Свойства медианы в равнобедренном треугольнике abc: проведенной к основанию, боковым сторонам

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на этот треугольник:

На рисунке хорошо видно, что стороны равны. Это подобие делает треугольник равнобедренным.

Как называются стороны равнобедренного треугольника:

АВ и ВС — стороны,

АС — основание треугольника.

Для понимания материала нам нужно вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, вы наверняка слышали о крысе, которая бегает по углам и раскалывает их пополам. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если не любишь крыс, то бегать может кто угодно. Биссектриса — это кот. Полушарнир — лиса. Для фэнтези нет правил. Все правила относятся к геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектриса будет отрезком BH.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для медианы не придумали забавного правила, как с биссектрисой, но можно придумать. Например, буддийское воспоминание: «Средний — это лама, блуждающий от вершины треугольника к середине основания и обратно».

В этом треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высота в представленном равнобедренном треугольнике – это отрезок BH.

 

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько простых правил, позволяющих легко определить, что перед вами не что иное, как Его Величество равнобедренный треугольник.

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно мыслить как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Пусть АС — основание равнобедренного треугольника. Нарисуем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK общий, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из подобия треугольников следует подобие всех соответствующих элементов, а значит угол А равен углу С. Просто!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

1. ∆ ABH = ∆ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, так как BH — биссектриса, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, AH = HC, а BH — это медиана.
3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, биссектрисе и высоте.

1. ∆ ABH = ∆ CBH по трем сторонам (AH = CH равно, так как BH — медиана, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

1. Δ ABH = Δ CBH на основании прямоугольных треугольников, равенства гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, так как Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
3. Во-вторых, AH = HC, а BH — медиана.

Читайте также: Какие бывают виды спорта входящие в летние Олимпийские игры

Определение медианы

Медиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину и середину противоположной стороны.

• BD — медиана △ABC;
• АД=DC.

Треугольник равнобедренный, если две стороны равны (стороны), а третья сторона является основанием фигуры.

• АВ = ВС — стороны;
• АС — это база.

Как найти медиану в равнобедренном треугольнике

Вчера ко мне подошла старшая дочь и спросила: «Мама, а ты знаешь, как найти медиану равнобедренного треугольника?» В панике я начал вспоминать, что такое медиана? Помню много геометрии, но тема медиан вылетела из головы. Прочитав немного теории в учебнике, я, конечно, сразу вспомнил и медианы, и треугольники. И хочу сказать, что на практике все гораздо проще, чем в теории.

Вычисление медианы по двум сторонам треугольника

В общем случае медиана – это отрезок, проведенный от угла треугольника к противоположной стороне, при этом разделив эту сторону на две равные части.

В равнобедренном треугольнике две стороны и два угла при основании равны. А медиана, проведенная к основанию, не только делит его пополам, но и является высотой. Высота, в свою очередь, образует с основанием прямой угол.

Равнобедренный треугольник разделен на два равных прямоугольных треугольника. Высота такого треугольника является одним из катетов. По теореме Пифагора находим эту кость:

Квадрат катета – это разность между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета.
Итак, катет — это квадратный корень из разницы между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета.

Пусть в условии равнобедренного треугольника даны стороны: а и Ь. Отсюда следует, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза а и катет Ь/2 получаются.

Заменяем значения и получаем, что высота равна:

Например, дано: a = 5, b = 6. Найти: h = ?

1. а^2=25
2. (б ^ 2) / 4 = 9
3. ч ^ 2 = (а ^ 2) — (б ^ 2)
4. ч ^ 2 = 25–9
5. ч ^ 2 = 16
6. ч = 4

Вычисление медианы по основанию и площади треугольника

Если из условия задачи мы знаем площадь равнобедренного треугольника и его основание, то легко найдем медиану.

• Площадь равнобедренного треугольника находится по формуле:
  S = (ш * ч) / 2
• Выражаем ч:
  h=2S/Вт
• Для примера дано: площадь S = 12, основание b = 6. Найдите медиану h.
  ч = 2 * 12 / 6
  ч = 4

Помогая дочери решать задачи, я понял, что их школьное детство гораздо проще нашего. Мало того, что все формулы есть в интернете, так еще и онлайн-калькуляторы дают правильный ответ и подробное решение за считанные секунды! Однако это минус. Нам приходилось запоминать все формулы и правила, а современные дети зависят от мобильных помощников.

Теперь вы знаете, как найти медиану равнобедренного треугольника, это легко и быстро: всего несколько коротких шагов. В учебниках по математике есть много вариантов этой задачи, но фактическое решение основано на теореме Пифагора. Эта теорема запоминается с первых уроков геометрии и остается в памяти навсегда.

Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является одновременно высотой, стягиваемой с основанием, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

• BD — медиана и высота, опущенная на основание AC, а также на биссектрису угла ABC.
• ∠АБД = ∠КБД

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике медианы пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

• O — центроид или центр тяжести треугольника;
• АО=2ОФ;
• БО = 2ОД;
• СО = 2Э.

Свойство 3

Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равновеликих треугольника. Следовательно, S1 = S2.

Свойство 4

Если провести три медианы равнобедренного треугольника, то получится 6 равнобедренных треугольников (S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6).

Свойство 5

Длину медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, можно найти по следующей формуле:

• а — база;
• б — страница.

Свойство 6

Это свойство, в отличие от перечисленных выше, не распространяется на медиану, опущенную к низу рисунка. В нем говорится:

Медианы, проведенные к сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

AF = CE, поэтому AE = EB = BF = FC.

Пример задачи

Основание равнобедренного треугольника равно 7 см, а сторона 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к низу фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, представленной в свойстве 5, подставив известные нам значения по условиям задачи: