Сумма ⭐ двух векторов: определение, правило, координаты

Вычисления
Содержание
  1. Основные понятия
  2. Определение и обозначение вектора
  3. Виды векторов
  4. Свойства операций над векторами
  5. Сложение и вычитание векторов
  6. Сложение: метод треугольника
  7. Сложение: метод параллелограмма
  8. Сложение: метод многоугольника
  9. Вычитание векторов
  10. Сложение нескольких векторов
  11. Координаты вектора на плоскости и в пространстве
  12. Умножение вектора на число
  13. Длина вектора
  14. Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника
  15. Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
  16. Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
  17. Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
  18. Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах
  19. Примеры решения задач
  20. Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов
  21. Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов
  22. Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Основные понятия

Определение 1

Направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление, называется вектором.

Обозначается буквенным символом со стрелкой вверху:

Определение 2

Конгруэнтные векторы — это векторы, направления которых одинаковы (одинаковы по направлению).

Определение 3

Противоположные векторы — это векторы, которые указывают в противоположных направлениях.

С векторами вы можете выполнять такие операции, как:

  • добавление;
  • вычитание;
  • умножение на число.

Во-первых, давайте подробно рассмотрим дополнения.

Сложение (сумма) векторов «а+b» является операцией вычисления вектора с, если все элементы равны попарной сумме соответствующих элементов векторов а и b, то есть каждый элемент вектора с равен равно:

с=а+б

Вычитание (разность) векторов «а — b» есть операция вычисления вектора с, если все элементы равны попарной разности соответствующих элементов векторов а и b, то есть каждый элемент вектора с равно:

с=аб

Сложение векторов можно выполнить по трем правилам:

  1. Правило параллелограмма. Из произвольной точки необходимо отложить два заданных вектора и построить по ним параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, будет суммой заданных векторов.
  2. Правило многоугольника. Из произвольной точки начертите первый вектор, начертите второй вектор с конца, начертите третий вектор с конца второго и так далее. Когда все векторы отложены, соедините начальную точку с концом последнего вектора и получите сумму нескольких векторов.
  3. Правило треугольника.

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, где указано, какая из граничных точек считается началом, а какая концом. В некоторых учебниках вектор может называться направленным отрезком.

Вектор обозначается строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными буквами со стрелкой (в некоторых случаях прямой линией) сверху.

Векторное обозначение

Интересно, что порядок букв в имени вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за конец. Поэтому и являются совершенно разными векторами.

Читайте также: Таблица со столицами всех государств мира по алфавиту

Виды векторов

Во-первых, есть коллинеарные и неколлинеарные векторы.

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это те, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и коллинеарны, а и относительно друг друга нет.

Типы векторов

Векторы также различаются по направлению. Если векторы уже коллинеарны, они могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: Если они направлены в противоположные стороны, мы можем записать это следующим образом:

Равны те векторы, которые одновременно коллинеарны и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрию вводят дополнительные понятия, рассмотрим их:

  • Неподвижный вектор — это отрезок с упорядоченными концами: если С — начальная точка вектора, а Е — конечная, то (именно это мы понимаем под правильным вектором в школьной геометрии).
  • Свободный вектор — это вектор, начало и конец которого не фиксированы. Его можно перемещать как вдоль линии, на которой он стоит, так и параллельно этой линии. Фактически под свободным вектором понимается множество фиксированных векторов.

Свойства операций над векторами

Описанные выше операции над векторами обладают свойствами, некоторые из которых очевидны, а другие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a→, b→, c→ и произвольные вещественные числа λ и µ.

  1. Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
    Свойства операций над векторами
  2. Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
    Свойства операций над векторами
  3. Свойство использования дополнительно нейтрального элемента (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
  4. Свойство использования в умножении нейтрального элемента (числа, равного единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не требующее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верно равенство: a→+(-a→)=0→. Это свойство очевидно.
  6. Ассоциативность операции умножения: (λ · µ) · ​​a→ = λ · (µ · a→). Например, растянуть вектор, умноженный на число 10, можно, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем результат еще в 5 раз. Также возможно умножение на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующем растяжении результата в 50 раз.
  7. Первое свойство дистрибутивности (очевидно): (λ + µ) a→ = λ a→ + µ a→.
  8. Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
    Свойства операций над векторами

Свойства коммутативности и ассоциативности позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют производить необходимые преобразования векторных числовых выражений так же, как и обычные числовые. Давайте посмотрим на это на примере.

Пример 1

Упражнение: упростите выражение a→-2 (b→+3 a→)
Решение
— используя второе дистрибутивное свойство, получаем: a→-2 (b→+3 a→)=a→-2 b→-2 (3 a→)
— используя ассоциативное свойство умножения, выражение будет иметь следующий вид: а→-2 b→-2 (3 а→)=а→-2 б→-(2 3) а→=а→-2 б→ -6 лет→
— пользуясь свойством коммутативности, меняем местами члены: a→-2 b→-6 a→=a→-6 a→-2 b→
— итак по первому свойству распределения получаем: a→-6 a→-2 b→=(1-6) a→-2 b→=-5 a→-2 b→ Краткий обзор решения будет выглядеть так это: a→-2 (b→+3 a→)=a→-2 b→-2 3 a→=5 a→-2 b→
Ответ: а→-2 (б→+3 а→)=-5 а→-2 б→

Сложение и вычитание векторов

Операции с векторами описаны как в алгебре, так и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы сложения и вычитания векторов, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что векторы даны в пространстве и что нам нужно сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку к одному и тому же телу часто прикладывают такие векторные величины, как сила. В этом случае возникает вопрос: как рассчитать результирующее действие всех этих сил?

Вот тут-то и приходит на помощь физикам математика – королева науки! Чтобы добавить два вектора, вам нужно:

  1. Отложить начало одного вектора от конца другого.
  2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором, соединяющим начало вектора с концом вектора

Сложение векторов методом треугольника

Сложение: метод параллелограмма

Сложение векторов методом параллелограмма

Вы также можете складывать векторы другим способом, используя метод параллелограмма:

  1. Совместите концы и
  2. Откладываем от конца вектор равный
  3. Откладываем от конца вектор равный
  4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (квадрат, у которого противоположные стороны параллельны и равны).
  5. Проведем диагональ параллелограмма, между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Проблема решена, ты молодец!

Обратите внимание И метод параллелограмма, и метод треугольника предполагают перемещение векторов в пространстве: мы либо совмещаем их концы, либо откладываем начало другого от конца одного вектора. Этими методами невозможно получить сумму векторов, не имеющих общей точки.

Сложение: метод многоугольника

Что делать, если векторов больше двух? Математика уже выработала решение этой проблемы: мы воспользуемся методом расширенного треугольника, который называется «метод многоугольника».

По этому методу мы последовательно объединяем конец и начало векторов, а затем показываем вектор суммирования, где начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего. Лучше всего это увидеть на чертеже:

Сложение векторов методом полигонов

Вычитание векторов

Продолжаем делать всевозможные операции с векторами, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это то же самое, что и сложение, но с обратным числом.

То же самое работает и с векторами: вместо вычитания попробуем добавить вектор напротив исходного:

Изобразим разницу между векторами с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Вычитание векторов. Изображение 1

Боитесь запутаться в векторах для попутного и встречного направления? Для их вычета существует отдельное правило:

  1. Отложим один вектор от начала другого.
  2. Тогда вектор разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом приведенного.

Вычитание векторов фигура 2

Этот метод похож на метод параллелограмма, но в этом случае мы берем другую диагональ.

Сложение нескольких векторов

Начиная со схемы, описанной выше, мы получаем возможность выполнять операцию сложения более 2-х векторов: складывать каждый последующий вектор по очереди.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. От произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору а→; затем с конца полученного вектора добавляется вектор, равный вектору b→; далее — последующие векторы задерживаются по такому же принципу. Конечная точка последнего экспонированного вектора будет точкой B, а результирующий отрезок (вектор) AB→ будет суммой всех исходных данных. Описанная схема сложения нескольких векторов также называется правилом многоугольника .

Геометрически это выглядит так:

Добавление нескольких векторов

Определение 7

Отдельной схемы вычитания векторов нет, потому что на самом деле разность между векторами a→ и b→ есть сумма векторов a→ и -b→.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных операций с векторами нам нужно поместить их в такую ​​систему координат, чтобы мы могли определить их положение относительно друг друга. Для этого используется декартова система координат, которую можно использовать как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Итак, если он находится на плоскости, его координаты могут быть выражены как в пространстве —

Базисные векторы – это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси, в трехмерном пространстве они обозначаются

Базисные векторы

Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на три базисных вектора.

координаты можно записать так:

Умножение вектора на число

Представим, что нам надо дважды растянуть вектор или сжать его, но уже в три раза. За все эти действия отвечает простая задача: умножение вектора на число.

Чтобы увеличить или уменьшить вектор в определенное количество раз, необходимо умножить все координаты вектора на это число.

Таким образом, если он задан координатами, то — Кстати, аналогичным образом можно повернуть вектор и направить его в обратную сторону:

Длина вектора

Длина вектора является одним из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь он характеризует его протяженность в пространстве и выражается числом.

Таким образом, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Его часто называют модулем, что и отражено в обозначении. Если нам нужно найти длину, мы пишем это так:

Длину вектора можно найти разными способами, вот самые важные:

  1. через координаты вектора;
  2. через координаты точек начала и конца вектора;
  3. по закону косинусов.

Давайте изучим все методы вместе!

Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника

Правило треугольника заключается в следующем: для сложения двух сонаправленных векторов необходимо первый вектор отложить от произвольной точки, второй отложить от конца полученного вектора и построить вектор, соединяющий начало первого до конца другого. Конечный вектор будет суммой двух векторов.

Рисунок поможет наглядно объяснить правило:

а+б=АВ+ВС=АС

AC — сумма векторов.

Разность между векторами a и b равна сумме векторов a и -b.

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В плоской задаче сумма и разность векторов a = {ax ; ay} и b = {bx; by} можно найти по следующим формулам:

а + б = {ах + Ьх; да+выкл}

а — Ь = {ах — Ьх; пока}

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В пространственной задаче сумма и разность векторов a = {ax ; да; az} и b = {bx; из; bz} можно найти по следующим формулам:

а + б = {ах + Ьх; да+выкл.; аз+бз}

а — Ь = {ах — Ьх; ай-бай; аз-бз}

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства сумма и разность векторов a = {a1 ; а2;… ; an} и b = {b1; Би 2;… ; bn} можно найти по следующим формулам:

а + Ь = {а1 + Ь1; а2 + Ь2;… ; ан + бн}

а — Ь = {а1 — Ь1; а2-b2;… ; ан-бн}

Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах

Кроме геометрического метода сложения (вычитания) векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника) существует метод сложения координат векторов.

Чтобы найти координаты суммы двух векторов, сложите их соответствующие координаты по следующей формуле:

Пример 1

Найдите сумму векторов a(7,5) и b(3,8)

Решение: а+b=(7+3;5+8)=(10;13)

Пример 2

Найти сумму координат векторов a(-7;2), b(-3;6), c(6;-5)

Решение: a+b+c=(-7-3+6;2+6-5)=(-4;3)

Примеры решения задач

Пример 3

Найдите сумму векторов a(1,2), b(7,9)

Решение: а+b=(1+7;2+9)=(8;11)

Пример 4

Найдите разность координат векторов a(4;-6), b(5;-1)

Решение: ab=(4-5;-6-(-1))=(-1;-5)

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Пример 1. Найти сумму векторов a = {1; 2} и б = {4; 8}.

Решение:

а + б = {1 + 4; 2 + 8} = {5; 10}Пример 2. Найти разность между векторами a = {1; 2} и б = {4; 8}.

Решение:

а — б = {1 — 4; 2 — 8} = {-3; -6}

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Пример 3. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и б = {4; 8; 1}.

Решение:

а + б = {1 + 4; 2+8; 5 + 1} = {5; 10; 6}Пример 4. Найти разность между векторами a = {1; 2; 5} и б = {4; 8; 1}.

Решение:

а — б = {1 — 4; 2-8; 5 — 1} = {-3; -6; 4}

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Пример 5. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5; 9} и б = {4; 8; 1; -20}.

Решение:

а + б = {1 + 4; 2+8; 5+1; 9 + (-20)} = {5; 10; 6; -11}Пример 6. Найдите разность между векторами a = {1; 2; 5; -1; 5} и б = {4; 8; 1; -1; 2}.

Решение:

а — б = {1 — 4; 2-8; 5-1; -одиннадцать); 5 — 2} = {-3; -6; 4; 0; 3}

Оцените статью
Блог о Microsoft Word