Свойства биссектрисы треугольника

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начало в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла в треугольнике с противолежащей стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса еще называется внутренней.

• BD — биссектриса угла ABC;
• α = β.

Основание биссектрисы — это точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. В нашем случае это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, примыкающего к внутреннему углу треугольника.

• CD — внешняя биссектриса угла, примыкающего к ∠ACB;
• α = β.

Количество биссектрис в треугольнике

Но вернемся к нашей основной теме. И ответим на вопрос — сколько биссектрис в треугольнике?

Ответ в целом логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник — три угла. И соответственно в ней тоже будет три биссектрисы — по одной на каждую вершину.

Давайте еще раз посмотрим на наши рисунки. При этом хорошо видно, что треугольник ABC (именно так обозначается эта фигура в геометрии — названием углов) имеет три биссектрисы. Это сегменты AD, BE и CF.

На чертежах БИСЕКТРИИ обозначаются следующим образом. Видите простые изогнутые линии между сегментами AC/AL1 и AB/AL1? Так определяются углы. И тот факт, что они оба отмечены одинаковыми линиями, указывает на то, что углы равны. Это означает, что отрезок AL1 является биссектрисой.

То же самое относится к углам между AB/DL2 и BC/BL2. Они отмечены одинаковыми двойными линиями. Это означает, что отрезок BL2 является биссектрисой. А вершины AC/CL3 и BC/CL3 обозначены тройными черточками. Следовательно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

Пересечение биссектрис треугольника

Как видно из рисунков выше, биссектрисы треугольника обладают одним важным свойством. Фактически:

Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в точке, называемой центром вписанной стороны!

Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает исключений. Другими словами, это не может быть:

Если вы видите такую ​​картинку, перед вами точно не биссектриса. В любом случае, нет хотя бы одного сегмента. Или, может быть, все три.

И еще один интересный факт, связанный с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Центр пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот рисунок.

Действительно, это свойство биссектрисы интересно выглядит не только на рисунках. Часто помогает решить сложные проблемы.

Свойства биссектрисы

1.  Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2.  Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух смежных сторон ()
3.  Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4.  Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в этот треугольник.

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла в треугольнике делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению сторон, примыкающих к данному углу. Для нашего треугольника (см верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называемая центром вписанной окружности) является центром окружности, вписанной в фигуру.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме сторон, прилежащих к углу, деленной на противолежащую сторону (считая сверху).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, можно найти длину биссектрисы по приведенной ниже формуле (следует из теоремы Стюарта):

BD2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Читайте также: Арккотангенс угла (arcctg): определение, формула, таблица, график, свойства

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы, лежащие под одним и тем же углом в треугольнике, перпендикулярны друг другу.

• CD — внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE — биссектриса угла, примыкающего к ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Доказательство теоремы

Теорема 1

Биссектриса в вершине треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных сторонам, примыкающим к данной вершине.

Доказательство через метод площадей

Биссектриса AD опущена в вершине A. Постройте высоту треугольника AH. Найдите площади треугольников ABD и ACD:

С(АБД)=АХ*БД/2

S(ACD)=AH*DC/2

S(ABD)/S(ACD)=(AH*BD/2)/(AH*DC/2)=BD/DC

С другой стороны, площади треугольников можно найти по формулам:

S(ABD)=AB*AD*sinα/2

S(ACD)=AD*AC*sinα/2

S(ABD)/S(ACD)=(AB*AD*sinα/2)/(AD*AC*sinα/2)=AB/AC ⇒

BD/DC=AB/AC.

Доказательство через теорему синусов

Проведите биссектрису AD из вершины A треугольника ABC.

По теореме синусов для треугольников ABD и ACD:

AB/sin(180-δ)=BD/sinα

AC/sinδ=CD/sinα

(AB/sin(180-δ))/(AC/sinδ)=(BD/sinα)/(CD/sinα) ⇒

АВ/АС=BD/DC.

Доказательство через подобие треугольников

Проведите биссектрису AD из вершины A треугольника ABC.

Из вершин B и C проведите перпендикуляры к лучу AD и отметьте точки пересечения L и K.

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники равны по двум углам (∠ALB=∠AKC, ∠BAL=∠CAK). Затем:

АВ/АС=БЛ/СК

Треугольники BLD и CKD равны, так как ∠BLD=∠CKD, а углы BDL и CDK равны по вертикали. Затем:

BD/CD=BL/CK ⇒

АВ/АС=BD/DC.

Прямая и обратная теорема о свойстве биссектрисы угла

Теорема 2

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС (стороны угла) равны.

Дан угол ∠BAC, AL — биссектриса, точка M лежит на биссектрисе.

Докажите, что MK=MP.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра. Из точки М провести перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Треугольники AMK и AMP прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу AM, а углы ∠KAM и ∠PAM равны, так как AL — биссектриса угла ∠BAC.

Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому следует, что MK=MP=d.

Следовательно, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Обратная теорема: если точка равноудалена от сторон нерасширенного угла, то она лежит на биссектрисе.

Дан расширенный угол ВАС, точка М равноудалена от сторон угла.

Докажите, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра. Из точки М провести перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Треугольники AMK и AMP прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и MR равны по условию.

Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

Подобие соответствующих элементов следует из подобия треугольников: равные углы лежат на равных катетах, значит ∠КАМ=∠ПАМ.

Следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Для начала вспомним, что такое равнобедренный треугольник.

Это такой треугольник, у которого две стороны точно равны (то есть у него равные «бедра»).

Так что в таком треугольнике биссектриса обладает очень интересными свойствами.

Это еще и медиана (что это?) и высота одновременно.

Эти термины также знакомы нам со школьной скамьи. Но если кто-то забыл, мы обязательно хотим напомнить:

1. Высота — линия, выходящая из вершины треугольника и спускающаяся к противоположной стороне под прямым углом.
2. Медиана – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит противоположную сторону на две равные части.

А в равностороннем треугольнике, или как его еще называют правильном (где все стороны и все углы равны), все три биссектрисы являются высотами и медианами. И в довершение ко всему, их длина одинакова.

Примеры решения задач

Задание 1

Даны стороны треугольника ABC: AB=16, AC=4, BC=18. Найдите отрезки, разделив биссектрису длинной стороны треугольника.

Решение:

Поскольку вершина A лежит напротив большей стороны треугольника, биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Затем:

АВ/АС=BD/CD

Установите BD=x. Итак, CD=BC-x=18-x. Подключим данные:

16/4=х/(18−х)

4=х/(18−х)

х=4(18−х)

х=72-4х

5х=72

х=14,4=БД

CD=BC-x=18-x=18-14,4=3,6.

Ответ: 14,4; 3.6.

Задача 2

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение:

По теореме Пифагора:

ВС2 = АВ2 + АС2 = 62 + 82 = 100.

ВС = 10 см.

По свойству 1 составим пропорцию, приняв за единицу отрезок BD на гипотенузе (тогда DC = 10-а):

БД/постоянный ток=АВ/переменный ток

а/(10-а)=6/8

8а=60-6а

14а=60

а≈4

BD=4, DC=10-a=10-4=6.

По свойству 4 вычисляем длину биссектрисы:

AD2 = AB*AC — BD*DC =6*8-4*6=24

Н.э.≈4,9.

Ответ: 4,9 см.

Применение биссектрисы на практике

Биссектриса — это не просто абстрактное математическое понятие. На самом деле без знания этого термина и его сущности невозможно обойтись во многих областях: в конструкции крыши, в защите радиовысотомеров от радиолокационных ракет, в проектировании кораблей, в исследовании следов взлома инструменты и так далее.