Свойства умножения и деления

Что такое умножение?

Умножение — это арифметическая операция, в которой участвуют два аргумента — множитель и множитель. В некоторых случаях первый аргумент обычно называют множителем, а второй — множителем. Число, полученное в результате умножения, называется произведением.

Впервые в истории умножение натуральных чисел было определено как кратное сложение. Чтобы умножить число а на число b, нужно к числу а прибавить b.

a × b= a + a +…+ a (b раз)

Позже умножение было разделено на рациональные, целые, действительные, комплексные и некоторые другие виды чисел, согласно систематическому обобщению.

Сегодня в математике умножение имеет специфический смысл, разные свойства и определения для разных математических объектов, а не только для определения чисел.

Умножение чисел между собой является специфической коммутативной операцией, другими словами существует определенный порядок записи чисел множителей, который никак не влияет на результат умножения.

Например, при умножении чисел 5 и 3 запись может иметь вид как 3×5, так и 5×3 (произносится три раза по пять и пять по три). В обоих случаях результатом вычисления будет число 15.

Проверим эти действия сложением:

5 + 5 + 5 = 15
3 + 3 + 3 + 3 = 15

Умножение матриц, векторов, кватернионов, множеств и т д. (т е нечисловых математических, физических и абстрактных величин) не всегда может быть коммутативной операцией. И здесь при умножении физических величин важную роль будет играть их размерность.

В задачи общей алгебры, особенно теории колец и групп, всегда входит изучение общих свойств операции.

Что такое произведение в математике?

Произведение есть результат умножения. Числа, которые нужно умножить, называются множителями и множителями. А под умножением подразумевается краткий обзор суммы одинаковых слагаемых.

Например:

Когда мы видим значение 5×3, мы имеем в виду, что нам нужно прибавить 5 три раза, другими словами, это обычное сокращение для 5+5+5.

Запись произведения

Умножение может быть обозначено крестиком «×», точкой «·» и звездочкой «*»:

5×3
5*3
5 3

Все термины по существу одинаковы и относятся к одному и тому же действию.

Но иногда знак умножения в виде точки может быть намеренно опущен, если умножение идет не на число, а на буквенную переменную и константу.

Например, вместо 5×x обычно пишут 5x.

Если в действии несколько факторов, вместо них можно поставить многоточие. Допустим, произведение целых чисел от 1 до 100 будет выглядеть так:

1 × 2 × 3 × 4 ×…× 97 × 98 × 99 × 100

Что такое множимое?

В математических операциях множитель — это первое число или величина, умноженная на множитель.

Что такое множитель?

Множитель — это число, которое показывает, сколько раз другое число (множимое) должно быть повторено термином, чтобы получить произведение.

Свойства умножения

Умножение — это арифметическая операция, в которой участвуют два аргумента: множимое и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Мы узнаем, что такое свойства умножения и как их использовать.

Читайте также: Подобные треугольники

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть для всех чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство может быть применено к продуктам с более чем двумя факторами.

Примеры:

• 6*5=5*6=30;
• 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более факторов не изменится, если группу факторов заменить их произведением.

То есть для всех чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Пример:

• 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30

или

3 * 2 * 5 = (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30.

Ассоциативность можно использовать для упрощения вычислений умножения. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не использовать свойство комбинирования и вычислять последовательно, решение будет намного сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждый член на это число и сложите результаты.

То есть для всех чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством терминов: (a + b + c + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

Учитывая коммутативность умножения, правило можно переформулировать следующим образом:

Чтобы умножить число на сумму чисел, нужно умножить это число отдельно на каждый член и сложить полученные произведения.

Онлайн-курсы по математике для детей помогут улучшить оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, умножьте на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого произведения вычтите второе.

То есть для всех чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

Учитывая коммутативность умножения, правило можно переформулировать следующим образом:

Чтобы умножить число на разность между числами, нужно умножить это число отдельно на уменьшаемое и вычитаемое, а из полученного первого произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если хотя бы один множитель в произведении равен нулю, то и само произведение будет равно нулю.

То есть для всех чисел a, b и c верно равенство:
0 * а * б * с = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить целое число на единицу, получится то же число.

То есть умножение на единицу не меняет умножаемого числа: а * 1 = а.

Умножение однозначных чисел

Умножение двух однозначных натуральных чисел а и b заключается в нахождении суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу а, и при этом а и b являются натуральными числами.

Если a и b — числа, стоящие в самом начале натуральной последовательности, найти такую ​​сумму несложно: 1 ∙ 2=1+1=2. Но если взять числа, замыкающие первую десятку, например 8 и 9, то для вычисления 8∙9, а именно суммы 8+8+8+8+8+8+8+8+8=72, то в В этом случае подсчет результата потребует от нас некоторого времени.

Для облегчения расчета результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга вычислялись и сводились в специальные таблицы умножения.

Умножение однозначных чисел является основой для быстрого и точного вычисления произведений любого числа, поэтому очень важно знать все таблицы умножения наизусть.

Умножение многозначного числа на однозначное

Допустим, нам нужно умножить 985 на 4. Умножение 985 на 4 — это добавление числа 985 4 раза, то есть 985 + 985 + 985 + 985. Мы можем представить каждое из слагаемых числа 985 как сумму битовых слагаемых, а именно: 900+ 80+5. Вы получите следующее выражение:

900+80+5+900+80+5+900+80+5+900+80+5.

Воспользуемся законами сложения и сгруппируем одинаковые члены в этом выражении вместе:

900+900+900+900+80+80+80+80+5+5+5+5,

(900+900+900+900)+(80+80+80+80)+(5+5+5+5).

Мы можем заменить суммы в скобках произведением одинаковых терминов и количеством этих терминов в каждой скобке:

900∙4+80∙4+5∙4.

Чтобы умножить многозначное число на однозначное, достаточно умножить это однозначное число на количество единиц в каждой цифре многозначного числа и сложить результаты.

Умножение в столбик многозначного числа на однозначное

Практично и быстро умножать многозначное число на однозначное, и в то же время, чтобы не запутаться в расчете, помогает запись расчета в столбик.

Для этого пишем множитель 985, а под цифрой разряда единицы пишем множитель 4. Под множителем проводим горизонтальную черту, между множителями ставим знак умножения (точку или косую черту) и получаем следующая запись:

4 раза по 5 единиц — это будет 20 единиц, то есть 2 десятка и 0 одиночных. Поэтому пишем под чертой в единице цифру 0, а запоминаем 2 десятка или пишем маленькую цифру 2 над цифрой десятков множителя 985:

4 раза по 8 десятков будет 32 десятка. Прибавим к ним 2 десятка, которые мы получили после умножения однозначного числа на единицы, получим 32 десятка, то есть 3 сотни и 2 десятка. Под чертой записываем цифру 2 в разряде десятков, а над разрядом сотен кратного 975 (в уме) ставим маленькую цифру 3:

4 раза по 9 сотен будет 36 сотен. Складываем те 3 сотни, которые запомнили, получаем 39 сотен, или 3 тысячи и 9 сотен. Итак, пишем цифру 9 под горизонтальной чертой в разряде сотен, а так как в множителе 985 нет ни одной тысячи, то сразу пишем цифру 3 в разряде тысяч под чертой в результате:

Умножение многозначных чисел

Прежде чем рассказать, как вообще умножать одно многозначное число на другое, я хочу рассказать о двух частных случаях умножения многозначных чисел:

• умножение на число, начинающееся с единицы и заканчивающееся любым количеством нулей;
• умножение на число, которое начинается с любой цифры, отличной от нуля, и заканчивается одним или несколькими нулями.

Умножение на число, состоящее из единицы и любого количества нулей

Пусть надо умножить 327 на 10. Это значит, что нам нужно взять (сложить) число 327 10 раз. Известно, что если 10 раз отнять (прибавить) единицу, то получится 1 десяток, значит, если 10 раз отнять 327 единиц, то будет 327 десятков, то есть 3270 единиц. Фонды:

327∙10 =3270

Возьмем другой пример. Умножаем 327 на 100, то есть берем (прибавляем) число 327 100. Если повторить единицу 100 раз, то получится 100 единиц, или сто. Таким образом, 327 единиц, повторенных 100 раз, дадут нам 327 сотен, что можно записать так: 32700.

327∙100 =32700

Итак, чтобы умножить число на другое, начинающееся с единицы и заканчивающееся любым количеством нулей, достаточно в конец первого числа добавить столько нулей, сколько их во втором числе.

Умножение на число, которое начинается цифрами, и заканчивается любым количеством нулей

Например, давайте умножим то же число 327, но на 20. Это означает, что мы должны сложить одно и то же число 327 друг с другом 20 раз:

327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327.

Воспользуемся ассоциативным законом умножения и представим эти термины в виде 10 одинаковых групп, каждая из которых содержит по два термина 327:

(327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327) +327)+(327+327).

По определению умножения мы можем заменить сумму в скобках произведением, так как суммы для нас одинаковы. Получаем следующее:

(327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327) ∙2)+ (327 ∙2).

Но здесь мы снова видим, что выражение состоит из десяти одинаковых слагаемых, каждое из которых является произведением. Таким образом, мы можем представить это выражение в виде произведения:

(327∙2)∙10.

Рассмотрим другой пример: 764 ∙300.

Здесь нам нужно найти сумму 300 чисел, каждое из которых равно числу 764. Объединим эти 300 слагаемых в 100 групп, в каждой из которых по 3 слагаемых по 764. Можем ли мы узнать, сколько единиц содержит каждая из 100 групп ? Да мы можем. Для этого нам нужно найти сумму трех слагаемых 764 или просто умножить 764 на 3.

764∙3=2292.

Зная, сколько единиц в группе и количество этих одинаковых групп, мы можем найти, сколько единиц во всех этих группах. У нас есть 100 групп, а значит, мы находим сумму 100 слагаемых, каждое из которых есть найденное нами число 2292. То есть умножаем 2292 на 100. Для этого справа от числа 2292 добавляем два нуля:

2292∙100=229200.

Итак, чтобы умножить число на другое, которое начинается со всех цифр и заканчивается нулями, достаточно первое число умножить на число, образованное первыми цифрами второго, и прибавить справа от результата столько же нулей как это было в конце II в.
Другими словами: вы должны отбросить нули в конце второго числа, умножить полученные числа и добавить справа от результата столько нулей, сколько вы отбросили изначально.

Общее правило умножения чисел

Допустим, нам нужно найти произведение двух многозначных чисел 2834 и 168. Значит нужно сложить 168 одинаковых чисел, каждое из которых равно 2834:

Мы можем разложить число слагаемых (168) на более горькое (100 + 60 + 8) и по комбинационному закону сложения сгруппировать их следующим образом: сто слагаемых плюс шестьдесят слагаемых плюс восемь слагаемых.

Исходя из определения умножения, мы можем представить выражения в скобках не как сумму большого числа слагаемых, а как сумму произведений:

Следовательно, чтобы умножить два многозначных числа, достаточно последовательно умножить одно из этих чисел на количество единиц каждой из цифр в другом числе и сложить результаты.

Частичный продукт — это число, полученное после умножения одного из множителей на количество единиц любой цифры в другом множителе.

Умножение в столбик многозначных чисел

При записи операции умножения в столбик множители располагаются друг под другом таким образом, чтобы соответствующие цифры в обоих числах совпадали; под множителем проведите горизонтальную линию, а между множителями поставьте знак операции умножения:

Затем последовательно умножаем множитель 2834 на количество единиц каждой цифры в множителе справа налево, то есть начиная с младшей значащей цифры.

Умножаем 2834 на 8 единиц, получаем 22672 единицы. Результат умножения, т е первое частичное произведение, записывается под горизонтальной чертой.

Далее мы должны умножить множитель на 6 десятков; для этого умножаем 2834 на 6, и к результату прибавляем 0, получается 170040.

В частных работах нули обычно не пишут (опускают) в конце числа для упрощения записи. При этом не следует забывать, что в разряде должна быть записана первая цифра полученного частичного произведения, цифра, которую мы умножаем на множимое.

В нашем случае это выглядит так. Число 6, которое мы умножаем на множитель 2834, стоит в числе 168 в разряде десятков, то есть указывает на количество десятков. Поэтому первую цифру полученного частичного произведения необходимо записать в разряде десятков, ведь теперь мы умножаем число десятков на множимое.

Итак, 6 ∙ 4 = 24, значит, цифру 4 записываем в строчку под первым частичным произведением в разряде десятков, запоминая 20 десятков, то есть 2 сотни. Дальше считаем и записываем так же, как и любое другое умножение многозначных и однозначных чисел. Найдя второй подпродукт, мы получили следующее письмо:

Теперь умножаем множитель на 1 сотню. Для этого достаточно 2834 умножить на 1 и прибавить справа два нуля, получится 283400. Но нули в записи мы не пишем, поэтому третье частичное произведение начинаем писать с разряда сотен.

Нам остается только сложить три полученные частные работы.

Таким образом, результат умножения 2834 ∙ 168 = 476112.

Некоторые особенности записи умножения в столбик

При записи находки произведения двух чисел в столбик есть некоторые особенности, помогающие сократить запись и упростить наглядность расчета. Все они являются следствием свойства умножения.

Если количество цифр, составляющих первый множитель, меньше, чем у второго, то удобно при записи в столбик поменять местами множители, а сначала записать число с большим количеством цифр. Например, произведение 284 ∙ 12093 находится как 12093 ∙ 284. Это сделано для того, чтобы избежать необходимости искать много частных работ.

Если некоторые цифры в множителе равны нулю, можно не записывать соответствующие промежуточные продукты, которые, конечно, тоже будут равны нулю. В этом случае промежуточное произведение, полученное умножением следующей значащей цифры (то есть ненулевой) на множимое, начинают записывать с разряда, соответствующего положению этой значащей цифры. Например:

Если одним из множителей является число, оканчивающееся на любое количество нулей, то записываем множители в столбик так, как будто этих нулей не существует, находим произведение, мысленно отбрасываем эти нули, а затем приписываем отброшенные нули к число, полученное после умножения, и получить окончательный результат.

Если оба множителя являются числами, оканчивающимися на любое количество нулей, запишем их в столбик, как будто этих нулей не существует, и, найдя произведение чисел без нулей, припишем им столько нулей, сколько было изначально.

Попробуйте сами доказать справедливость этого утверждения. Напишите в поле для комментариев, сработало ли оно у вас или нет.

Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей

Чтобы понять, что происходит с произведением чисел при изменении одного или нескольких множителей, вспомним, что операция умножения является частным случаем операции сложения, а также коммутативного и ассоциативного законов сложения.

если один из множителей увеличится в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Рассмотрим пример 18∙2. Увеличив второй множитель, например, в 3 раза, получим другое выражение: 18∙6.

На самом деле:

18 ∙2 =36
18 ∙ 6 = 108.

Если мы умножим 36 на 3, то получим ровно 108.

Иначе и быть не могло, и вот почему.

Первый продукт представляет собой сумму двух слагаемых:

18+18.

Второе произведение представляет собой сумму шести одинаковых слагаемых:

18+18+18+18+18+18.

Если с помощью ассоциативного закона умножения сгруппировать эти члены по 2, то получится следующее:

(18+18)+(18+18)+(18+18).

Как видите, у нас есть 3 одинаковых термина, каждый из которых равен первому произведению. А это значит, что полученная работа состоит из дерева, которое было дано в первую очередь, то есть в 3 раза больше, чем исходное. КЭД

Для второго фактора справедливость этого свойства доказывается на основе коммутативного закона умножения.

Если один из факторов уменьшить в несколько раз, то во столько же раз уменьшится и произведение.

Попробуйте сами доказать правильность этого свойства. Напишите в комментариях, получилось ли у вас?

Если один из множителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

В самом деле, при увеличении одного из факторов произведение увеличивается, а при уменьшении другого фактора произведение уменьшается. Поэтому, если вы увеличиваете одно и одновременно уменьшаете другое число, эти изменения компенсируют друг друга, и произведение остается неизменным:

32 ∙ 8 = 256,

Увеличим первый множитель в 4 раза, а второй уменьшим во столько же раз:

128∙2=256.

Теперь первый множитель произведения 32∙8 уменьшаем в 4 раза, а второй уменьшаем во столько же раз:

8∙32=256.

Умножение произведения на число и числа на произведение

Если вам нужно умножить произведение на число, нужно умножить любой множитель этого произведения на заданное число, а результат умножить последовательно на остальные множители.
(a ∙b ∙c) ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c =(b ∙d) ∙a ∙c =(c ∙d) ∙a ∙b

Действительно, пусть необходимо найти результат (7∙9∙2)∙5. Мы можем сначала вычислить произведение в скобках (оно равно 126), а затем умножить его на 5 (результат 630). Или мы можем, чтобы быстро вычислить результат в уме, сначала умножить 5 на 2, чтобы получить круглое число 10, а затем легко вычислить еще два произведения, используя описанные выше специальные правила умножения:

10 ∙ 7 = 70 (просто прибавьте ноль к семерке),
70∙9=630 (находим 7∙9=63 в таблице умножения и прибавляем в конце нолик).

То есть мы видим, что (7∙9∙2)∙5 = (5∙2)∙7∙9.

Когда я пишу «найти по таблице умножения», это значит, что мы запоминаем эту строку из таблицы, а не ищем ее там на самом деле. Вы должны знать таблицу умножения наизусть!

Если вам нужно умножить число на произведение, умножьте данное число на любой множитель, а результат умножьте на остальные множители.
а ∙(б ∙с ∙d) = (а ∙b) ∙с ∙d = (а ∙с) ∙b ∙d = (а ∙d) ∙b ∙с.

Рассмотрим следующий пример: 6∙(3∙5∙2). Если в скобках найти значение произведения (30), а затем умножить на него число 6, то в результате получится 180. Или же можно сначала умножить число 6 на 5 (получится 30), а потом умножить результат по остальным факторам:

30∙3=90,

90∙2=180.

Оба эти свойства являются очевидными следствиями коммутативного и ассоциативного законов умножения.

Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)

При рассмотрении умножения многозначных и однозначных чисел мы разложили число 975 на биттермены (900+70+5), а затем умножили на 4 каждое из этих слагаемых в отдельности. Вы можете сделать то же самое при умножении числа на любую сумму.

Например, давайте найдем произведение суммы 5+2+4+9 на число 3. Это означает, что мы должны найти следующую сумму:

(5+2+4+9)+(5+2+4+9)+ (5+2+4+9).

Все эти понятия представляют собой одну сумму чисел, сгруппированных в определенные группы. Напишем их без скобок:

5+2+4+9+5+2+4+9+5+2+4+9,

а затем, используя коммутативный и ассоциативный законы сложения, сгруппируем те же члены:

(5+5+5)+(2+2+2)+(4+4+4)+(9+9+9).

Основываясь на определении умножения, поскольку в каждой скобке у нас одни и те же члены, мы перепишем это выражение следующим образом:

5 ∙3+2 ∙3+4 ∙3+9 ∙3.

Распределительный закон умножения: чтобы умножить сумму на любое число, необходимо каждый член этой суммы умножить на заданное число, а затем сложить полученные произведения.
Согласно коммутативному закону умножения, это свойство справедливо и при умножении числа на сумму.
Чтобы умножить число на сумму, необходимо данное число умножить на каждый член этой суммы, а результаты полученных произведений сложить.
(a+b+c+d)∙z =z∙(a+b+c+d) =a ∙z+b ∙z+c ∙z+d ∙z.

Название распределительное происходит от того факта, что действие умножения на сумму распределяется между каждым из членов этой суммы.

Пример 1

Решаем: 5*(3+2).

Как мы решаем:

Умножьте пять на каждый член в скобках и сложите результаты:

5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

Ответ: 25

Пример 2

Найдите значение выражения 2 * (5 + 2).

Как мы решаем:

Умножьте два на каждый член в скобках и сложите результаты:

2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

Ответ: 4.

Если в скобках указана не сумма, а разность, необходимо сначала умножить множитель на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число.

Пример 3

Решаем: 4*(6 — 2).

Как мы решаем:

Умножьте четыре на каждое число в скобках. Вычесть второе число из первого числа:

4 * (6 — 2) = 4 * 6 — 4 * 2 = 24 — 8 = 16

Ответ: 16

Распределительный закон умножения суммы обыкновенных дробей:

Распределительный закон умножения на разность обыкновенных дробей:

Проверим справедливость этого закона:

Подсчитаем, чему равна левая часть уравнения.

Теперь посчитаем, чему равна правая часть уравнения.

Итак, мы доказали справедливость закона распределения.

Правило знаков

Кроме того, правило знаков не имеет аналогов, но чрезвычайно важно при умножении рациональных чисел.

Правило знаков обычно записывается в трех утверждениях:

• умножение отрицательного числа на отрицательное число дает положительный результат. В противном случае: «Минус, умноженный на минус, будет плюсом»
• умножение отрицательного числа на положительное дает отрицательный результат. В противном случае: «Минус умножить на плюс минус»
• умножение положительных чисел дает положительный результат. Иначе: «Плюс на плюс будет плюс»