Определение средней линии четырехугольника
Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т е не пересекающий их), называется его средней линией.
- EF — средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
- GH — средняя линия, соединяющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.
Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона
Определение. Средняя линия четырехугольника — это отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырехугольника.
Поскольку каждый квадрат имеет две пары непересекающихся сторон, каждый квадрат имеет две срединные линии (рис. 10).
Рис.10
На рисунке 10 средние линии — это отрезки EF и GH .
Примечание 1. Приведенное выше определение срединной линии относится не только к плоским квадратам, но и к «пространственным квадратам» (рис. 11). Под «пространственным четырехугольником» мы подразумеваем замкнутую ломаную линию с 4 звеньями без самопересечения, не лежащую в одной плоскости.
Рис. 11
На рис. 11 изображен «пространственный квадрат» ABCD, центральные линии которого являются отрезками EF и GH .
Замечание 2. Несмотря на то, что трапеция является квадратом, средней линией трапеции принято называть именно отрезок, соединяющий середины сторон.
Примечание 3. В этой части руководства не рассматриваются невыпуклые квадраты и квадраты с самопересечениями.
Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырехугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .
Доказательство. Рассмотрим плоский квадрат ABCD, изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H — середины сторон, отрезок AC — диагональ квадрата.
Рис. 12
Так как отрезок EG является средней линией треугольника ABC, то он равен его половине AC, параллельной диагональному отрезку EG. Так как отрезок FH является средней линией треугольника CDA, то и равен половине. AC параллелен диагональному отрезку FH. Таким образом, в четырехугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма следует, что четырехугольник EGFH является параллелограммом, что и требовалось доказать.
Замечание 4. Что касается «пространственного квадрата» ABCD, то доказательство остается тем же (рис. 13).
Рис. 13
Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то верно следующее утверждение, вытекающее непосредственно из теоремы Вариньона.
Утверждение 5. Осевые линии произвольного квадрата пересекаются и делятся пополам в точке пересечения (рис. 14).
Рис. 14
Утверждение 6. Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырехугольник ABCD , отрезок EF которого является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполняться векторное равенство:
Рис. 15
Доказательство. Рассмотрим произвольную декартову систему координат в пространстве или О на плоскости с началом в момент времени (рис. 16).
Рис. 16
В соответствии со свойствами векторов верны следующие равенства:
qED
Последствие. Медиана четырехугольника меньше или равна половине суммы сторон четырехугольника, не пересекающих его, и равенство получается только в том случае, если данные стороны четырехугольника параллельны.
Другими словами, средняя линия четырехугольника равна половине суммы сторон четырехугольника, не пересекающих ее, только если этот четырехугольник является трапецией, а стороны четырехугольника, не пересекающие среднюю линию, являются основаниями трапеции.
Читайте также: Равнобедренный треугольник
Свойства средней линии четырехугольника
Свойство 1
Средние линии четырехугольника пересекаются и делятся пополам в точке пересечения.
- EF и GH (осевые линии) пересекаются в точке O;
- ЭО=ОФ, ГО=ОН.
Примечание. Точка O — это центроид (или барицентр) квадрата.
Свойство 2
Пересечение середин четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
- К — середина диагонали АС;
- L — середина диагонали BD;
- KL проходит через точку O, соединяющую K и L.
Свойство 3
Середины сторон квадрата являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона.
Центр образовавшегося таким образом параллелограмма и точка пересечения диагоналей являются серединами средних линий исходного квадрата, т.е их точка пересечения равна О.
Примечание: площадь параллелограмма равна половине площади квадрата.
Свойство 4
Если углы между диагоналями квадрата и средней линией равны, диагонали имеют одинаковую длину.
- EF — срединная линия;
- AC и BD — диагонали;
- ∠ELC = ∠BMF = α, следовательно, AC=BD.
Свойство 5
Медиана четырехугольника меньше или равна половине суммы его непересекающихся сторон (при условии, что эти стороны параллельны).
EF — средняя линия, не пересекающая стороны AD и BC.
Другими словами, средняя линия четырехугольника равна половине суммы его непересекающихся сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. При этом рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.
Свойство 6
Для срединного вектора произвольного квадрата выполняется следующее равенство:
