Степенная ⭐ функция: определение и основные свойства, как решать, примеры задач, таблица

Степенная функция — что это такое, определение

Определение 1

Степенная функция – это функция, которая имеет вид:

у=ха

Где a — показатель степени и действительное число.

Функция мощности может иметь следующий вид:

у=кха

Здесь k играет роль ненулевого коэффициента.

На основе определения рассмотрим, какие функции являются степенными. Степенная функция — это частный случай многочлена в алгебре. В практических примерах в показатель степени записывается целое или рациональное число.

Пример 1

Понятие силовых функций включает в себя следующее:

у=х2

у=х3

у=х0,5

Виды степенных функций и их свойства, область определения

Если степенная функция имеет показатель степени ai в виде целого положительного числа, то такая функция вычисляется на всей числовой прямой. В случае, когда показатель степени а отрицателен, экспоненциальная функция не определена равной нулю. В этом случае ноль является единственной точкой степенной функции.

Рациональный показатель а при условии а=pq(q>0) определяется в зависимости от следующих данных:

• четность q;
• п знак.

Исходя из того, что по правилу xa=xpq имеем:

• для нечетных чисел q и p>0 функция xp/q определена на всей вещественной прямой;
• для нечетных чисел q и p<0 функция xp/q определена на всей вещественной прямой, кроме нуля;
• для четных q и p>0 область определения xp/q соответствует неотрицательному x;
• для четных q и p<0 получаем, что xp/q определено для положительного x.

Когда степенная функция xa имеет действительный показатель степени a, область определения x>0. При a>0 функция также определена в нулевой точке.

Когда n нечетно, графики функции центрально-симметричны относительно начала координат, где находится точка поворота. Если n принимает четное значение, степенная функция четна, то есть:

(-х)п=хп

График такой функции расположен симметрично относительно оси у.

Рассмотрим случай, когда натуральный показатель n>1. Тогда на графике появятся параболы порядка п. Если п имеет четное значение, функция неотрицательна на любом отрезке. При n=1 функция y=kx называется линейной функцией или прямо пропорциональной зависимостью.

Если n — натуральное число, то функция y=xn=1xn на графике имеет вид гиперболы порядка n, при нечетном n оси координат играют роль асимптот гипербол. Если n четно, асимптотами будут оси x и оси y, которые направлены положительно. При показателе со значением -1 функция будет получена в виде обратно пропорциональной зависимости к виду:

у=кх

Если a принимает нулевое значение, функция получается в виде сокращенной константы:

у=1.

Вы можете возвести x в степень, которая является рациональным числом, используя эту формулу:

хр/q=xpq.

При значении p=1 функция представляет собой арифметический корень степени q:

у=х1/д=хд

Исследуем степенную функцию на монотонность:

• интервал (0,∞) отмечен монотонно возрастающей функцией, если a>0;
• на интервале (0,∞) функция монотонно убывает при a<0.

На этом интервале функция принимает положительные значения.

Читайте также: Сколько весит литр воды и какие факторы влияют на вес воды

Построение графика степенных функций, уравнение

Какой вид будет иметь график функции мощности, определяется следующими величинами:

• степень а;
• коэффициент к.

Если a = 1, k > 0, например, y=3×1=3x:

Если a = 1, k < 0, например, y=-2×1=-2x:

Если a > 0 (часть целого), k > 0, например, y=3×4:

Если a > 0 (частичное целое число), k < 0, например, y=-x2:

Если a > 0 (нечетное), k > 0, например, y=x3:

Если a > 0 (нечетное), k < 0, например, y=-2×3:

Если a < 0 (четное), k > 0, например, y=x-2:

Если a < 0 (часть целого), k < 0, например, y=-4x-2:

Если a < 0 (нечетное), k > 0, например, y=5x-3:

Если a < 0 (нечетное), k < 0, например, y=-2x-5:

Если 0 < a < 1, (дробное число), k > 0, например, y=x0,5:

Если 0 < a < 1 (дробное число), k < 0, например, y=-3×0,5:

Если a > 1 (дробное число), k > 0, например, y=x3,5:

Если a > 1 (дробное число), k < 0, например, y=-2×2,5:

Если a < 0 (дробное число), k > 0, например, y=x-2,5:

Если a < 0 (дробное число), k < 0, например, y=-x-1,5:

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степени степенной функции y = xp равен нулю, p = 0, степенная функция определена для всех x ≠ 0 и постоянна равна единице:
у = хр = х 0 = 1, х ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5,…

Рассмотрим степенную функцию y = xp = xn с натуральным нечетным показателем n = 1, 3, 5,…. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, .. является целым неотрицательным числом. Ниже приведены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = xn с натуральным нечетным показателем для различных значений показателя n = 1, 3, 5,….

Область определения: –∞ < x < ∞
Набор значений: –∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастающая
Экстрим: нет
Выпуклая:
при –∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегиба: х = 0, у = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Ограничения:<br>;
Частные значения:
при х = –1,
y(–1) =(–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
для х = 0, у (0) = 0 n = 0
для x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
для n = 1 функция является обратной самой себе: x = y
для n ≠ 1 обратной функцией является корень степени n:

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6,…

Рассмотрим степенную функцию y = xp = xn с натуральным четным показателем n = 2, 4, 6,…. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, .. – естественно. Свойства и графики таких функций приведены ниже.

Постройте степенную функцию y = xn с естественно четным показателем для различных значений показателя n = 2, 4, 6,….

Область определения: –∞ < x < ∞
Набор значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четное число, y(–x) = y(x)
Монотонный:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпуклость вниз
Коленные точки: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Ограничения:<br>;
Частные значения:
при x = –1,y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
для х = 0, у (0) = 0 n = 0
для x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
для n = 2, квадратный корень:
для n ≠ 2 корень степени n:

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3,…

Рассмотрим степенную функцию y = xp = xn с отрицательным целым показателем n = -1, -2, -3,…. Если мы положим n = –k, где k = 1, 2, 3, . натуральное число , то его можно представить в виде:

График степенной функции y = xn с отрицательным целым показателем для различных значений показателя n = -1, -2, -3,….

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5,…

Ниже приведены свойства функции y = xn с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5,….

Домен определения: x ≠ 0
Набор значений: у ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывающая
Экстрим: нет
Выпуклая:
для x < 0: выпуклость вверх
для x > 0: выпуклость вниз
Коленные точки: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
В разводе:
для х < 0, у < 0
для х > 0, у > 0
Ограничения:<br>;   ;   ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
для x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1,
при n < –2,

Четный показатель, n = -2, -4, -6,…

Ниже приведены свойства функции y = xn с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6,….

Домен определения: x ≠ 0
Набор значений: у > 0
Четность: четное число, y(–x) = y(x)
Монотонный:
для x < 0: монотонно возрастает
для x > 0: монотонно убывающая
Экстрим: нет
Выпуклость: выпуклость вниз
Коленные точки: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: у > 0
Ограничения:<br>;   ;   ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
для x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2,
при n < –2,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = xp с рациональным (дробным) показателем, где n — целое число, m > 1 — натуральное число. Кроме того, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя — нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетен: m = 3, 5, 7,… В этом случае степенная функция xp определена как для положительных, так и для отрицательных значений x. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель степени p находится в определенных пределах.

Знаменатель дробного показателя — четный

Пусть знаменатель дробного показателя четен: m = 2, 4, 6,… В этом случае степенная функция xp не определена при отрицательных значениях аргумента. Свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см следующий раздел).

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Домен определения: x > 0
Набор значений: у > 0
Монотонность: монотонно убывающая
Выпуклость: выпуклость вниз
Коленные точки: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Границы:   ;
Частное значение: для x = 1, y (1) = 1p = 1

Примеры решения задач

Задание 1

Учитывая функцию:

у=8х-23х32-106

Необходимо определить точку его максимума.

Решение

Прежде всего, запишем диапазон допустимых значений:

х⩾0

Затем вычисляем производную начальной функции:

у’=8-23 32×12=8-х

Определим нули для найденной производной:

8-х=0

х=8

х=64

Используя расстановку знаков на оси координат, можно правильно вычислить интервалы монотонности исходной функции:

Обратите внимание, что на рисунке x=64 является единственной точкой максимума начальной степенной функции.

Ответ: 64

Задача 2

Учитывая силовую функцию:

у=(х+9)2(х+12)-14

Необходимо определить минимальное значение интервала -11; 3.

Решение

Используя формулу производной произведения, определяем производную исходной функции:

у’=(х+9)2′(х+12)+(х+9)2(х+12)’-(14)’=2(х+9)(х+12)+(х+9))2=(х+9)(2х+24+х+9)=(х+9)(3х+33)=3(х+9)(х+11)

Вычислим нули производной:

у'(х)=0

(х)=0

(х+9)(х+11)=0

х1=-11

х2=-9

На вещественной оси определяем знаки производной и интервалы, для которых функция монотонна на отрезке -11; 3:

Обратите внимание, что на отрезке [-11; -9] функция убывающая, а на отрезке [-9; 3] — возрастающая.

В результате минимальное значение отрезка -11; 3 соответствует x=-9 и составляет:

у(-9)=(-9+9)2(-9+12)-14=-14

Ответ: -14