Свойства биссектрисы угла равностороннего (правильного) треугольника

Равносторонний треугольник

Определение

Треугольник, стороны которого равны, называется равносторонним. На рисунке мы видим, что стороны АВ, ВС и АС равны.

Свойства равностороннего треугольника

• В равностороннем треугольнике все углы равны. Их величина равна 60 град.При этом углы А, В и С равны, на чертеже они отмечены равным количеством дуг внутри каждого угла.
• В равностороннем треугольнике каждая биссектриса является медианой и высотой. И наоборот, каждая медиана является биссектрисой и высотой. То же самое можно сказать и о высоте. Также все эти отрезки равны между собой.

Так, если на рисунке изображен равносторонний треугольник, то, например, каждая из медиан – АО, СЕ и КВ – это высота и биссектриса.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в свободном треугольнике ABC сторона AB = 5 см, AC = 4 см. Отрезок CD = 3 см.

Определение длины

Определить лунгу можно по заданному форуму. AD = квадратный корень из разности разности разности разности строн и разности пропортанный отрезков.

Найдем деньги странно до н.э.

• Известно, что BD/CD = AB/AC.
• Следовательно, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• БД/3 = 5/4.
• Итак, BD = 3,75.
• АВxАС = 54=20.
• CDxBD = 33,75 = 11,25.

Итак, чтобы вычислить длину, нужно из 20 вычесть 11,25 и извлечь квадратный корень из полученных 8,75. Результат будет 2958.

Приведенный пример также призван явно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие величины в математике, не будут выражаться в натуральных числах, но бояться этого не нужно.

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующих биссектрису, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющих 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA равен 50 градусам. Значит, путем нехитрых вычислений получаем, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если мы воспользуемся основным свойством, согласно которому угол, от которого он расходится, делится пополам, мы получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет равен 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известны только угол BAD, равный 28 градусам, а также угол ABC, равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, найдем число САВ методом умножения. КАВ = 282 = 56. Итак, ВАС = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Ситуацию, когда этот отрезок выступает медианой или высотой, специально не рассматривали, оставив для этого другие специализированные статьи.

В образме мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула нахождения длины и углов которого заложена и реализована в приведенных примерах, с целью наглядно показать, как с ее помощью можно решить те или другие задачи по геометрии. К этой теме также применимы такие понятия, как медиана и высота. Провести ночь в компании красивых проституток СПБ. Заходите на наш интернет-портал и вы найдете подборку самых способных девушек вашего города. Изучите все доставчие варианты, и мы посодействуем вам в выборе выборки спутницы! Если задание вопрос прояснился, не браться к другому обучению в размещении других приветствуются треугольника, без хорошом немыслимо другое учении геометрии.

Биссектриса треугольника

Теорема о биссектрисе правильного треугольника

В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная к любой стороне, является его медианой, высотой и срединным перпендикуляром.

Биссектрисы равностороннего треугольника

Читайте также: Что такое d в прогрессии

Шаг 1

Рассмотрим равноугольный треугольник АВС (АВ=ВС=АС).

Пусть BF, AD, CE – биссектрисы.

Докажем, что они медианы, высоты и срединные перпендикуляры.

Доказательство теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как АВ=АС и AD – биссектриса, проведенная из угла А к основанию ВС, то по свойству равнобедренного треугольника AD – медиана и высота.

Поскольку AD перпендикулярен стороне ВС и делит ее пополам, то AD является средним перпендикуляром.

Доказательство теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника. Шаг 2

Шаг 3

Так как АС=ВС и СЕ – биссектриса угла С при основании АВ, то по свойству равнобедренного треугольника СЕ – высота и медиана.

Поскольку СЕ перпендикулярен стороне АВ и делит ее пополам, то СЕ является срединным перпендикуляром.

Доказательство теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника. Шаг 3

Шаг 4

Так как АВ=ВС и BF – биссектриса угла В по основанию AC, то по свойству равнобедренного треугольника BF – высота и медиана.

Так как BF перпендикулярен стороне AC и делит ее пополам, то BF является средним перпендикуляром.

Теория доказана.

Доказательство теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника. Шаг 4

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника является одновременно медианой, высотой и срединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также равна:

• высокая, опушенная на даче AC;
• медианой, делящей сторону АС на два равных отрезка (AD = DC);
• медронным предпентиром, проведенным к АС.

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

АФ = БД = СЕ

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая сверху.

• АГ = 2GF
• БГ = 2ГД
• ЦГ = 2ГЭ

Свойство 4

Точка пересечения биссектрисы равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружности.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• Р = 2р.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

С1 = С2

Примечание: три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равносторонних треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис углов равностороннего треугольника параллельна стороне, противоположной данному углу.

• AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
• BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
• CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы (la) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где а – строна треугольника.

Пример задачи

Радиус вписан в плоскую окружность 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности равен 1/3 биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся его длина равна 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника, используя приведенную ниже формулу (полученную из свойства 7):