Свойства высоты равностороннего (правильного) треугольника abc

Что такое равносторонний треугольник?

Для начала нужно вспомнить, что такое равносторонний треугольник, определить некоторые его свойства, а уже потом выводить формулу высоты.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы в таком треугольнике равны между собой (60 градусов).

Равносторонний треугольник равнобедренный, но любую часть треугольника можно считать основанием.

Формула

Выведем формулу высоты равностороннего треугольника тремя способами: через теорему Пифагора, используя формулу площади прямоугольного треугольника, и через тригонометрическую функцию. Мы используем три метода, чтобы показать несколько вариантов доказательства и иметь возможность максимально быстро найти значение высоты при всех условиях задачи.

Рис. 2. Рисунок для доказательства.

Сначала выведем формулу в терминах площади.

В классической формуле, подходящей для любого треугольника, площадь равна половине произведения основания на высоту. Также существует формула площади правильного треугольника: $S=sqrt{3}*{a^2over4}$

Сравните две формулы и выведите формулу высоты.

$$S=sqrt{3}*{a^2over4}$

$$S={1over2}*a*h$

${1over2}*a*h=sqrt{3}*{a^2over4} $ — уменьшить обе части на a.

${1over2}*h=sqrt{3}*{aover4} $ — умножить на 2.

$H=sqrt{3}*{aover2}$ — и мы получаем формулу высоты равностороннего треугольника.

С другой стороны, в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и высотой. То есть высоту можно найти как катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Рис. 3. Рисунок для доказательства.

$$h=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$

Если в том же маленьком прямоугольном треугольнике учесть известный острый угол, то можно вывести значение высоты через синус угла в 60 градусов.

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Давайте воспользуемся этим соотношением и выразим высоту.

$$sin(60)={чнад {а}}$

$h=a*sin(60)={a*sqrt{3}over{2}}$ — как видите, результат такой же, как и в первом способе. Это говорит о том, что в равностороннем треугольнике всего две формулы высот, а все остальные способы доказательства сводятся к полученным выводам.

Читайте также: Моря Атлантического океана — названия, описание и карта

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является биссектрисой, медианой и серединным перпендикуляром.

• BD — высота, опущенная в сторону AC;
• BD — медиана, которая делит сторону AC пополам, т е. AD=DC;
• BD — биссектриса угла ABC, т е. ∠ABD = ∠CBD;
• BD — биссектриса, проведенная к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

АЭ=БД=CF

Свойство 3

Высоты равностороннего треугольника в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

• АО = 2ОЕ
• БО = 2ОД
• СО = 2OF

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника — это центр вписанной и описанной окружностей.

• R — радиус описанной окружности;
• r — радиус вписанной окружности;
• R = 2r (следует из свойства 3).

Свойство 5

Высота равностороннего треугольника делит его на два прямоугольных треугольника равной площади (равной площади.

С1 = С2

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 прямоугольных треугольников с одинаковой площадью.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника, можно вычислить высоту по формуле:

а — сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из свойств 3 и 4, радиус описанной окружности равен 2/3 высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь осталось вычислить длину стороны треугольника (выражение получено из формулы в свойстве 6):

Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей стороны и синус угла.

h = a sinα

Где: а — сторона, sin α — синус угла прилежащей стороны.

Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус описанной окружности.

ч = bc2R

Где: b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.