Свойства прямоугольного треугольника

Определение прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из трех углов прямой, т.е равен 90°.

• АВ и АС — ноги;
• ВС — гипотенуза.

Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным — когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой равен 45°.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90$ градусов.

2. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45$ градусам, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Эта нога называется маленькой ногой.)

4. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, равна половине, а радиус описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты этого треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

AC^2+BC^2=AB^2

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C

Для острого угла B: AC — противолежащий катет; ВС — соседняя ветвь.

Для острого угла A: BC — противолежащий катет; AC — соседняя нога.

1. Синус (sin) острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Касательная (tg) к острому углу прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника (ctg) равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике ABC при остром угле B:

sin⁡B={AC}/{AB};

cos⁡B={BC}/{AB};

tgB={AC}/{BC};

ctgB={BC}/{AC}.

5. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы различны по знаку: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

sinBOA=sinBOC;

cos BOA=-cos BOC;

tg BOA=-tg BOC;

ctg BOC=-ctg BOC.

Читайте также: Модуль комплексного числа z: определение, свойства

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

α	30	45	60
сина	{1}/{2}	{√2}/{2}	{√3}/{2}
cosα	{√3}/{2}	{√2}/{2}	{1}/{2}
тга	{√3}/{3}	1	√3
ctga	√3	1	{√3}/{3}

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S={AC∙BC}/{2}

Пример:

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AB=10, AC=√{91}. Найдите косинус внешнего угла в вершине B.

Решение:

Так как внешний угол ABD при вершине B и угол ABD смежны, то

cosABD=-cosABC

Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла ABC:

cosABC={BC}/{AB}

Катет BC можно найти по теореме Пифагора:

BC=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3

Подставляем найденное значение в формулу косинуса

cos ABC = {3}/{10}=0,3

cos ABD = — 0,3

Ответ: -0,3

Пример:

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, sin⁡A={4}/{5}, AC=9. Найдите AB.

Решение:

Запишем синус угла A по определению:

sin⁡A={BC}/{AB}={4}/{5}

Поскольку мы знаем длину катета AC и запись синуса угла A не помогает, мы можем взять BC и AB как части 4x и 5x соответственно.

Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти «x»

AC^2+BC^2=AB^2

9^2+(4x)^2=(5x)^2

81+16x^2=25x^2

81=25x^2-16x^2

81=9x^2

9=х^2

х=3

Поскольку длина AB составляет пять частей, 3∙5=15

Ответ: 15

В прямоугольном треугольнике с прямым углом C и высотой CD:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

CD^2=БД∙AD

В прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

CB^2=AB∙DB

AC^2=AB∙AD

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

AC∙CB=AB∙CD

Практика: решить 6 задач и возможности подготовки к ЕГЭ по математике (профиль)

Свойство 1

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

α + β = 90°

Сумма всех углов треугольника равна 180°. Поскольку один угол равен 90°, два других также остаются равными 90°.

Свойство 2

Катет прямоугольного треугольника против угла 30° равен половине гипотенузы.

В нашем случае ветвь AB находится напротив ∠ACB = 30°. Поэтому:

Обратная формулировка:

Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна половине длины гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

Свойство 3

Башню Пифагора также можно отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно формулировке сумма квадратов катетов (а и b) равна квадрату гипотенузы (с).

а2 + Ь2 = с2

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого его катета.

Свойство 4

Медиана, падающая на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равна половине гипотенузы.

• AD — медиана
• АД=БД=DC

Свойство 5

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной вокруг него окружности.

Согласно обсуждавшемуся выше свойству 4 медиана BO равна половине гипотенузы AC и в то же время радиусу окружности, описанной около △ABC.

BO = AO = OC = Roct.

Теорема Пифагора

Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Или квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским треугольником. Он используется для построения прямых углов на поверхности Земли.

Площадь прямоугольного треугольника

• Вы можете обнаружить, что чувствуете две ноги.
• Через гипотенузу и высоту, проведенную к гипотенузе.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Использование знаков равенства для прямоугольных треугольников
можно доказать, что прямоугольные треугольники равны.

1. В двух категориях:
   Если два катета прямоугольного треугольника соответственно
   равен двум сторонам другого прямоугольного треугольника,
   то эти треугольники равны.
   
2. Для катетов и гипотенузы:
   Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно
   равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
   то эти треугольники равны.
   
3. После гипотенузы и острого угла:
   Если гипотенуза и острый угол прямоугольного треугольника соответственно
   равна гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
   то эти треугольники равны.
   
4. На ножке и остром углу:
   Если катет и острый угол прямоугольного треугольника соответственно
   равен катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
   то эти треугольники равны.

Признаки прямоугольного треугольника

Используя символы прямоугольного треугольника, вы можете
докажите, что треугольник прямоугольный.

1. По теореме Пифагора:
   Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
   тогда треугольник прямоугольный.
2. Центр описанной окружности:
   Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
   тогда треугольник прямоугольный.
3. По медиане:
   Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой он проведен,
   тогда треугольник прямоугольный.
4. По площади:
   Если площадь треугольника равна половине произведения двух сторон,
   тогда треугольник прямоугольный.
5. Радиус описанной окружности:
   Если радиус описанной окружности равен половине,
   тогда треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Используя знаки равенства с прямоугольными треугольниками, вы можете
докажите, что прямоугольные треугольники подобны.

1. Острый угол
   Если острый угол прямоугольного треугольника равен острому углу
   другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
2. По пропорциональности двух ног:
   Если пропорциональность двух катетов прямоугольного треугольника равна
   пропорциональность двух катетов другого прямоугольного треугольника,
   то эти прямые углы равны.
3. По пропорциональности катета и гипотенузы:
   Если пропорциональность катета и гипотенузы прямоугольного треугольника
   равна пропорциональности катета и гипотенузы другого прямоугольного треугольника,
   то эти прямые углы равны.

Пример задачи

В качестве примера рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим, у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Катет BC лежит против угла 30°. Нам нужно доказать, что BC составляет половину гипотенузы AB.

Решение

Нарисуем рисунок по условиям задачи, а получившийся треугольник зеркально отразим.

Получаем △ABD, где ∠BAD равно 60° (30° + 30°). Поскольку все три угла этого треугольника равны, он равносторонний. Следовательно, AD = AB = BD.

Отрезки BC и CD конгруэнтны (зеркальные изображения) и каждый составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равно AB.

Таким образом, ВС вдвое меньше АВ (или АВ = 2ВС).