Стандартный ⭐ вид числа: определение, как привести число у стандартному виду

Запись больших и маленьких чисел

В точных науках время от времени встречаются очень большие или, наоборот, малые значения величин. Чтобы с ними было удобнее работать, а тем более использовать их вместе в одних и тех же расчетах, был придуман некий общий принцип записи чисел, так называемая стандартная форма.

Для усвоения представленного ниже материала необходимо знать, что такое степень. Например, давайте продемонстрируем различные варианты числа 10:

• 10-3 = 0,001
• 10-2 = 0,01
• 10-1 = 0,1
• 100 = 1
• 101 = 10
• 102 = 100
• 103 = 1000

Также помните, что для умножения числа на 10, 100, 1000, 10000 и так далее мы просто приписываем ему количество нулей, содержащихся в 10, 100, 1000, 10000 и так далее. Например,

• 3 10 = 30
• 43 100 = 4300
• 17 1000 = 17 000

То же самое касается деления на 10, 100, 1000, 10000 и так далее, только здесь мы убираем нули:

• 650 : 10 = 65
• 1400 : 100 = 14
• 78 000 : 1 000 = 78

Перечисленные выше действия можно представить и в другом виде — в некоторой степени произведением 10:

• положительный при умножении на 10, 100, 100 и т д;
• отрицательный, если выполняется деление.

Например:

• 3 10 = 3 101 = 30
• 17 1000 = 17 103 = 17 000
• 1400 : 100 = 1400 10-2 = 14

Десятичные

Если мы имеем дело с десятичными дробями, то в целом все то же самое. При умножении на 10, 100, 1000 и т д мы сдвигаем разделитель вправо на столько позиций, сколько нулей в числе 10, 100, 1000 и т д

• 6,2·10 = 6,2·101 = 62
• 2,31·100 = 2,31·102 = 231
• 0,147·1000 = 0,147·103 = 147
• 3,106 10000 = 3,106 104 = 31060

Если нужно разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятую сдвигаем влево на число позиций, равное нулю:

• 34: 10 = 34 · 10-1 = 3,4
• 19:100=19·10-2=0,19
• 27: 1000 = 27·10-3 = 0,027

Что такое стандартный вид числа

В различных дисциплинах (таких как физика, химия, география) приходится иметь дело как с очень большими, так и с очень маленькими величинами. В обычном десятичном виде большие и маленькие числа неудобно читать и записывать, неудобно производить над ними какие-либо операции. В этом случае полезно представить число в так называемой стандартной форме. Числа в стандартной форме используются практически для действий и измерений несравнимых между собой величин (например, массы электрона и массы планеты Земля).

Определение 1

Любое натуральное число или конечная положительная десятичная дробь может быть записана как: 10*an, где 1≤a<10, n∈Z. Такая запись называется стандартной формой числа. Число а называется мантисса, а число n — показатель степени. Тема представления числа в стандартном виде обычно изучается в курсе алгебры 8 класса.

Читайте также: Как найти периметр параллелограмма abcd: формула через длины сторон

Как представить число в стандартном виде

Чтобы представить некоторое число в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения, где первый множитель — число от 1 до 10 (не считая 10), второй — степень десятка. Для представления числа в стандартной форме необходимо помнить определение степени числа.

Определение 2

Степень числа — это результат умножения числа на себя заданное количество раз.

Пример 1

Например, число 63 есть результат трехкратного умножения числа 6 само на себя (количество раз определяется показателем степени, данным в степени), 63=6*6*6=216.

Итак, чтобы записать число в стандартной форме, вы должны разделить его на такую ​​степень десяти, чтобы результат был между 1 (включительно) и 10 (не включая). Затем умножьте его обратно на ту же степень десяти и запишите в виде степени. Важный момент, исходя из определения стандартного числа, в таком виде мы можем представлять только положительные числа, потому что основание (мантисса) числа должно быть в диапазоне от 1 до 10 (не включительно), поэтому в дальнейшем мы будем говорить о стандартной форме положительного числа.

Пример 2

Рассмотрим пример: необходимо представить число 8 342 000 в стандартной форме, обратите внимание, что если мы переместим запятую влево на 6 цифр, то получим число больше 1 и меньше 10, запятую снова сдвинем на 6 цифр при делении числа на миллион: 1000000=106, тогда будет 8342000:106 чтобы число не менялось умножаем на 106.8342000:106*106=8.342*106. Мы получили число, записанное в стандартной форме с мантиссом, равным 8,342, и порядком, равным 6.

Сравнение чисел, записанных в стандартном виде

Для сравнения чисел необходимо сравнить порядки между собой, а затем мантиссы чисел.

Пусть у нас есть два положительных числа b=a*10n, d=c*10m,b>0,d>0. Число высшего порядка больше числа низшего порядка n>m⇒b>d, n<>c⇒b>d, n=m, a<><>

Выполнение операций над числами в стандартном виде

Над числами в стандартной форме можно производить те же математические операции, что и над обычными числами, а именно:

1. Умножение и деление. Для этого мы умножаем (делим) их мантиссы, и при умножении складываем порядки, а при делении вычитаем (согласно свойствам умножения/деления степеней с одинаковым основанием, в случае стандартного числа, основание равно 10).
2. Сложение и вычитание. Для выполнения этих операций складываем/вычитаем мантиссы чисел в стандартной форме, соответственно сохраняем порядок, указанный в степени 10 для обоих чисел. При сложении/вычитании чисел стандартной формы с разным порядком необходимо сначала привести их к одному порядку, а затем выполнять операции.
3. Возведение в степень и вычисление корня. Он используется, если степень, в которую мы возводим число в стандартной форме, является натуральным числом. Мантисса возводится в степень, а показатель степени умножается на показатель степени. При неподходящей основе переместите запятую и измените порядок.
4. Возведение в степень и логарифмирование. Используется очень редко. Расчеты крайне непрактичны.

Пояснение на примерах

Обобщить и проанализировать все вышеизложенные правила работы с числами в стандартной форме на конкретных примерах.

Представление числа в стандартном виде

Задание 1

Запишите в стандартной форме и определите порядок числа k, выражающего физическую константу: постоянная Фарадея F = 96485,309 Кл/моль. Запишем решение, для этого заметим, что если мы перенесем запятую на 4 цифры влево, то получим число, которое находится в диапазоне от 1 до 10, а именно 9,6484309.

перемещение десятичных цифр на 4 цифры влево означает деление числа на 10 000, то есть 96485,309:104*104=9,6485309*104. Постоянная Фарадея представлена ​​в стандартной форме, показатель степени — число 4.

Задача 2

Запишите в стандартной форме и определите порядок числа η0, выражающего константу Лошмидта = 2686763·1026. Заметим, что если в мантиссе числа 2686763 передвинуть запятую на 6 знаков влево, то получится число, лежащее в находится в диапазоне от 1 до 10, а именно 2 ,686763. Перемещение десятичной точки на 6 знаков влево означает деление числа на 1 000 000, то есть 2686763:106*1026*106=2,686763*10(26+6)=2,686763*1032.

Сравнение чисел в стандартном виде

Задача 3

Сравните числа. 5,4*108 и 4,2*1010. На первом шаге сравниваем порядок чисел, обращаем внимание, что 8<10, значит число 5,4*108<4,2*1010.

Задача 4

Сравните числа. 2,321*105 и 3,342*105. Обратите внимание, что в этом примере порядок чисел тот же, поэтому переходим к сравнению мантиссы, 2,321<3,342, значит число 2,321*105<3,342*105.

Упражнение 5

Сравните числа: 5,55*102 и 0,555*103. В этом примере порядок чисел другой, и мы также можем заметить, что число 0,555 * 103 записано не в стандартной форме. Затем приводим число 0,555*103 к стандартному виду и получаем: 0,555*10=5,55, значит, при умножении на 10 нужно перенести запятую на одну цифру вправо, 0,555*10(-1):10(- 1)) *103= 5,55*102. Числа 5,55*102 и 5,552 равны.

Выполнение операций над числами в стандартном виде

Упражнение 6

Решать проблему. Масса Венеры 4,9*1024 кг, а масса Марса 6,423*1023, во сколько раз масса Венеры больше массы Марса? Чтобы определить, во сколько раз масса Венеры больше массы Марса, необходимо их массы разделить друг на друга, т.е. 4,9*1024:6,423*1023=(4,9:6,423)*10(24-23) , результат деления округляем до сотых, и получаем ответ — 0,76*101 или 0,76*10=7,6. Таким образом, масса Венеры в 7,6 раза больше массы Марса.

Что такое одночлен

Школьные учебники обычно дают следующее определение этому понятию:

Определение 1

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и различные виды произведений, которые из них состоят.

Опираясь на это определение, мы можем привести примеры таких выражений. Так что все числа 2, 8, 3004, 0, -4, -6, 0,78, 14, -437 будут относиться к одночленам. Все переменные, например x ,a, b, p, q, t, y, z, также будут мономерными по определению. Сюда также входят степени переменных и чисел, таких как 63, (-7,41)7, x2 и t15, а также такие выражения, как 65 x, 9 (-7) x y3 6, xx y3 x y2 z и т д. Обратите внимание, что одночлен может содержать как одно число или переменную, так и несколько, и они могут упоминаться несколько раз в составе одного многочлена.

К одночленам относятся и такие типы чисел, как целые, рациональные, натуральные. Здесь также можно указать действительные и комплексные числа. Таким образом, такие выражения, как 2+3 ix z4, 2 x, 2 π x3, также будут мономерными.

Значение приведения одночлена к стандартному виду

запись монома в стандартной форме делает работу с ним более удобной. Часто одночлены задаются в нестандартном виде, и тогда возникает необходимость произвести тождественные преобразования для приведения заданного одночлена к стандартному виду. То есть мономы должны быть преобразованы: записаны в стандартной форме.

Дадим определение, что такое стандартная форма одночлена (с примерами).

Определение 1

Приведение одночлена к стандартному виду — это выполнение над ним соответствующих операций (тождественных преобразований) для записи его в стандартный вид.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для простоты все мономы сначала приводятся к особому виду, называемому стандартным. Давайте конкретизируем, что это означает.

Определение 2

Стандартной формой монома является его форма, где он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней различных переменных. Численный множитель, также называемый мономиальным коэффициентом, обычно пишется первым с левой стороны.

Для наглядности выберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 a, −9 x2 y3 , 235 x7. Сюда же входят выражения xy (здесь коэффициент будет равен 1), −x3 (здесь коэффициент будет равен -1).

Теперь приведем примеры одночленов, которые необходимо привести к стандартному виду: 4 a a2 a3 (здесь надо совместить одинаковые переменные), 5 x (−1) 3 y2 (здесь надо сложить числовые множители слева).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записываются в алфавитном порядке. Например, запись 6·a·b4·c·z2 предпочтительнее, чем b4·6·a·z2·c. Однако порядок может быть другим, если этого требует цель расчета.

Любой моном можно привести к стандартной форме. Для этого необходимо выполнить все необходимые идентичные преобразования.

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Как привести моном к стандартной форме?

Из определения следует, что моном нестандартной формы является произведением чисел, переменных и их степеней, причем возможно их повторение. С другой стороны, стандартный одночлен в записи содержит только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени.

Что значит привести моном к стандартной форме? Чтобы преобразовать нестандартный моном в стандартную форму, используйте следующее правило для преобразования монома в стандартную форму:

• первый шаг в том, как написать одночлен в стандартной форме, состоит в том, чтобы выполнить группировку числовых множителей, одинаковых переменных и их степеней;
• второй шаг в том, как стандартизировать моном, состоит в том, чтобы вычислить произведения чисел и использовать свойство степеней с тем же самым основанием.

Понятие степени одночлена

Сопутствующее понятие степени монома очень важно. Запишем определение этого понятия.

Определение 3

Степенью монома, записанного в стандартной форме, является сумма показателей всех переменных, входящих в запись. Если в нем нет ни одной переменной, а сам моном отличен от 0, то степень будет равна нулю.

Сам нуль считается мономом неопределенной степени.

Приведем примеры степени монома.

Пример 1

Таким образом, моном a имеет степень 1, так как a= a1. Если у нас есть моном 7, то он будет иметь нулевую степень, так как в нем нет переменных и он отличен от 0. Но обозначение 7 а2 х у3 а2 будет мономом 8 степени, так как сумма показатели степени всех степеней входящих в него переменных будут равны 8: 2+1+3+2=8.

Стандартизованный моном и исходный полином будут иметь одинаковую степень.

Пример 2

Покажем, как вычислить степень монома 3 x2 y3 x (−2) x5 y. В стандартной форме это можно записать как −6 x8 y4 . Вычисляем степень: 8+4=12. Следовательно, степень исходного многочлена также равна 12.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть стандартизированный моном, который включает хотя бы одну переменную, мы говорим о нем как о произведении одного числового множителя. Этот коэффициент называется числовым коэффициентом или мономиальным коэффициентом. Запишем определение.

Определение 4

Коэффициент монома — это числовой множитель монома, приведенный к стандартной форме.

Возьмем, например, коэффициенты различных одночленов.

Пример 3

Так в выражении 8·a3 коэффициентом будет число 8, а в (−2,3)·x·y·z – −2,3.

Особое внимание следует обратить на коэффициенты, равные единице и минус единице. Как правило, они прямо не оговариваются. Считается, что в одночлене стандартного вида, где нет числового множителя, коэффициент равен 1, например, в выражениях а, х z3, atx, так как их можно рассматривать как 1 а, х z3 — как 1 х z3 и так далее

Точно так же в мономах, которые не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, мы можем рассматривать -1 как коэффициент.

Пример 4

Например, выражения −x, −x3 y z3 будут иметь такой коэффициент, поскольку их можно представить в виде −x=(−1) x, −x3 y z3=(−1) x3 y z3 и т д

Если у монома вообще нет ни одного буквенного множителя, то и в этом случае можно говорить о коэффициенте. Коэффициентами таких мономиальных чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент при одночлене 9 будет равен 9.

Примеры и их решение

Пример 1

Дан моном 3 х 2 х 2. Необходимо привести его к стандартному виду.

Решение

Выполним группировку числовых множителей и множителей с переменной x, в результате заданный моном будет иметь вид: (3 2) (x x2).

Произведение в скобках равно 6. Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, выражение в скобках можно представить в виде: x1+2=x3. В итоге получаем одночлен стандартного вида: 6 х3.

Краткий обзор решения выглядит так: 3 x 2 x2=(3 2) (x x2)=6 x3.

Ответ: 3 х 2 х 2 = 6 х 3.

Пример 2

Дан моном: a5 b2 am (-1) a2 b . Необходимо привести его к стандартному виду и указать коэффициент.

Решение

данный одночлен имеет в записи один числовой множитель: -1, перенесем его в начало. Далее сгруппируем факторы с переменной а и факторы с переменной b.Переменную m группировать не с чем, оставляем в исходном виде. В результате вышеперечисленных действий получаем: -1 a5 a a2 b2 b m.

Проделайте операции со степенями в скобках, и моном будет иметь стандартный вид: (-1) a5+1+2 b2+1 m=(-1) a8 b3 m. Из этой записи легко определить коэффициент при моном: он равен — 1. Вполне можно просто заменить минус единицу знаком минус: (-1) a8 b3 m=-a8 b3 m.

Итог всех действий выглядит так:

a5 b2 am (-1) a2 b=(-1) (a5 a a2) (b2 b) m==(-1) a5+1+2 b2+1 m=(-1)a8 b3 m=-a8 б3 м

Отвечать:

a5 b2 am (-1) a2 b=-a8 b3 m, коэффициент данного одночлена равен -1.