Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
| Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на этот треугольник:
На рисунке хорошо видно, что стороны равны. Это подобие делает треугольник равнобедренным.
Как называются стороны равнобедренного треугольника:
АВ и ВС — стороны,
АС — основание треугольника.
Для понимания материала нам нужно вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, вы наверняка слышали о крысе, которая бегает по углам и раскалывает их пополам. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если не любишь крыс, то бегать может кто угодно. Биссектриса — это кот. Полушарнир — лиса. Для фэнтези нет правил. Все правила относятся к геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектриса будет отрезком BH.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Для медианы не придумали забавного правила, как с биссектрисой, но можно придумать. Например, буддийское воспоминание: «Средний — это лама, блуждающий от вершины треугольника к середине основания и обратно».
В этом треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высота в представленном равнобедренном треугольнике – это отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько простых правил, позволяющих легко определить, что перед вами не что иное, как Его Величество равнобедренный треугольник.
- Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Читайте также: 25 киловатт: сколько это ампер
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно мыслить как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Пусть АС — основание равнобедренного треугольника. Нарисуем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK общий, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из подобия треугольников следует подобие всех соответствующих элементов, а значит угол А равен углу С. Просто!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- ∆ ABH = ∆ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, так как BH — биссектриса, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, AH = HC, а BH — это медиана.
- Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, биссектрисе и высоте.
- ∆ ABH = ∆ CBH по трем сторонам (AH = CH равно, так как BH — медиана, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
- Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
- Δ ABH = Δ CBH на основании прямоугольных треугольников, равенства гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, так как Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
- Во-вторых, AH = HC, а BH — медиана.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник уникален тем, что у него две стороны и два угла. Этим и обеспечивается основное свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой.
В равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой. Две другие биссектрисы будут отклоняться от соответствующих медиан и высот, проведенных к тем же сторонам. Стоит запомнить раз и навсегда, чтобы избежать нелепых ошибок.
Рис. 2. Полупроводники в равнобедренном треугольнике
При решении задач нужно понимать, что это свойство можно использовать не только в равнобедренном, но и в равностороннем треугольнике.
Ведь если выбрать одну из сторон равностороннего треугольника и взять ее за основание, то две другие стороны будут равны, а значит, равносторонний треугольник можно считать равносторонним треугольником, где любая сторона может выступать в качестве основания.
А так как за основание можно взять любую сторону, то каждая биссектриса будет совпадать с каждой соответствующей медианой и высотой. Ведь каждая биссектриса будет проведена в сторону, которую можно считать основанием.
Именно на этом свойстве основано сходство между двумя треугольниками, которое получается в равнобедренном треугольнике в результате проведения биссектрисы. Ведь в таких треугольниках одна сторона, та самая биссектриса, будет общей.
Биссектриса совпадает с высотой, значит, два маленьких треугольника будут прямоугольными, а биссектриса дает два равных угла. То есть два треугольника будут равны по катетам и прилежащим острым углам, что соответствует одному из знаков равенства прямоугольных треугольников.
Использование двух маленьких треугольников распространено на практике. Например, если известно основание треугольника и его сторона, но нужно найти биссектрису, это можно сделать гораздо проще, чем в других треугольниках.
Биссектриса совпадает с медианой и высотой и поэтому станет катетом маленького прямоугольного треугольника, поэтому значение биссектрисы можно найти как значение катета по теореме Пифагора.
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой, и медианой.
В равнобедренном треугольнике биссектрисы при основании равны.
Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные стороне и основанию:
Доказательство свойств биссектрисы равнобедренного треугольника и других свойств можно найти в теме: Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике биссектрисы проведены к сторонам, равным друг другу.
- AB = BC, так как стороны равнобедренные △ABC;
- AF = CG, потому что это биссектрисы, проведенные к сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны).
Обратная формулировка: если две из трех биссектрис треугольника равны, то он равнобедренный.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.
- BH — биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
- BH — это медиана, что означает, что она делит AC пополам, т е. AH=HC;
- BH — высота, поэтому перпендикулярно AC.
Свойство 3
Если известны стороны равнобедренного треугольника, длину биссектрисы, проведенной к основанию, можно рассчитать по формуле:
l2 = b2 – a2
- l — биссектриса;
- б — боковая сторона;
- половина базы.
Примечание: эта формула следует из теоремы Пифагора (l и a — катеты прямоугольного треугольника, b — гипотенуза).
Свойство 4
Внешняя биссектриса угла в равнобедренном треугольнике, противолежащая основанию, параллельна этому основанию.
- BD — внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
- BD параллельно основанию AC.
Примечание: к равнобедренному треугольнику относятся и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации — «Определение и свойства биссектрисы угла в треугольнике”.
Пример задачи
Биссектриса равнобедренного треугольника со стороной 25 см равна 20 см. Найдите периметр фигуры.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 3, чтобы найти длину основания.
а2 = b2 — l2 = 252 — 202 = 225.
Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).
Периметр фигуры равен сумме всех сторон, то есть: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.
