Свойства корней и степеней: формулы

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить следующее определение:

«Степень n числа а есть произведение величин на множители n раз подряд»

• один — степень,

где:

а – основание степени;

n — показатель степени.

Соответственно:

Выражение, которое ai в степени n, читается

Проще говоря, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам, сколько раз это число (основание степени) должно быть умножено само на себя.

Итак, если у нас возникает задача, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2 в третью степень, то решается она достаточно просто:

• 23 = 2 2 2, где:

2 — дно степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, вы можете воспользоваться нашим онлайн-калькулятором. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, с теорией все же придется разобраться.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, почему на практике можно использовать возведение чисел в степень.
Задача на миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За год ты сделал из него еще два. Через год каждый миллион приносил еще два и т д. Получается, что каждый год миллион утраивается. Был один, а стало три — и то каждый год. Это здорово, не так ли? Теперь посчитаем, сколько у вас будет через 4 года.

Как решаем: умножаем миллион на три (1 3), потом результат умножаем на три, потом еще на три. Вам должно быть уже стало скучно, потому что вы поняли, что вам нужно умножить три на себя четыре раза. Давай сделаем это:

• 3 3 3 3 = 81. То есть получается, что три в четвертой степени равно 81.

Математикам стало скучно, и они решили все упростить:

• 34 = 81

Ответ: Через четыре года у вас будет 81 миллион.

Читайте также: Решение уравнений с модулем методом интервалов

Таблица степеней

Здесь мы приводим результаты возведения натуральных чисел от 1 до 10 в степени квадрата (показатель 2) и куба (показатель 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней

В математике степень с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, позволяющих упростить вычисления. Их пять – ниже мы их рассмотрим.

Мы будем использовать такие термины, как натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Чтобы избежать путаницы, давайте определим их:

• Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета вещей: один банан, два банана.

• Целые числа — это все натуральные числа, все противоположности натуральных чисел и числа 0.
• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби. Например: 1/2; −5/3; 8/4.
• Иррациональные числа — это бесконечные десятичные дроби. Например, число пи именно такое — 3,141592…

Все, теперь мы точно готовы разобраться со свойствами степеней. Идти!

Свойство 1: произведение степеней

Когда мы умножаем степени с одним и тем же основанием, мы оставляем основание без изменений и прибавляем показатели степени:

ам = ам+п

а — градусная база

m, n — показатели степени, все натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковым основанием, основание остается неизменным, а показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого.

а — любое число, не равное нулю

m, n — все натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в степень

Когда мы возводим степень в степень, основание степени остается неизменным, а показатели степени умножаются друг на друга.

(а) м = а м

а — градусная база

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: возведение в степень произведения

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в степень. Затем результаты умножаются.

(аб) н = а бн

а, б — градусная основа

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: возведение в степень частного

Чтобы возвести частное в степень, можно отдельно возвести делимое и делитель в эту степень и разделить первый результат на второй.

(a : b)n = an : миллиард

а, б — основание градусов, б ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Сложение и вычитание степеней

Как складывать числа с показателями степени и как вычитать степени очень просто. Основной принцип таков: сначала выполняется возведение в степень, а только потом операции сложения и вычитания.

23 + 34 = 8 + 81 = 89

63-33= 216-27=189

И еще несколько правил Если есть скобки, начать вычисления внутри них Только тогда мы возводим этот результат из скобок в степень Затем выполняем остальные операции: сначала умножение и деление по порядку (слева направо), а в конце — сложение и вычитание по порядку (слева направо)

Формулы степеней.

1.а0 = 1; (а ≠ 0);

2 ал = а;

3 ан · ам = ан + т — произведение степеней;

4. (an)m = anm — возведение в степень;

5 anbn = (ab)n — произведение степеней;

6 один =
— деление степеней;

7.
— деление степеней;

8 а1/н = <br>;

Примеры умножения и деления степеней

Умножение степеней с одинаковыми показателями

Чтобы умножить степени с одним и тем же показателем, вы можете умножить основания и возвести произведение в степень, показатель которой остается прежним:

• an bn = (ab)n , где

a, b — основание степени (не равно нулю)

n — показатели степени, натуральное число

• a5 b5 = (aaaaa) (bbbbb) = (ab) (ab) (ab) (ab) (ab) = (ab)5
• 35 45 = (3 4) 5 = 125 = 248 832
• 16а2 = 42а2 = (4а)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковым основанием умножаются путем сложения показателей:

am an= am+n, где

а — градусная база

m, n — показатели степени, все натуральные числа

• 35 32 = 35 + 2 = 37 = 2187
• 28 81 = 28 23 = 28 + 3 = 211 = 2048

Умножение степеней с разными основаниями и показателями

Если и показатели, и основания разные, и одна из степеней не преобразуется в число с тем же основанием, что и у другой степени (как здесь: 28 81 = 28 23 = 211 = 2048), то возводим каждое число в степень, а затем умножаем:

• 33 52 = 27 25 = 675

Деление степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями

Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

а — любое число, не равное нулю

m, n — все натуральные числа такие, что m > n

• 

Деление чисел с одинаковыми показателями степени

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

• an : bn = (a : b)n , где

а, б — основание градусов, б ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Пример:

53 : 23 = (5 : 2) 3 = 2,53 = 15,625

Деление степеней с разными основаниями и показателями

Если и показатели степени, и основания разные, возводим каждое число в степень и только потом делим:

• 33 ÷ 52 = 27 ÷ 25 = 1,08

Степень с отрицательным показателем и её свойства

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, у которой числитель равен единице, а знаменатель — заданное число с положительным показателем степени:

Примеры

Чтобы узнать, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней на равные степени.

Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

Следовательно, если степень делимого меньше степени делителя, результатом будет число с отрицательной степенью:

• а3÷а6=а3 — 6 = а-3

Если записать деление в виде дроби, то при уменьшении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Умножение отрицательных степеней

Когда вы умножаете отрицательные степени с одним и тем же основанием, степени складываются вместе, как и при умножении положительных степеней:

я ан = ам+н

Примеры

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатель делителя вычитается из показателя степени делимого, так же как и при делении положительных степеней:

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Возведение произведения в отрицательную степень

Как представить число в виде степени

Чтобы представить число в виде степени, вы должны разложить его на простые множители. Если в произведении несколько одинаковых множителей, то это произведение записывается в виде степени.

Например, представим число 243 в виде степени:

243 = 3 х 3 х 3 х 3 х 3 = 35

Что такое корень n-й степени из действительного числа

Чтобы научиться работать с корнями степени (n), нужно знать, что такое арифметический квадратный корень и его свойства.

Корень n-й степени ((n=2, 3, 4, 5, 6… )) некоторого числа (a) — это неотрицательное число (b), которое при возведении в степень (n i N) дает (a). Корень n обозначается знаком радикала (sqrtn{a}):

sqrtn{a}=b;  b^{n}=underbrace{b*b*b*…*b}_{n ; раз}=а.

Число (n in N) называется корневым показателем, а число (a) — завоеванным выражением.

Если (n=2), то у вас есть корень 2 или обычный арифметический квадратный корень, все они прошли в 8-м классе.

Если (n=3), то это третий корень, (sqrt3{a}). Его часто называют кубическим корнем. Для его вычисления нужно найти число, которое, умноженное само на себя трижды, даст подкоренное выражение.

Если (n=4), то четвертый корень, (sqrt4{a}) и т.д.

Операция возведения корня в n-ю степень обратна операции возведения в n-ю степень. Чтобы вычислить n-й корень из (a), нужно узнать, какое число (n) даст (a).

Пример 1  sqrt3{27}=3

Кубический корень из числа 27 равен 3. Если число 3 возвести в степень 3, получится 27.

Пример 2  sqrt4{16}=2

Корень четвертой степени из 16 равен 2. Два в четвертой степени равно 16.

Пример 3  sqrtn{0}=0

Если взять корень n-й степени из 0, он всегда будет равен 0.

Пример 4  sqrtn{1}=1

Если взять корень n-й степени из 1, он всегда будет равен 1.

Пример 5  sqrt3{19}= ?

Мы не можем подобрать мысленно число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получится (2,668…) — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.

Обычно в математике, когда вы получаете иррациональное число, корень не оценивается и остается как есть (sqrt3{19}).

Что делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно учитывать, что из себя представляет такая неразбериха. При этом необходимо выбрать ближайшие справа и слева числа, корень которых можно вычислить:

sqrt3{8} le sqrt3{19} le sqrt3{27}  2 le sqrt3{19} le 3

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Пример 6
Рассмотрим значение (sqrt4{15}= ?)  sqrt4{1} le sqrt4{15} le sqrt4{16};  1 le sqrt4{15} le 2;

Корень четной и нечетной степеней

Необходимо четко различать правила работы с четными и нечетными числами. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Нет четного корня из отрицательных чисел.

Корень нечетного числа можно вычислить из любого действительного числа. Иногда в школьной программе встречаются задания, где требуется решить, имеет ли выражение смысл:

Пример 7  sqrt3{-27}=-3

Это выражение имеет смысл, так как корень нечетного числа можно вычислить из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечение корня в 3-й степени означает нахождение числа, которое при возведении в 3-ю степень даст приглушенное выражение. Если ((-3)) умножить само на себя три раза, мы получим побежденное выражение (-27=(-3)*(-3)*(-3)).

Пример 8  sqrt4{-27}

Поскольку корень — четная степень, а под корнем стоит отрицательное число, выражение не имеет смысла. Невозможно найти число, которое при четырехкратном умножении само на себя даст отрицательное значение.

Из-под знака в нечетный показатель корня можно вынести минус. Это упрощает процесс подсчета.

sqrt[5]{-32}=-sqrt[5]{32}=-2;

Свойства корней

Мы говорим о свойствах.

1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется в виде равенства ab=a b, может быть представлено в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1 · а2·…· увы;
2. от частного a_b=a:b, a≥0, b>0, можно записать и в таком виде ab=ab;
3. Свойство из степени числа а с четным показателем а2 m=am для любого числа а, например свойство из квадрата числа а2=а.

В любом из представленных уравнений можно поменять местами части до и после дефиса, например, равенство ab=ab преобразуется в ab=a b Свойства равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Для обоснования третьего свойства необходимо обратиться к определению модуля числа.

Прежде всего необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. По определению надо думать, что ab есть число, положительное или равное нулю, которое будет равно ab при возведении в квадрат. Значение выражения ab положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умножения чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, тогда a b2=a2 b2=a b.

Аналогичным образом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2,.., ak будет равно произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1 · a2 · …· ak=a1 · a2 · …· ak.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить тему.

Пример 1

3 525=3 525, 4,2 1312=4,2 1312 и 2,7 4 1217 0,2(1)=2,7 4 1217 0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a_b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a_b2=a2:b2 и a2_b2=a:b, при этом a:b является положительным числом или равным нулю. Это выражение будет доказательством.

Например, 0_16=0:16, 80_5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства типа a2=a. Для доказательства этого свойства необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a<0.

очевидно, что при a≥0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верным равенство a2=-a. Действительно, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Мы можем заключить, что a2=a, a≥0-a, a<0=a. Именно это и нужно было доказать.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.

Доказанное свойство поможет обосновать a2 m=am, где a — действительное число, а m — натуральное число. На самом деле свойство возведения в степень позволяет нам заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.

Пример 3

38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.

Свойства корня n-ой степени

Сначала рассмотрим основные свойства корней n-й степени:

1. Свойство произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, может быть выражено как равенство a bn=an bn, это свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, …, ak как a1 a2 … akn= a1n· a2n· …·akn;
2.  из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где а — любое положительное или равное нулю действительное число, а b — положительное действительное число;
3. Для любого a и четного показателя степени n=2 m справедливо a2 m2 m=a, а для нечетного n=2 m−1 справедливо равенство a2 m-12 m-1=a.
4. Свойство вычитания из amn=an m, где a — любое число положительное или равное нулю, n и m — натуральные числа, это свойство также можно представить в виде…ankn2n1=an1 n2…nk;
5. Для любого неотрицательного a и произвольных натуральных n и m также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
6. Свойство степени n из степени a, положительное или равное нулю, натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
7. Свойство сравнения с одинаковыми показателями: для всех положительных чисел a и b таких, что a,><>
8. Свойство сравнения, имеющее одинаковые числа под корнем: если m и n натуральные числа, что m>n, то для 0[an, а для a>1 am<>]<1>

Приведенные выше уравнения действительны, если части до и после знака равенства поменяны местами. Их тоже можно использовать в таком виде. Это часто используется при упрощении или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основано на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Эти качества должны быть доказаны. Но все в порядке.

1. Прежде всего докажем свойства корня n произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые положительны или равны нулю, значение a bn также положительно или равно нулю, поскольку оно является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство натурального степенного произведения позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n, ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство и есть то, что требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an имеем a1n· a2n· …· akn ≥0 .

Приведем примеры использования свойства n-го корня произведения: 5 2127=57 2127 и 8,34 17,(21)4 34 574=8,3 17,(21) 3 574.

1. Докажем свойство корня частного abn=anbn. При a≥0 и b>0 выполняется условие anbn≥0 и anbnn=annbnn=ab.

Покажем примеры:

Пример 4

8273=83273 и 2,310:2310=2,3:2310.

1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n-й степени числа в степени n.Представим его в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1 =a для любого действительного a и натурального m. При a≥0 получаем a=a и a2 m=a2 m, что доказывает равенство a2 m2 m=a, а равенство a2 m-12 m-1=a очевидно . При a<0 получаем соответственно a=-a и a2 m=(-a)2 m=a2 m. Последнее преобразование числа справедливо по свойству мощности. Это и доказывает равенство a2 m2 m=a, и a2 m-12 m-1=a будет верным, так как -c2 m-1=-c2 m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.

Для закрепления полученной информации рассмотрим несколько примеров использования свойства:

Пример 5

744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.

1. Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого нужно поменять числа перед знаком равенства и после него местами m=amn. Это будет означать правильный ввод. Для a, положительного или равного нулю, формы amn является числом, которое положительно или равно нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . Их можно использовать для преобразования подобия в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Это доказывает рассматриваемое свойство корня из корня.

Соответственно были продемонстрированы и другие свойства. На самом деле,…ankn2n1n1 n2…nk=…ankn3n2n2 n3…nk=…ankn4n3n3 n4…nk=…=anknk=a.

Например, 735=75 3 и 0,00096=0,00092 2 6=0,000924.

1. Докажем следующее свойство amn m=an. Для этого нужно показать, что an — число положительное или равное нулю. При возведении в степень nm равно am. Если число a положительно или равно нулю, то n-я степень числа a положительна или равна 0. Также an·mn=annm, что требовалось доказать.

Для закрепления полученных знаний рассмотрим несколько примеров

2312=24.

1. Докажем следующее свойство — свойство корня степени вида amn=anm. Очевидно, что при a≥0 степень anm — неотрицательное число. Кроме того, его n-я степень равна am, да, anmn=anm·n=annm=am. Это доказывает рассматриваемое свойство степени.

Например, 2353=2335.

1. Мы должны доказать, что для всех положительных чисел a и b условие a<>

Возьмем для примера 124<15234.

1. Рассмотрим свойство корня в n-й степени. Рассмотрим сначала первую часть неравенства. Для m>n и 0[an. Предположим, что am≤an. Свойства упростят выражение до anm·n≤amm·n. Тогда по свойствам степени с натуральным показателем выполняется неравенство anm·nm·n≤amm·nm·n, т е an≤am. Результирующее значение для m>n и 0]<1><1 разумно равно am>

Таким же образом можно доказать, что при m>n и a>1 выполняется условие am<>

Чтобы закрепить вышеизложенные характеристики, рассмотрим несколько конкретных примеров. Оцените неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

0,73>0,75 и 12>127.

Примеры с решением

Пример №1

Это правда, что:

один)
б)

Решение:

а) По определению арифметический корень
степень неотрицательного числа
(
— четное число) — неотрицательное число,
-й степени, которая равна подкоренному выражению
.

Потому что
, то равенство
ошибка. Истинное равенство

б) По определению корень
степень среди
(
нечетное число) это число,
-й степени, которая равна подкоренному выражению
.

Потому что
является истинным подобием, поэтому подобие
правильный.

Пример №2

Решите уравнение:

Решение:

а) Решением этого уравнения является такое значение
, третья степень которого равна 7, т.е по определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение x, 4-я степень которого равна 5, т.е. (по определению)
является 4-м корнем числа 5. Но из положительного числа 5 есть два 4-корня, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Так как положительный корень
, то второй корень
, т.е.

Отвечать:

В тетрадь решение уравнения б) (аналогично а)) можно записать так:

Решение:

Отвечать:

Пример №3

Решите уравнение:

Решение:

а) Число 8 — четное число, поэтому это равенство является тождеством для
, поэтому каждое неотрицательное значение x является решением (корнем) уравнения

б) Число 13 нечетно, а значит, это равенство является тождеством при любом значении
, то решение уравнения
— любое действительное число, а R — сумма всех его корней.

Отвечать:

Пример №4

Решите уравнение:

Решение:

Обозначать
, то получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, у нас есть

где
(объясните, почему уравнение
не имеет корней).

Отвечать: