Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов прямой (90°), а два других острые (<90°).

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

1. Медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в отношении два к одному, считая от вершины, из которой проведена медиана.
2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательства свойств

Первое свойство

Докажите, что медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Проведем две медианы AE и BD, пересекающиеся в точке X (рис. 2).Фигура 2
2. Середины отрезков AX и BX будем обозначать буквами F и G соответственно (рис. 3).Рисунок 3
3. Соедините точки (D, F, G и E) друг с другом и получите квадрат DFGE (рис. 4).Рисунок 4
4. Сторона DE этого квадрата будет средней линией треугольника ABC. По определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна стороне, не пересекающей ее, и равна половине этой стороны, т.е.
   || АВ и DE = АВ/2.
5. Точно так же сторона FG треугольника AXB будет средней линией.
   ФГ || АВ и ФГ=АВ/2
6. Отсюда следует, что отрезки DE и FG параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник DFGE является параллелограммом (по критерию параллелограмма).
7. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
   FX=XE, GX=XDРисунок 5
8. Так как AF = FX (по построению), то AF = FX = XE, а также DX = XG = GB.
9. Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника.
10. Аналогично можно доказать, что пересечение третьей медианы, проведенной от прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) разделит ее в отношении 2 к 1, считая сверху. То есть наши 3 медианы тоже будут проходить через точку X. Отсюда следует, что все наши 3 медианы пересекаются в одной точке.

Читайте также: Квадратные метры, сантиметры и миллиметры: как перевести

Второе свойство

Докажите, что медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Чтобы доказать это свойство, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведем медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой Д (рис. 6).Рисунок 6
2. Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получаем четырехугольник AEBC, где AD=DB (поскольку CD — медиана стороны AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали квадрата AEBC пересекаются, а точка пересечения делится пополам. Отсюда следует, что AEBC — параллелограмм (по критерию параллелограмма).Рисунок 7
3. Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB правильный (по построению), AEBC — прямоугольник.
4. Так как диагонали прямоугольника равны и делятся пополам в точке пересечения (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.Рисунок 8
5. Поскольку AB = AD + DB, AD = BD и CD = AD = BD, получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB, равна половине длины.

Третье свойство

Докажите, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной окружности.

Доказательство:

1. Опишем окружность вокруг прямоугольного треугольника ABC.Рисунок 9
2. Поскольку точка C уже лежит на окружности, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, мы должны доказать, что точка M является центром описанной окружности (т е равноудалена от нее).
3. Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана, проведенная к гипотенузе, равна его половине (согласно доказанному выше свойству), то точка М будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (Рисунок 8).
4. Отсюда следует, что описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке М), а медиана СМ будет радиусом описанной окружности.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 10 см, а длина одного из катетов равна 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, вытекающая из свойства 1, в два раза больше медианы. Они соответствуют: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

По теореме Пифагора находим длину второго катета (примем его за «b», известный катет за «а», гипотенузу за «с”):
b2 = c2 — a2 = 202 — 122 = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем вычислить периметр фигуры:
P△=12см+16см+20см=48см.