Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем перейти к таблице расчета производной, давайте определим производную. В учебнике это выглядит так:
| Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. |
Простыми словами, производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция изменяется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Поясним на примере: допустим, Маша решила утром сделать зарядку и постоять у стойки. Первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, а со второй недели могла стоять в планке каждый день на 3 секунды дольше. Успех Маши можно описать следующими графиками:
очевидно, что в первую неделю результаты Маши не изменились (т.е были постоянными), темп роста остался нулевым. Если мы посмотрим на таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
у = 10
у’ = 0
На второй неделе время планки с 10 секунд стало увеличиваться на 3 секунды ежедневно.
у = 10 + 3x
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от x равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x)) ‘=f'(x)+g'(x).
у = 10 + 3x
у’ = 0 + 3
у’ = 3
Вот так, используя таблицу производных и элементарную математику, мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 секунды в день.
Это был очень простой пример, объясняющий основы дифференциального исчисления в общих чертах и помогающий понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но понять решение задач, где скорость изменяется нелинейно, конечно, не так просто.
Читайте также: Предел функции: основные понятия и определения
Правила вычисления производных
Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательства, так как доказательство выходит за рамки школьного курса математики.
Правило 1 (производная произведения числа и функции) справедливое равенство
(ср(х))’ = ср'(х) ,
где с — любое число.
Другими словами, производная произведения числа и функции равна произведению этого числа и производной функции.
Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле
(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x),
то есть производная суммы функций равна сумме производных этих функций.
Правило 3 (производная функциональной разницы). Производная разности функций вычисляется по формуле
(f (x) — g (x))’ = f’ (x) — g’ (x),
то есть производная разности функций равна разности производных этих функций.
Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
(f(x)g(x))’ =
=f'(x)g(x) + f(x)g'(x),
Другими словами, производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.
Правило 5 (производная от частного двух функций). Производная дроби (частное двух функций) вычисляется по формуле
Определение. Рассмотрим функции f(x) и g(x) . Сложная функция или «функция из функции» — это функция вида
е (г (х))
В этом случае функция f(x) называется внешней функцией, а функция g(x) внутренней функцией.
Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле
f(g(x))’ = f'(g(x)) g'(x)
Другими словами, чтобы найти производную комплексной функции f(g(x)) в точке x, надо умножить производную внешней функции, вычисленной в точке g(x), на производную внутренней функции , рассчитанный в точке x .
Производная степенной функции
Обратимся к степенной функции и формуле ее производной, которая имеет вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель p — любое действительное число.
Доказательство 2
Вот доказательство формулы, когда показатель степени — натуральное число: p=1, 2, 3, …
Мы снова опираемся на определение производной. Запишем предел отношения возрастания степенной функции к возрастанию аргумента:
(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x
Для упрощения выражения в числителе воспользуемся биномиальной формулой Ньютона:
(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp-2 (∆x)2+…++Cpp-1 x (∆x)p-1+Cpp (∆ x)p-xp==Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp-2 (∆x)2+…+Cpp-1 x (∆x)p -1+Cpp (∆x)p
Таким образом:
(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1 xp-1 ∆x+Cp2 xp- 2 (∆x)2+…+Cpp-1 x (∆x)p-1+Cpp (∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1 xp -1+Cp2 xp-2 ∆ x+…+Cpp-1 x (∆x)p-2+Cpp (∆x)p-1)==Cp1 xp-1+0+0 +…+0=p!1!(p- 1)!xp-1=pxp-1
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени — натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, мы используем логарифмическую производную (здесь мы должны понимать отличие от производной логарифмической функции). Для более полного понимания желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно рассмотреть производную неявно заданной функции и производную комплексной функции.
Рассмотрим два случая: когда х положительный и когда х отрицательный.
Итак, х>0. Тогда: хр>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и используем свойство логарифма:
y=xpln y=ln xpln y=p ln x
На этом этапе достигается неявно определенная функция. Определим его производную:
(ln y)’=(p ln x)1y y’=p 1x⇒y’=p yx=p xpx=p xp-1
Теперь рассмотрим случай, когда x — отрицательное число.
Если показатель степени p является четным числом, степенная функция также определена для x<0 и является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p (-x)p-1 (- х)’ ==р (-х)р-1=р хр-1
Тогда xp<0 и можно провести доказательство с помощью логарифмической производной.
Если p — нечетное число, степенная функция также определена для x<0 и является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, что означает, что нельзя использовать логарифмическую производную. В такой ситуации можно начать с доказательства правила дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции:
y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p (-x)p-1 (-x)’==p (-x) p-1 =р хр-1
Последний переход возможен благодаря тому, что если p нечетно, то p-1 либо четно, либо равно нулю (при p=1), поэтому при отрицательных x выполняется равенство (-x)p-1 = xp- 1 верно.
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции для любого действительного p.
Пример 2
Предоставляемые функции:
f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712
Определите их производные.
Решение
Преобразуем часть заданных функций в табличный вид y=xp, исходя из свойств степени, а затем воспользуемся формулой:
f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23x-23-1=-23x-53f2′(x)=x2-14=2-14×2-14-1=2- 14 x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712 x-log712-1=-log712 x-log712-log77=-log712 x-log784
Формула производной степенной функции
Для функции f(x) = xn, где n — действительное число, верно следующее выражение:
f'(x)=(xn)’=nxn-1
Производная степенной функции равна произведению показателя степени на основание степени, уменьшенному на единицу.
n — может быть как положительным, так и отрицательным числом (включая дроби):
Производная сложной степенной функции
В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:
(yn)’ = новый n-1 ⋅ y ‘
Примеры задач
упражнение 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x3/5.
Решение:
По правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:
Используя формулу производной, рассмотренную выше, получаем:
Задача 2:
Найдите производную функции f(x) = x2 + √x – 6.
Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f ‘(x) = (x2 + √x – 6)‘.
С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f ‘(x) = (x2)’ + (√x)’ – (6)‘.
Остается только вычислить производные по отдельности:
(x2)’ = 2×2-1 = 2x
(-6)’ = 0 (производная константы равна нулю)
Таким образом мы получаем:
