Определение равностороннего треугольника
Равносторонний (или прямоугольный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. АВ=ВС=АС.
Примечание. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник с равными сторонами и углами между ними.
Все правила равностороннего треугольника: свойства
Само слово «равносторонний» затемняет определение этой фигуры.
Определение равностороннего треугольника: это треугольник, у которого все стороны равны.
Из-за того, что равносторонний треугольник является в некотором роде равнобедренным треугольником, он имеет знак последнего. Например, в этих треугольниках биссектриса угла также является медианой и высотой.
Помните: биссектриса — это луч, который делит угол пополам, медиана — это луч из вершины, который делит противоположную сторону пополам, а высота — это перпендикуляр, исходящий из вершины.
Второй признак равностороннего треугольника состоит в том, что все углы равны друг другу и каждый из них имеет меру 60 градусов. Это можно вывести из общего правила, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам. Следовательно, 180_3=60.
Следующее свойство: центр равностороннего треугольника, а также окружностей, вписанных в него и описанных вокруг него, является точкой пересечения всех его медиан (биссектрис).
Четвертое свойство: радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, вдвое больше радиуса вписанной окружности на этом рисунке. Вы можете убедиться в этом, взглянув на рисунок. OS — радиус описанной вокруг треугольника окружности, а OB1 — радиус вписанной. Точка O — это пересечение медиан, а значит, она делит его как 2:1. Отсюда делаем вывод, что ОС = 2ОВ1.
Пятое свойство состоит в том, что в этой геометрической фигуре легко сосчитать составные элементы, если в условии указана длина одной стороны. При этом чаще всего используется теорема Пифагора.
Шестое свойство: площадь такого треугольника вычисляется по формуле S=(a^2*3)/4.
Седьмое свойство: радиусы окружности, описанной вокруг треугольника, и окружности, вписанной в треугольник, соответственно равны
R = (а3)/3 и г = (а3)/6.
Рассмотрим примеры задач:
Пример 1:
Задача: Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 7 см. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Радиус вписанной окружности связан с последней формулой, поэтому OM = (BC3)/6.
- ВС = (6 * ОМ) / 3 = (6 * 7) / 3 = 143.
- АМ = (ВС3)/2; АМ = (143*3)/2 = 21.
- Ответ: 21 см.
Эту задачу можно решить другим способом:
- На основании четвертого свойства можно сделать вывод, что ОМ = 1/2 АМ.
- Следовательно, если ОМ равно 7, то АО равно 14, а АМ равно 21.
Пример 2:
Задача: Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен 8. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Пусть АВС равнобедренный треугольник.
- Как и в предыдущем примере, есть два пути: проще — АО = 8 => ОМ = 4. Итак, АМ = 12.
- А дальше — найти АМ по формуле. АМ = (АС3)/2 = (83*3)/2 = 12.
- Ответ: 12.
Как видите, зная свойства и определение равностороннего треугольника, можно решить любую задачу по геометрии по этой теме.
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота проведена к каждой стороне как к биссектрисе угла, из которого она проведена, так и к медиане и серединному перпендикуляру.
CD — медиана, высота и биссектриса стороны AB, а также биссектриса угла ACB.
- CD перпендикулярно AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
- AD=БД
- ∠ACD = ∠DCB = 30°
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и биссектрисы, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Читайте также: Как найти радиус описанной около правильного многоугольника окружности: формула
Свойство 5
Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника в два раза больше радиуса вписанной окружности.
- R — радиус описанной окружности;
- r — радиус вписанной окружности;
- Р = 2р.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, когда мы знаем длину стороны (условно примем ее за «а»), мы можем вычислить:
1. Высота/медиана/биссектриса:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Окружность:
5. Площадь:
Формулы правильного треугольника
Почти все формулы следуют из утверждения, что правильный треугольник имеет 3 угла по 60 градусов и 3 равные стороны.
Площадь
Начнем с формулы площади.
Равносторонний треугольник любой высоты делится на два равных прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, заменим его классической формулой площади треугольника и получим формулу нахождения площади правильного треугольника.
Рис. 2. Рисунок для доказательства.
В прямоугольном треугольнике ABM катет VM можно выразить через синус угла BAM. Этот угол известен и равен 60 градусам, а значит, известны и значения для синуса и косинуса этого угла. Катет VM противоположен, а это значит, что вам нужно использовать формулу синуса, чтобы найти его.
$$Sin(BAM)={BMover AB}$
С другой стороны, синус 60 градусов известен заранее и равен $sqrt{3} over 2$ . Таким образом, мы можем выразить значение AM:
$$BM=AB*sin(BAM)=AB* {sqrt{3}более 2}$
Все стороны треугольника равны между собой, поэтому для простоты обозначим их буквой а.
АВ=АС=ВС=а
Тогда формула будет выглядеть так:
$$VM=a*{sqrt{3}over2}$
Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:
$S= {1over2}h*a$, где a — основание треугольника, h — высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть так:
$$S={1over2}*AC*BM={1over2}*a*a*{sqrt{3}over2}=a^2*{sqrt{3}over4}$
Полученная формула намного проще классических по количеству необходимых параметров. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно знать только значение одной из сторон. Это возможно из-за подобия между углами в таком треугольнике.
Только в правильном треугольнике можно найти площадь через значение одной стороны.
Периметр
Периметр найти еще проще, так как это сумма всех сторон треугольника, и все они равны между собой, то:
Р=3а
Подобный подход, когда стороны равны или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника, часто используется для решения подобных задач. Правильный треугольник не имеет и не может иметь объема, так как является плоской фигурой. У нее есть два характерных термина: площадь и периметр.
В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Точки пересечения этих отрезков также совпадают. Полученная точка называется центром фигуры.
Рис. 3. Основные формулы правильного треугольника.
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной и вписанной окружности, а также высоту фигуры.
Решение
Воспользуемся приведенными выше формулами для нахождения неизвестных величин:
