- Определение равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Высота равнобедренного треугольника
- Свойства высоты в равнобедренном треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Доказательство теоремы
- Шаг 1
- Шаг 2
- Шаг 3
- Шаг 4
- Основные признаки
- Формула высоты 1
- Формула высоты 2
- Прямоугольный равнобедренный треугольник
- Золотые треугольники
- Пример задачи
- Если известны длина стороны а и угол α
- Формула
- Пример
- Если известны длина стороны а и угол β
- Формула
- Пример
- Если известны длина стороны b и угол α
- Формула
- Пример
- Если известны длина стороны b и угол β
- Формула
- Пример
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на этот треугольник:
На рисунке хорошо видно, что стороны равны. Это подобие делает треугольник равнобедренным.
Как называются стороны равнобедренного треугольника:
АВ и ВС — стороны,
АС — основание треугольника.
Для понимания материала нам нужно вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, вы наверняка слышали о крысе, которая бегает по углам и раскалывает их пополам. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если не любишь крыс, то бегать может кто угодно. Биссектриса — это кот. Полушарнир — лиса. Для фэнтези нет правил. Все правила относятся к геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектриса будет отрезком BH.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Для медианы не придумали забавного правила, как с биссектрисой, но можно придумать. Например, буддийское воспоминание: «Средний — это лама, блуждающий от вершины треугольника к середине основания и обратно».
В этом треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высота в представленном равнобедренном треугольнике – это отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько простых правил, позволяющих легко определить, что перед вами не что иное, как Его Величество равнобедренный треугольник.
- Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно мыслить как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Пусть АС — основание равнобедренного треугольника. Нарисуем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK общий, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из подобия треугольников следует подобие всех соответствующих элементов, а значит угол А равен углу С. Просто!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- ∆ ABH = ∆ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, так как BH — биссектриса, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, AH = HC, а BH — это медиана.
- Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, биссектрисе и высоте.
- ∆ ABH = ∆ CBH по трем сторонам (AH = CH равно, так как BH — медиана, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
- Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
- Δ ABH = Δ CBH на основании прямоугольных треугольников, равенства гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, так как Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
- Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
- Во-вторых, AH = HC, а BH — медиана.
Читайте также: История Олимпийских игр
Высота равнобедренного треугольника
Основная теорема, на которой основано решение почти всех задач, звучит так: Высота равнобедренного треугольника — это биссектриса и медиана. Для понимания его практического смысла (или сути) следует создать справочное руководство. Для этого вырежьте из бумаги равнобедренный треугольник. Проще всего это сделать из обычного тетрадного листа в клеточку.
Согните получившийся треугольник пополам и выровняйте стороны. Что случилось? Два подобных треугольника. Теперь нам нужно проверить наши догадки. Разверните получившееся оригами. Нарисуйте линию сгиба. С помощью транспортира проверьте угол между нарисованной линией и основанием треугольника. Что означает угол 90 градусов? Начерченная линия является перпендикуляром.
По определению, высота. Как найти высоту равнобедренного треугольника, мы выяснили. Теперь займемся углами вверху. Используя тот же транспортир, проверьте углы, образованные теперь высотой. Они равны. Это означает, что высота также является биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые основание делит высоту, они равны. Следовательно, высота равнобедренного треугольника делит основание пополам и является медианой.
Свойства высоты в равнобедренном треугольнике
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к сторонам, равны.
АЕ=CD
Обратная формулировка: если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике опущенная к основанию высота является одновременно биссектрисой, медианой и серединным перпендикуляром.
- BD — высота, проведенная к основанию AC;
- BD — медиана, поэтому AD = DC;
- BD — биссектриса, поэтому угол α равен углу β.
- BD — биссектриса стороны AC.
Свойство 3
Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:
- Длина высоты ha, опущенная до основания a, рассчитывается по формуле:
- а — база;
- б — страница.
- Длина высоты hb, проведенной к стороне b, равна:
p — половина окружности треугольника, вычисляемая следующим образом:
- Высоту стороны можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:
Примечание: для равнобедренного треугольника также применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации — «Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.
Доказательство теоремы
Наглядное пособие наглядно демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия — достаточно точная наука, поэтому требует доказательств.
При оценке равенства углов при основании доказано равенство треугольников. Помните, что BD — биссектриса, а треугольники ABD и SVD равны. Был сделан вывод, что соответствующие стороны треугольника и конечно же углы равны. Итак, БП = SD. Следовательно, PD является медианой. Осталось доказать, что VD — высота. Исходя из подобия рассматриваемых треугольников, получается, что угол ADV равен углу SDV. Но эти два угла смежные и, как известно, составляют в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусов. Таким образом, VD — это высота равнобедренного треугольника, проведенного к основанию. КЭД
Шаг 1
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (AB=BC).
Высота равнобедренного треугольника. Доказательство. Шаг 1
Шаг 2
Опустите высоту VC в сторону AC.
Высота равнобедренного треугольника. Доказательство. Шаг 2
Шаг 3
Рассмотрим треугольники AKB и SKB.
1 способ доказать их равенство (через знак равенства в прямоугольных треугольниках)
- АВ = ВС — по условию треугольник АВС равнобедренный. AB и BC — гипотенузы треугольников ABK и SVK соответственно;
- ∠AKV = ∠SKB =90⁰– по построению VC – высота над уровнем моря;
- ВК — общая ножка.
Следовательно, катеты и гипотенуза треугольников равны:
2 способа доказать их равенство (через 1 признак равенства треугольников)
Поскольку по построению VC — это высота, треугольники прямоугольные.
По теореме Пифагора:
Для треугольника АВС:
Для треугольника ВКС:
По условию AB = BC, а значит, их площади равны. ВК — генерал. Таким образом, мы имеем:
Так как квадраты длин сторон равны, то и сами стороны равны:
В результате имеем:
АК=КС;
Генерал ВК;
∠AKV = ∠SKV =90⁰– по построению VC – высота.
Следовательно, треугольники равны по первому критерию равенства треугольников:
Высота равнобедренного треугольника. Доказательство. Шаг 3
Шаг 4
Значит треугольники равны, значит:
∠ABK = ∠KBC, так как в конгруэнтных треугольниках противоположные конгруэнтные стороны (AK=KS) имеют конгруэнтные углы.
Поскольку ∠ABK = ∠KBC, то VC — биссектриса угла B.
АК = КС, так как в равносторонних треугольниках катеты соответственно равны.
Следовательно, VC является медианой.
Мы доказали, что в равнобедренном треугольнике высота, приходящаяся на основание, является биссектрисой и медианой.
Высота равнобедренного треугольника. Доказательство. Шаг 4
Основные признаки
- Для успешного решения задач следует запомнить основные особенности равнобедренных треугольников. Они кажутся противоположными теоремам.
- Если при решении задачи обнаружено равенство двух углов, вы имеете дело с равнобедренным треугольником.
- Если вам удалось доказать, что медиана является также и высотой треугольника, смело делайте вывод, что треугольник равнобедренный.
- Если биссектриса также является высотой, то треугольник по основным признакам классифицируется как равнобедренный.
- И конечно, если в качестве высоты выступает еще и медиана, то такой треугольник равнобедренный.
Формула высоты 1
Однако для большинства задач требуется найти арифметическое значение высоты. Поэтому рассмотрим, как найти высоту равнобедренного треугольника.
Вернемся к представленной выше фигуре АВС, где а — стороны, b — основание. VD — высота этого треугольника, она имеет обозначение h.
Что такое треугольник ABD? Так как VD — высота, то треугольник ABD — прямоугольный, необходимо найти катеты. По формуле Пифагора получаем:
АВ² = AD² + VD²
Определив VD из выражения и подставив ранее принятые обозначения, получим:
Н² = а² — (б/2)².
Извлеките корень:
H = √a² — v²/4.
Если вычесть под корнем ¼, то формула будет выглядеть так:
H = ½ √4a² — дюйм².
Это высота равнобедренного треугольника. Формула следует из теоремы Пифагора. Даже если вы забудете эту символическую запись, вы всегда сможете получить ее, если узнаете, как ее найти.
Формула высоты 2
Описанная выше формула является наиболее важной и чаще всего используется для решения большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии вместо основания дается значение угла. Как найти высоту равнобедренного треугольника с такими данными? Для решения таких задач целесообразно использовать другую формулу:
Н = а/sin α,
где H – высота, направленная к основанию,
одна сторона
α — угол у основания.
Если в задаче задано значение угла при вершине, то высота равнобедренного треугольника находится следующим образом:
Н = а/cos(β/2),
где Н — высота, опущенная до основания,,
β – угол вершины,
а — страница.
Прямоугольный равнобедренный треугольник
Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Как и в предыдущих случаях, VD — это высота, направленная к основанию.
Углы основания равны. Их нетрудно вычислить:
α = (180 — 90)/2.
Таким образом, углы при основании всегда равны 45 градусам. Теперь рассмотрим треугольник ADV. Он тоже прямоугольный. Найдем угол ABD. Путем нехитрых вычислений получаем 45 градусов. И поэтому этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны AD и VD являются боковыми сторонами и равны между собой.
Но сторона AD также является половиной стороны AC. Получается, что высота равнобедренного треугольника равна половине основания, и если это записать в виде формулы, то получится следующее выражение:
Н = i/2.
Не следует забывать, что эта формула является исключительным частным случаем и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.
Золотые треугольники
Золотой треугольник очень интересен. На этом рисунке отношение стороны к основанию равно величине, называемой числом Фидия. Угол вверху 36 градусов, внизу — 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы Золотого треугольника лежат в основе многих бессмертных шедевров. Знаменитая пятиконечная звезда построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция Джоконды основана именно на фигурах, образующих правильный звездный пятиугольник.
Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, бросается в глаза равнобедренными треугольниками.
Пример задачи
Задание 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а сторона 12 см. Найдите длину его высоты, опущенной к основанию.
Решение
Давайте воспользуемся первой формулой, представленной в свойстве 3:
Задача 2
Найдите высоту, проведенную к стороне равнобедренного треугольника, длина которого 13 см. Основание фигуры 10 см.
Решение
Сначала вычисляем полупериметр треугольника:
Теперь используйте правильную формулу, чтобы найти высоту (представленную в свойстве 3):
Если известны длина стороны а и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если длина стороны равна a = , а угол α =?
Ответ: ч = 0
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если известны длина стороны а и угол α?
Формула
ч = а⋅sinα
Пример
Если сторона a = 5 см и ∠α = 45°, то:
h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см
Если известны длина стороны а и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если длина стороны равна a = , а угол β =?
Ответ: ч = 0
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если известны длина стороны а и угол β?
Формула
ч = а⋅cosβ/2
Пример
Если сторона a = 5 см и ∠β = 30°, то:
h = 5⋅cos30/2 ≈ 4,83 см
Если известны длина стороны b и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если длина основания равна b =, а угол α =?
Ответ: ч = 0
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если известны длина стороны b и угол α?
Формула
ч = b/2⋅tg
Пример
Если сторона b = 20 см и ∠α = 35°, то:
h = 20/2⋅tg 35 = 10⋅0,7 = 7 см
Если известны длина стороны b и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если длина основания равна b =, а угол β =?
Ответ: ч = 0
Чему равна высота h равнобедренного треугольника, если известны длина стороны b и угол β?
Формула
h = b/2⋅ctgβ/2
Пример
Если сторона b = 15 см и ∠β = 40°, то:
h = 15/2⋅ctg40/2 = 7,5⋅2,7474 ≈ 20,6 см