрыта с первой строки. Но это еще не все — идем дальше.

Алгоритм десятичного сравнения Убедитесь, что оба десятичных знака имеют одинаковое количество десятичных знаков (цифр) справа от десятичной точки. Если нет, добавьте (уберите) необходимое количество нулей к одной из десятичных дробей. Сравните десятичные дроби слева направо. Целые части с целыми частями, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее Когда одна из частей десятичной дроби больше другой, эту дробь можно назвать большей дробью.

Применим правило на практике. Сравним десятичные дроби: 15,7 и 15,719.

Как мы решаем:

• Добавим к первой десятичной дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество цифр справа от запятой: 15 700 и 15 719.
• Сравните десятичные дроби слева направо.

Целая часть за целой частью: 15 = 15. Целые части равны.

Десятки с десятками: 7 = 7. Времена тоже равны.

Сотые с сотыми: 0 < 1. Так как сотые доли второй десятичной дроби больше, то и сама дробь больше: 15 700 < 15 719.

Ответ: 15,7 < 15,719.

Другой способ сравнения десятичных дробей:

Для сравнения двух десятичных дробей необходимо уравнять количество знаков после запятой (к одному из них справа добавить нули), затем отбросить запятую и сравнить два натуральных числа.

Сравним 3,656 и 3,48.

Как мы решаем:

• Сбалансируйте количество знаков после запятой справа от запятой: 3656 и 3480.
• Опустим запятые: 3656 и 3480.
• Сравним полученные числа: 3656 > 3480.

Ответ: 3,656 > 3,48.

Помнить! Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче слева от большей, а большая — справа от меньшей.

Например, 0,3 < 0,4 < 0,5, поэтому точка A (0,3) лежит левее точки B (0,4), а точка C (0,5) лежит справа от точки B (0,4).

Способ 1

Выполните следующие действия, чтобы сравнить десятичные дроби:

1. Уравниваем длину обеих дробей — к той, в которой меньше знаков после запятой, добавляем в конце нули (их количество зависит от того, сколько цифр в дроби более длинной дроби). Это действие не изменит значение «короткой» дроби в соответствии с основным свойством десятичной дроби.
2. По очереди сравниваем составные части дробей: целые числа с целыми числами, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее
3. Как только одна из частей дроби больше такой же части другой дроби, это означает, что она больше другой.

Примечание: десятичная дробь всегда больше целого натурального числа, если вся часть равна данному числу. Это:

• 4,3 > 4
• 5,46 > 5
• 7,017 > 7
• и так далее

Способ 2

Чтобы сравнить два десятичных знака, вы можете вычесть другой из одного. Если результат положительный (т.е больше нуля), то уменьшаемое больше вычитаемого и наоборот (см пример 2 ниже).

Сравнение десятичной и обыкновенной дробей

Чтобы сравнить десятичное число с порядковым, мы представляем последнее как десятичное, а затем выполняем сравнение, используя вышеуказанные методы.

А можно сделать наоборот — преобразовать десятичную дробь в простую и затем сравнить две обыкновенные дроби.

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами

Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть данной дроби с данным натуральным числом. При этом следует учитывать, что периодические дроби с периодами 0 или 9 необходимо предварительно представить равными им конечными десятичными дробями.

Определение 5

Если целая часть данной десятичной дроби меньше данного натурального числа, то вся дробь меньше данного натурального числа. Если целая часть данной дроби больше или равна данному натуральному числу, то дробь больше данного натурального числа.

Пример 7

Нужно сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9,3142… .

Решение:

Заданное натуральное число меньше целой части заданной десятичной дроби (8 < 9), а значит, это число меньше заданной десятичной дроби.

Ответ: 8 < 9,3142… .

Пример 8

Нужно сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5,6.

Решение

Целая часть данной дроби равна данному натуральному числу, тогда по приведенному выше правилу 5 < 5,6.

Ответ: 5 < 5,6.

Пример 9

Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3, (9).

Решение

Период данной десятичной дроби равен 9, а это значит, что перед сравнением необходимо заменить данную десятичную дробь на конечное или натуральное число, равное ему. В этом случае: 3,(9) = 4. Таким образом, исходные данные равны.

Ответ: 4 = 3, (9).

Для сравнения десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом необходимо:

— Запишите обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем сравните десятичные дроби, или
— записать десятичную дробь в виде правильной дроби (кроме бесконечной непериодической), затем произвести сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.

Пример 10

Нужно сравнить десятичную дробь 0,34 и обыкновенную дробь 13.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Запишем данную обыкновенную дробь 13 в виде периодической десятичной дроби равной: 0,33333…. Тогда возникает необходимость сравнить десятичные дроби 0,34 и 0,33333…. Получаем: 0,34 > 0,33333…, значит 0,34 > 13.
2. Запишем данную десятичную дробь 0,34 в виде равного ей порядкового. То есть: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.

Ответ: 0,34 > 13.

Пример 11

Нужно сравнить бесконечную неповторяющуюся десятичную дробь 4,5693. и смешанное число 438.

Решение

Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но можно преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а это, в свою очередь, можно записать в виде равной ему десятичной дроби. Тогда: 438= 358 и

То есть: 438= 358= 4,375. Сравним десятичные дроби: 4,5693… и 4,375 (4,5693… > 4,375) и получим: 4,5693… > 438.

Ответ: 4,5693… > 438.

Примеры

Пример 1

Сравните десятичные числа 6,4 и 6,45.

Решение

Воспользуемся первым способом. Потому что в дроби 6,45 две цифры после запятой, поэтому в числе 6,4 мы пропускаем один десятичный знак, а в конце добавляем ноль, получается 6,40.

Теперь приступим к сравнению:

• Целые части рассматриваемых дробей равны: 6 = 6.
  Итак, переходим к сравнению дробей.
• Десятки равны: 4 = 4.
  Мы идем дальше .
• Сотые: 4 < 5.

Сотые доли второй дроби больше, поэтому она и больше.

Ответ: 6,40 < 6,45 или 6,4 < 6,45.

Пример 2

Выясним, какая из дробей больше: 5,146 или 5,14.

Решение

Воспользуемся вторым способом:

Разница больше нуля (0,006 > 0), следовательно, 5,146 > 5,14.

Пример 3

Сравните дроби 7/25 и 0,25.

Решение

Мы можем делать разные вещи: переворачивать дробь 7/25

в десятичную или наоборот перевести дробь 0,25 в простую.

Например, выберем первый вариант:

25/7=7⋅4/25⋅4=28/100= 0,28.

Теперь осталось только сравнить две десятичные дроби: 0,28 и 0,25.

• Целые части равны: 0 = 0.
• Десятки: 2 = 2.
• Сотые: 8 > 5.

Ответ: 0,28 > 0,25 или 7/25 > 0,25.