Свойства высоты в прямоугольном треугольнике: из прямого угла и острого

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника. Основание высоты называется основанием этого перпендикуляра (рис. 1).

Рисунок 1

На рис. 1 показана высота BD, вычитаемая из вершины B в треугольнике ABC. Точка D — подножие холма.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведенного из вершины прямого угла, верно следующее утверждение.

Заявление. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу, есть среднее геометрическое между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис. 2).

Рис.2

Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис. 2) удовлетворяют соотношениям

В силу критерия подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Поэтому,

Таким образом, длина отрезка CD есть среднее геометрическое между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

Высоты можно получить из каждой вершины треугольника, но разные типы треугольников имеют разные высоты, как показано в таблице ниже.

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Острый треугольник		Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник		Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Острый треугольник
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Острый треугольник

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник

Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Читайте также: Перевести единицы: джоуль Дж в киловатт-час кВт·ч

Ортоцентр треугольника

Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и через каждую его вершину проведем прямую, параллельную противоположной стороне (рис. 3).

Рис.3

Обозначим точки пересечения этих линий как A1, B1 и C1, как показано на рисунке 3.

В силу параллелизма прямых AC и C1A1, а также BC и C1B1 квадраты AC1BC и ABA1C являются параллелограммами параллелограмма, из которого подобия следуют подобиям подобиям

С1В=АС=ВА1.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1.

Из-за параллелизма прямых ВС и С1В1, а также АВ и В1А1 квадраты АС1ВС и АВСВ1 являются параллелограммами, параллелограммами, из которых сходства следуют сходствам следует сходствам

С1А=ВС=А1В1.

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1.

Из-за параллелизма прямых AB и B1A1, а также AC и C1A1 четырехугольники ABA1C и ABCB1 являются параллелограммами параллелограмма, из которого подобия следуют подобиям подобиям

А1С=АВ=В1С.

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1.

Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к треугольнику A1B1C1 (рис. 4),

Рис.4

и в силу серединного перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром треугольника.

Различные типы треугольников имеют разное расположение ортоцентров, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Острый треугольник		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
Тупоугольный треугольник		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Острый треугольник

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Тупоугольный треугольник

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача. Высоты AD и BE проведены в остроугольном треугольнике ABC (рис. 5). Докажите, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Рис.5

Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны из-за критерия конгруэнтности прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C является общим). Отсюда равенство

Это подобие, а также наличие общего угла С позволяет сделать вывод, исходя из критерия подобия треугольников, что оба треугольника DCE и ABC подобны. Решение проблемы завершено.

EDC и ABC Из подобия треугольников следует важное следствие (рис. 5.

Следствие 1.

Определение 3. Ортоцентрический треугольник (ортотреугольник) – это треугольник, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника (рис. 6).

Рис. 6

Следствие 2 следует из определения 3 и следствия 1.

Следствие 2. Пусть FDE — ортоцентрический треугольник с вершинами на высотах оснований остроугольного треугольника ABC (рис. 7).

Рис.7

Тогда равенства

Теорема 2 следует из следствия 2.

Теорема 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис. 7).

Доказательство. Используя следствие 2, получаем:

qED

Задача Фаньяно

Проблема Фаньяно. Рассмотрим всевозможные треугольники DEF, вершины которых D, E и F лежат на сторонах BC, AC и AB соответственно остроугольного треугольника ABC. Докажите, что из всех треугольников DEF ортоцентрический треугольник треугольника ABC имеет наименьший периметр.

Решение. Пусть DEF — один из рассматриваемых треугольников. Обозначим точку символом D1, АС относительно прямой D, симметричной точке, а символом D2 обозначим точку, АВ относительно прямой D, симметричной точке (рис.8).

Рис. 8

Поскольку отрезок прямой является кратчайшим расстоянием между двумя точками, периметр треугольника DEF оказывается не меньше длины отрезка D1D2. Отсюда следует, что при фиксированной точке D наименьший периметр имеет треугольник DEF, где вершины F и E являются пересечениями прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис. 9).

Рис.9

Отметим также, что равенство

АД=АД1=АД2.

Кроме того, имеет место равенство

Поэтому

Это означает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е когда отрезок AD будет высотой треугольника ABC. Другими словами, треугольник DEF имеет наименьший периметр, где вершина D является основанием высоты треугольника ABC, вычтенной из вершины A, а вершины E и F построены по схеме, описанной выше. Таким образом, среди всех возможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если мы обозначим длину высоты, вычитаемую из вершины A, длину стороны AB и радиус окружности ABC, вписанной вокруг треугольника буквами h, c и R соответственно, то по теореме синусов получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников равен DEF

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник — это треугольник с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Пусть DEF — ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис. 10).

Рис.10

При этом отрезок D1D2 проходит через точки F и E.

Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Кроме того, в силу подобия треугольников DFK и KFD2, а также в силу подобия треугольников DEL и LED1 выполняется равенство:

Поэтому,

откуда следует, что углы AEF и D1EL, а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы завершает решение проблемы Фаньяно.

Все формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике стороны являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота от прямого угла

а, б — ноги

в — гипотенуза

c1, c 2 — отрезки, полученные делением гипотенузы, высота

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острый угол (H):

Формула длины высоты через катет и угол (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы (H):

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в том же отношении, что и квадраты прилежащих катетов:

Высота и гипотенуза

Доказательство

Шаг 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASV (∠С=90⁰). И проводим на этой высоте СЕ от прямого угла к гипотенузе.

Докажем, что:

Высота прямоугольного треугольника. Доказательство. Шаг 1

Шаг 2

Из теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике следует, что:

Из подобия между треугольниками следует:

Отсюда:

Высота прямоугольного треугольника. Доказательство. Шаг 2

Шаг 3

Из теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике следует, что:

Из подобия между треугольниками следует:

Отсюда:

Высота прямоугольного треугольника. Доказательство. Шаг 3

Шаг 4

Разделите BC2 на CA2. Мы получаем:

Теорема доказана.

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с катетами.

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу под прямым углом.

Свойство 2

Ортоцентр (пересечение высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, делит его на два равных прямоугольных треугольника, которые также напоминают исходный.

1. △ABD ∼ △ABC в двух равных углах: ∠ADB = ∠BAC (прямые), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ∼ △ABC в двух равных углах: ∠ADC = ∠BAC (прямые), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ∼ △ADC в двух равных углах: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.
Доказательство: ∠BAD = 90° — ∠ABD (ABC). При этом ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.
Следовательно, ∠BAD = ∠ACD.

Аналогично можно доказать, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, рассчитывается следующим образом:

1. Через отрезки гипотенузы, образованные в результате ее деления с основанием высоты:

2. Через длины сторон треугольника:

Эта формула выведена из свойств синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Примечание: общие свойства высоты, представленные в нашей публикации «Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства», относятся и к прямоугольному треугольнику”.

Пример задачи

Задание 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на проведенные к нему высоты отрезками 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в свойстве 4:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Сначала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника равны «а» и «b», а гипотенуза «с”):
с2 = а2 + b2 = 92 + 122 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь мы можем использовать вторую формулу из свойства 4 выше: