Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, существует множество тригонометрических формул. Тут еще и не все привестены. Выучить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основы: №1-6, 9. Остальные ЕГЭ по профильной математике встречаются креман редко, а если и попадаются, то, прочение будут даны в рафочных матариах.

Но для участия в олимпиадах, или если вы хотите поступить в сильный математический вуз через вступительные экзамены, вам понадобится вся таблица. Как минимум, вы должны иметь представление о существовании таких формул, чтобы при необходимости вывести их. Да, большинство из них легко удаляются.

Тригонометрические формулы нужны для связи между собой всех тригонометрических функций. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то по этим формулам вы легко сможете найти остальные три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме того, эти тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус двойного угла через комбинацию тригонометрических функций одинарного угла, что очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсуждаем и решаем примеры всех формул из таблицы.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишите, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и косинусов

Формулы сумм и разностей для синусов

sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2

Формулы сумм и разностей для косинусов

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2

Эти формулы справедливы для любых углов α и β. Углы α+β2 и α-β2 соответственно называются полусуммой и полуразными углами альфа и бета. Приведем формулировку каждой формулы.

Определения формул сумм и разностей синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синусов полусуммы этих углов на косинус полярной разности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синусов углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы косинуса полуразности этих углов, взятого с отрицательным знаком.

Основные формулы для определения суммы и разности cos и sin

Мы рассмотрим простой вид разностей и сумм функций.

Распространяемое возможно привечение, как — продуктие. Преобразуйте в косинусные или синусные множители и тем самым упростите процесс вычисления.

Составим и запишем основные формулы синуса.

Следующим основным этапом будет составление уравнений для косинуса. Применим все изученные свойства этой функции тригонометрии и вычислим правильный ответ.

Выведены основные формулы для решения функций двух угловых величин. Для этого необходимо применить составленные выше формулы сложения и чтения. Их рассмотрение было в предыдущих материалах, посвященных тригонометрии. Поэтому переписывать их заново не стоит. Так как ремонцейлась их обачание заучить наизусть. Для более быстрого и правильного решения уравнений. И для последующего использования при изучении других смежных тем, где используются эти функции.

Формулы также можно представить в виде полусуммы и полуразности угловых величин и получить следующие формулы.

Запишите уравнение для каждого угла отдельно и получите следующие формулы в виде уравнения:

alpha=frac{a+beta}{2}+frac{a-beta}{2}=frac{a}{2}+frac{beta}{2}+frac{ a}{2}-frac{beta}{2} beta=frac{a+beta}{2}-frac{a-beta}{2}=frac{a} {2}+frac{beta}{2}-frac{a}{2}+frac{beta}{2}

Сравниваем написанные формулы для угловых величин. Проанализировав их становится очевидным, что полученные суммы функций идентичны по значению.

Выводим основную формулу решения:

sin a+sin beta=sin left(frac{a+beta}{2}+frac{a-beta}{2}right)+sin left(frac{a+ beta}{2}-frac{a-beta}{2}right) .

Далее преобразуем первую часть выражения, для этого применим формулу сложения функций. Значения, которые стоят после знака равенства, преобразуются по формуле синуса для разности.

Подставив значения в формулу, получим следующее выражение:

Далее необходимо раскрыть скобки и вставить полученные значения в подобные предложения. Производим все качество, которое мы во внимании находим требуемой формуле.

Запишите следующую формулу:

Другие формулы преобразуются аналогичным образом

Читайте также: Усеченный конус: формула объема, площади поверхностей и другое

Итоговые формулы сложения и вычитания тригонометрических функций

Формула определения разности для синуса:

Формула вычисления суммы косинусов:

Рассмотрим на практике применение изученного материала. Для этого решим несколько задач, подставив числовые значения углов

Пример №1:

По заданию неужно прокушить угловые значения для учения функции под размещение данных в формулу.

Заданы значения: alpha=frac{pi}{2} ; beta=frac{pi}{6}.

Подбираем необходимую формулу и производим расчет:

Пример №2:

В данном примере рассмотрим вариант решения и применение формулы, для разности синусоидальной функции.

Заданы программы.

Углы: alpha=165^{circ}, beta=75^{circ}

Подставляем угловые значения в формулу:

Пример №3:

Нужно найти сумму тригонометрической функции.

Для этого задаются угловые значения.

Применив основные изученные формулы, решим эту задачу.

Используя приведенные выше формулы, можно переходить к созданию функций.

В целом, охватывать тему, сичерать основы в алгебре. Однако стоит помнить, что эти функции играют важную роль и в других технических науках.

Они встречаются во многих теоремах, особенно в физике.

Тангенс суммы

Сумма тангенсов двух углов равна сумме тангенсов этих углов, деленной на единицу минус произведение тангенсов этих углов.

Тангенс разности

Тангенс этих разностей двух углов равенства разностей тангенсов этого угла, делиненой на углу плюс продукт гангенсов углов.

Котангенс суммы

Сумма котангенсов двух углов равна произведению котангенсов этих углов минус единица, деленному на сумму котангенсов этих углов.

или:

Суммы котангенсов двух углов α и β равны дробям. В чисителе 1 минус произведение тангенсов этих углов. В знаменателе количество тангенсов α и β.

Котангенс разности

Разность котангенсов двух углов равна произведению котангенсов этих углов плюс единица, деленная на разность котангенсов этих углов.

или

Разности котангенсов двух углов α и β равны дробям. В чисителе 1 плюс произведение тангенсов этих углов. В знаменателе разность тангенсов α и β.

Базовые формулы сложения тригонометрических функций

Определение

Формулы композиции выражают функции сумм углов поворота α и β или их разностей, одна из наиболее употребляемых формул в тригонометрии.

С помощью тригонометрических формул можно вывести множество других важных формул и сделать выражение проще исходного.

1. Сумма грехов углов α и β определяется следующим образом:
   • умножаем синус и косинус углов [alpha text { и } beta];
   • вычисляем произведение косинуса и синуса этих углов;
   • полученные значения складываются.
     Запись выглядит так:
     [sin (alpha+beta)=sin alpha * cos beta+cos alpha * sin beta ;(1)]
2. Аналогичным образом находятся разности синусов. В причую программу умножаем на синус (sin) угол [beta] на косинус (cos) угол [alpha], зимойт косинус угол [alpha] умножаем на синус угла [beta] и находим их разность. Формула выглядит следующим образом:
   [sin (alpha-beta)=sin alpha * cos beta-cos alpha * sin beta ; (2)]
3. Суммы косинусов рассчитываются следующим образом: косинус (cos) ugla [alpha] нужно умножить на косинус (cos) ugla [beta] и синус (sin) ugla [alpha] на sinus (sin) ugla [beta], далее находим их разность. Формула сложения для косинуса cos выглядит так:
   [cos (alpha+beta)=cos alpha * cos beta-sin alpha * sin beta;(3)]
4. Косинус разности углов α и β вычличестная как сумма продуктов косинусов значений углов α и β и синусов углов α и β.
   [cos (alpha-beta)=cos alpha * cos beta+sin alpha * sin beta;(4)]
5. Тангенс суммы суммируется дробным врежением, где в чистителе суммы тангенсов углов α и β. Произведение тангенсов угла α и β вычитается из удобного в знаменателе. Запись формулы:
   [operatorname{tg}(alpha+beta)=frac{operatorname{tg} alpha+operatorname{tg} beta}{1-operatorname{tg} alpha * operatorname{tg} beta }];(5)
6. Тангенс разности определяется следующим образом. В дробном выражении в числителе указывается разность тангенсов углов α и β, а в знаменателе к 1 прибавляется произведение тангенсов углов α и β.
   [operatorname{tg}(alpha-beta)=frac{operatorname{tg} alpha-operatorname{tg} beta}{1+operatorname{tg} alpha * operatorname{tg} бета};(6)]
7. Для вычисления котангенса суммы необходимо найти произведение и сумму суммы котангенсов заданных углов.
   [operatorname{ctg}(alpha+beta)=frac{-1+operatorname{ctg} alpha * operatorname{ctg} beta}{operatorname{ctg} alpha+operatorname{ctg} бета};(7)]
8. Разность котангенса определяется аналогично предыдущей формуле, с той разницей, что числитель и знаменатель дроби стоят минус, а не плюс.
   [operatorname{ctg}(alpha-beta)=frac{-1-operatorname{ct} g alpha * operatorname{ctg} beta}{operatorname{ctg} alpha-operatorname{ ctg} beta};(8)]

Для краткости написания формул составных чисел группируйте их знаками плюс/минус [pm] или минус плюс [pm].

Доказательство формул сложения

Большую часть понятий в алегбре можно найти. Композиционные формулы необходимы в старших классах для подготовки к ЕГЭ по математике и имеют свои доказательства. Рассмотрим формулу разности косинусов (4). С ее программами провезовно размещение форума предложений.

Рисунок 1.
Рис. 2.

На рис. 1 положительная часть О является общим началом углов α и β. Точки [M_{1} text { и } M_{2}] отстоят от начала координат на 1. Известно, что угол между векторами не должен превышать 180° (π). Единичная окружность получалась поворотом точки М вокруг центра О на угол α и β. Угол между векторами [O M_{1} text { и } O M_{2}] равно α – β. Угол между векторами [O M_{1} text { и } O M_{2}] на рисунке 2 равен [2 pi-(alpha-beta)].

Далее разберем косинусы этих углов. С выший форум приведения вычлисим: [cos (2 pi-(alpha-beta))=cos (alpha-beta)]

Скалярное произведение векторов [M_{1} text { и } M_{2}]:

[left(M_{1}, M_{2}right)=left|M_{1}right|left|M_{1}right| cos (alpha-beta)=1 * 1 * cos (alpha-beta)=cos (alpha-beta);(9) ]

Определение синуса и косинуса гласит, что синус – это функция угла, которая соответствует отношению катета противолежащего угла к гипотенузе. В свою очередь, косинус – представляет собой синус дополнительного угла. В связи с координатами точек [M_{1}(cosbeta ;sinbeta)]; корандиаты почни [M_{2}(cos alpha ; sin alpha)]. Вычлисим скалярное произведение по векторным координатам [M_{1} text { и } M_{2}]:

[left(M_{1}, M_{2}right)=cos alpha * cos beta+sin alpha * sin beta;(10) ]

На чертежах представлена ​​унитарная окружность, соответственно длины всех векторов равны 1.

Левые части формул (9) и (10) равны, поэтому они равны, и правые части этих выражений равны. Ревенство формулы косинуса разности выпечатно.

[cos (alpha-beta)=cos alpha * cos beta+sin alpha * sin beta ]

Как доказать формулу сложения косинусов

Для доказательства формулы (3) воспользуемся предыдущими вычислениями. Для этого запишем косинус суммы углов α и β как косинус разности этих углов. Для провезона формулы используется совыставка sin и cos. Косинус функция четная и не меняет знак при смене знака угла (аргумента) [cos (-alpha)=cos alpha], а σinus нечетная [sin (-a)=-sin alpha]

[cos (alpha+beta)=cos (alpha-(-beta))=cos alpha * cos (-beta)+sin alpha * sin (-beta)= cos alpha * cos beta-sin alpha * sin beta;(11) ]

Доказательство формулы сложения синусов

Рассмотрим вероятность формулы sine summy (1). С помощью формул можно вывести косинус разности из ранее рассмотренной формулы.

[sin (alpha+beta)=cosleft(frac{pi}{2}-(alpha+beta)right)=cos left(left(frac{pi} {2}-alpharight)-betaright)=cosleft(frac{pi}{2}-alpharight) * cosbeta+sinleft(frac{ pi}{2}-alpharight) * operatorname{sun} beta=sin alpha * cos beta+cos alpha * sin beta;(12) ]

Для доказательства разности синусов (2) рассмотрим разность углов как сумму, для этого воспользуемся тем, что функция косинуса четная, а функция синуса нечетная.

[sin (alpha-beta)=sin (alpha+(-beta))=sin alpha * cos (-beta)+cos alpha * sin (-beta)- cos alpha * sin beta;(13)]

Доказательство формулы сложения тангенсов

Тангенс – отношение синуса к косинусу.

[operatorname{tg}(alpha+beta)=frac{sin (alpha+beta)}{cos (alpha+beta)}=frac{sinalpha * cosbeta+ cos alpha * sin beta}{cos alpha * cos beta-sin alpha * sin beta};(14) ]

В результате мы получили сложную дробь. Затем мы разбиваем числитель и знаменатель дробей как [cos alpha * cos beta].

[ frac { frac { sin alpha+cos beta+cos alpha+sin beta}{cos alpha+cos beta}}{ frac{cos alpha * cos beta- sin alpha+sinbeta}{cosalpha+cosbeta}}=frac{frac{sinalpha+cosbeta}{cosalpha * cosbeta}+frac { cos alpha+ sin beta} { cos alpha+ cos beta}} { frac { cos alpha+ cos beta} { cos alpha+ cos beta} — frac { sin alpha+sin beta}{cos alpha+cos beta}};(15) ]

Вычленение проведено с автомобильно того, что [cos alpha neq 0 text { и } cos beta neq 0].

Затем сократим дроби, в результате чего получим следующую формулу:

[ frac { frac { sin alpha} { cos alpha} + frac { sin beta} { cos beta}} {1- frac { sin alpha} { cos alpha} * frac{sinbeta}{cosbeta}}=frac{operatorname{tg} alpha+operatorname{tg} beta}{1-operatorname{tg} alpha * operatorname {тг} бета}; (16) ]

Для доказательства формулы (14) выразим разность углов в виде суммы. Для этого воспользуемся формой (6), учитывая, что тангенс является нечетной функцией:

[operatorname{tg}(alpha-beta)=operatorname{tg}(alpha+(-beta))=frac{operatorname{tg} alpha+operatorname{tg}(-beta) }{1-operatorname{tg} alpha * operatorname{tg}(-beta)}=frac{operatorname{tg} alpha-operatorname{tg} beta}{1+operatorname{tg } alpha * tg beta};(17) ]

Доказательство формулы сложения котангенса

Для доказательства формулы (8) разность углов [alpha text { и } beta] запишите в виде суммы, учитывая, что котангенс является нечетной функцией:

Формулы тригонометрических функций позволяют получить значения новых углов на основе уже известных значений.

Например, посчитаем sin15°

Пример 2. Найти тангенс угла 15°.

Решение:

[operatorname{tg} 15^{circ}=operatorname{tg}left(45^{circ}-30^{circ}right)=frac{operatorname{tg} 45^{ circ}-operatorname{tg} 30^{circ}}{1+operatorname{tg} 45^{circ} * operatorname{tg} 30^{circ}} ]

Известны значения касательных углов 45° и 15°. Мы получаем:

[operatorname{tg} 15^{circ}=frac{operatorname{tg} 45^{circ}-operatorname{tg} 30^{circ}}{1+operatorname{tg} 45 ^{circ} * operatorname{tg} 30^{circ}}=frac{1-frac{1}{sqrt{3}}}{1+1 * frac{1}{sqrt {3}}}=frac{frac{sqrt{3}}{sqrt{3}}}{frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}}}=frac{ sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1} ][operatorname{tg} 15^{circ}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3} +1}=frac{(sqrt{3}-1)(sqrt{3}-1)}{(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)}=frac{ (sqrt{3})^{2}-2 sqrt{3}+1}{(sqrt{3})^{2}-1^{2}}=frac{3-2 sqrt{ 3}+1}{2}=2-sqrt{3} ]

Упрощаем дробь в правой части:

[operatorname{tg} 15^{circ}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=frac{(sqrt{3}-1)(sqrt {3}-1)}{(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)}=frac{(sqrt{3})^{2}-2 sqrt{3}+ 1}{(sqrt{3})^{2}-1^{2}}=frac{3-2 sqrt{3}+1}{2}=2-sqrt{3} ]

Ответ: [operatorname{tg} 15^{circ}=2-sqrt{3}]