- Понятие логики
- Виды выражений
- Основные операции
- Порядок обработки
- Таблицы и операции
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Инверсия
- Импликация
- Эквивалентность
- Исключение
- Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)
- Законы алгебры логики
- Чтобы лучше понять тему
- Приоритет логических операций
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма
- Построение таблиц истинности для логических выражений
- Свойства логических операций
Понятие логики
Логические утверждения — это не просто фраза. Логика — это целая наука. Исследование помогает рассуждать правильно и здраво. Благодаря этому физическое или юридическое лицо сможет делать грамотные выводы на основе рассуждений.
При рассмотрении той или иной проблемы человек будет строить гипотезы на основе логических выводов. В конце 19 века математики смогли перевести процесс понимания в понятную форму – математически. Такие логические «высказывания» стали называть символическими.
Все современные устройства основаны на логических операциях. За счет них происходит обработка и инициирование тех или иных манипуляций.
Виды выражений
С помощью логических операций можно строить теории, а также решать сложные задачи, итогом которых будет справедливый результат. Стоит помнить, что необходимо очень тщательно проследить существующие связи для анализа. А также — учитывать заданные условия, привязанные к задаче.
Логические выражения могут быть:
- простой;
- сложный.
В первом случае результатом обработки данной операции является только «истина» или «ложь». Во втором случае получаются либо только истинные операции, либо исключительно ложные.
Процедуры получения сложного выражения из нескольких простых имеют специфическое название. А именно формулы логического характера.
Основные операции
Математика, информатика, программирование и другие науки немыслимы без анализа, помимо построения теорий по заданным вопросам. Логическое мышление здесь незаменимо. Соответствующий момент активно используется в приложениях — не только сложных, но и элементарных.
Чтобы понять, как работает логическая цепочка в калькуляторах истины, стоит запомнить ключевые операции над логическими выражениями. Их несколько:
- преобразование;
- дизъюнкция;
- соединение;
- строгая дизъюнкция;
- импликация;
- эквивалентность.
В программировании также следует обратить внимание на обозначения исключающего или. Это операция XOR.
Порядок обработки
При изучении логической формулы заданных предложений стоит помнить о порядке (очередности) операций обработки в сложном выражении. Манипуляции проводятся следующим образом:
- инверсия (логическое отрицание);
- конъюнкция (логическое умножение);
- дизъюнкция (логическое сложение);
- импликация;
- эквивалентность.
Для изменения предписанного порядка обработки данных необходимо использовать скобки в логических выражениях.
Таблицы и операции
Вы можете построить таблицу истинности без онлайн-калькуляторов. Для этого достаточно запомнить, как работает каждая из вышеперечисленных операций. У математиков с этим проблем нет — они хорошо запоминают предложенную ниже информацию.
Читайте также: Свойства медианы в равнобедренном треугольнике abc: проведенной к основанию, боковым сторонам
Конъюнкция
Это называется «логическое И» или «умножение». Часто встречается в программировании. В языке «создание контента» имеет особое обозначение. Примеры записей:
- <li>И; <li>И;
- &;
- &&.
Выражение логического характера в союзе истинно только тогда, когда оба простых предложения также истинны. Если хотя бы одно из них ложно, вся операция будет ложной.
Выше приведена таблица истинности операции конъюнкции.
Дизъюнкция
Является дополнительным. У этого логического выражения есть и другое название — «логическое ИЛИ». Это также довольно часто встречается в программировании.
Он может принимать следующие формы:
- <li>||;
- ИЛИ;
- ИЛИ;
- |.
Преобразование последовательности будет производиться по принципу: выражение истинно, если истинен хотя бы один из компонентов. False, когда оба элемента имеют значение FALSE.
Выше приведены примеры таблиц истинности, которые работают относительно дизъюнкции.
Инверсия
Следующее, о чем нужно знать, это инверсия. Это называется «отрицание» или «логическое НЕ».
Обозначения в программировании:
- НЕТ;
<li>!;
- НЕТ.
Логическое выражение в отрицании имеет следующие функции:
- Когда ввод истинен, результат ложен.
- Если операция ложна, ее отрицание будет истинным».
- Соответствующую манипуляцию можно рассматривать как интерпретацию «Неправда, что…»
Такая таблица истинности может быть построена относительно инверсии.
Импликация
При любом логическом выводе стоит опираться на предложенные примеры и таблицы. Отсюда следует вывод.
В заданном логическом выражении результат всегда истинен. Исключением является случай, когда из правды вытекает ложь. Он соединяет два утверждения (а и б), где:
- А — условие, первый член;
- Б — следствие.
Если из А может следовать В, то операция в результате обработки вернет «истина».
Эквивалентность
Это то, что называется эквивалентностью. Новое утверждение истинно, когда оба простых выражения истинны.
Выше приведен пример вычисления формулы логики заданных утверждений с эквивалентностью.
Исключение
Онлайн-калькуляторы могут помочь построить график или указать, что правильно, а что неправильно, не задумываясь в задаче со стороны пользователя. Но программисты должны прописывать принципы работы и операции, выполняемые вручную. Для них чрезвычайно важны функции алгебры логики и информатики.
Ранее был рассмотрен порядок выполнения логических операций. Осталось понять, как работает исключение.
Согласно установленным правилам, операция будет истинной, когда среди значений переменных А и В будет одна истина. Если обе истинны, упомянутый принцип не будет работать.
Исключающее ИЛИ — это преобразование, называемое сложением по модулю два».
Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)
Используемые обозначения: A XOR B, A ⊕ B.
Таблица истинности:
ОДИН | Б | А⊕В |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Результат операции эквивалентности истинен только в том случае, если и А, и В оба истинны или оба ложны.
Законы алгебры логики
Формулы логики высказываний не так уж сложно запомнить. Но изучение соответствующих законов не всегда является оправданным шагом. Для выполнения операций достаточно запомнить алгебру, а также преобразование выражений.
Выше приведены примеры логических операций, упрощенных для запоминания человеком.
Чтобы лучше понять тему
Создано и размещено в сети множество калькуляторов, с помощью которых можно судить об истинности утверждений. Но хороший программист должен уметь делать правильные расчеты самостоятельно. Операцией логического характера не является выражение, результатом которого не является:
- понимание смысла;
- изменение содержания или объема;
- формирование новых понятий.
Логическое выражение в программировании обычно предполагает работу с операторами:
- Исключающее ИЛИ;
- ЕСЛИ;
- Если еще.
А для лучшего понимания соответствующей темы рекомендуется проходить онлайн-курсы заочно. Они помогут вам быстро разобраться в особенностях программирования, кодирования и выбранных языков. На экзамене студенту выдается сертификат с указанием знаний по выбранному направлению. Так что упомянутые ранее логические выражения и операции не вызовут никаких проблем даже у начинающего разработчика.
Приоритет логических операций
- Действия в скобках
- Инверсия
- Соединение (&)
- Дизъюнкция (V), исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
- Значение (→)
- Эквивалентность (↔)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) – это соответствующая ей формула, представляющая собой дизъюнкт элементарных конъюнкций со следующими свойствами:
- Каждый логический член в формуле содержит все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn).
- Все логические термины в формуле различны.
- Никакой логический термин не содержит переменной и ее отрицания.
- Ни один логический термин в формуле не содержит одну и ту же переменную дважды.
SDNF можно получить либо с помощью таблиц истинности, либо с помощью соответствующих преобразований.
Для каждой функции SDNF и SKNF однозначно определены с точностью до перестановки.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) – это соответствующая ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющую следующим свойствам:
- Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn).
- Все элементарные дизъюнкции различны.
- Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
- Никакая элементарная дизъюнкция не содержит переменной и ее отрицания.
Построение таблиц истинности для логических выражений
Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение для всех наборов значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности необходимо:
- count n — количество переменных в выражении;
- подсчитать общее количество логических операций в выражении;
- установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
- определить количество столбцов в таблице: количество переменных + количество операций;
- заполнить шапку таблицы, включая в нее переменные и операции в соответствии с последовательностью, предусмотренной пунктом 3;
- определить количество строк в таблице (без учета заголовка): m = 2n;
- вывести набор входных переменных с учетом того, что они представляют собой целый ряд n-битных двоичных чисел от 0 до 2n — 1;
- заполните таблицу по столбцам, выполните логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
Построим таблицу истинности логического выражения A ? A & B. В нем две переменные, две операции, и сначала выполняется конъюнкция, затем дизъюнкция. В таблице будет четыре столбца:
Наборы входных переменных представляют собой целые числа от 0 до 3, представленные двузначным двоичным кодом: 00, 01, 10, 11.
Заполненная таблица истинности выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпадает со столбцом A. В этом случае логическое выражение A ? A & B эквивалентны булевой переменной A.
Свойства логических операций
Рассмотрим основные свойства логических операций, называемые также законами алгебры логики.
- Коммутативный (коммутативный) закон:
- для логического умножения:
А и С = В и А;
- для логического дополнения:
ОДИН? Б = Б? ОДИН.
- Ассоциативный (ассоциативный) закон:
- для логического умножения:
(А и В) и С = А и (В и С);
- для логического дополнения:
(А? В)? С=А? (ДО Н.Э).
При одном и том же знаке операций скобки можно ставить произвольно или даже опускать.
- Распределительный закон:
- для логического умножения:
А и (В — С) = (А и В)? (Кондиционер и кондиционер);
- для логического дополнения:
ОДИН? (В и С) = (А? В) и (А в С).
- Закон двойного отрицания:
Двойное отрицание исключает отрицание.
- Закон исключенного третьего:
- для логического умножения:
- для логического дополнения
Из двух противоречивых утверждений на один и тот же предмет одно всегда верно, а второе ложно, третье не дано.
- Закон повторения:
- для логического умножения:
А и А = А;
- для логического дополнения:
ОДИН? А = А.
- Законы действий с 0 и 1:
- для логического умножения:
А & 0 = 0; А и 1=А;
- для логического дополнения:
ОДИН? 0=А; ОДИН? 1 = 1.
- Законы общей инверсии:
- для логического умножения:
- для логического дополнения:
Законы алгебры логики можно доказать с помощью таблиц истинности.
Докажем распределительный закон логического сложения:
- ОДИН? (В и С) = (А — В) и (А — С).
Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона логического сложения.
Пример 2. Найти значение логического выражения
для числа Х = 0.
Решение. При X = 0 мы получаем следующее логическое выражение:
Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, и подставив их значения в логическое выражение, получим: