Таблица степеней

Основные понятия

Степень числа с натуральным показателем является результатом умножения числа само на себя. Само число называется основанием степени, а количество операций умножения – показателем степени.

• an = a × a × … × a, где a — основание степени,
• n — натуральный показатель.

Запись читается как «а» в степени «n».

Вот пример для ясности:

• 35 = 3 х 3 х 3 х 3 х 3 = 243

Эту запись можно прочитать тремя способами:

• от 3 до 5 мощности;
• пятая степень трех;
• возведите число три в пятую степень.

Читайте также: Теорема Чевы)

Свойства степеней

Текущие свойства часто используются для сокращения или упрощения сложных примеров. Удобно использовать вместе с таблицей мощности и таблицей умножения.

а1 = а а0 = 1 (а ≠ 0) а-п = 1 : ан ам × ан = ам+п am : an = am-n (а × b)n = ан × bn (ам) п = ам × п (a : b)n = an : миллиард

Таблицы натуральных чисел в степенях

Вычислить число в степень «вручную» можно только для малых значений (например: 23=2*2*2=8). Но когда речь идет о больших числах (например: 693), будет сложно найти значение определенного числа, умножая его само на себя указанное количество раз. Для упрощения расчетов представлено множество различных таблиц степеней, которые уже дают готовые ответы на такое «умножение». Количество вариантов таких конструкций практически не ограничено. Сегодня мы постараемся разобрать самые популярные и удобные варианты.

Таблица степеней от 1 до 10

Power table — это список чисел от 1 до 10, возведенных в степень от 1 до 10. Ниже приведены два типа таблиц: выберите ту, которая лучше всего подходит для вас, загрузите ее на свой телефон или распечатайте и положите в свою учебник.

Вот как найти нужные значения в этой таблице:

• В первом столбце находим число, обозначающее степень. Давайте запомним этот номер строки.
• В первой строке находим показатель степени. Давайте вспомним найденный столбец.
• На пересечении строки и столбца находится ответ.

В этой табличке мы просто ищем нужную нам цифру в степени и получаем ответ.

А если вам нужен ответ как можно быстрее, вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором градусов.

Таблица степеней от 2 до 20

Xn	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000
11	121	1 331	14 641	161 051	1 771 561	19 487 171	214 358 881	2 357 947 691	25 937 424 601
12	144	1728	20 736	248 832	2 985 984	35 831 808	429 981 696	5 159 780 352	61 917 364 224
1. 3	169	2197	28 561	371 293	4 826 809	62 748 517	815 730 721	10 604 499 373	137 858 491 849
14	196	2744	38 416	537 824	7 529 536	105 413 504	1 475 789 056	20 661 046 784	289 254 654 976
15	225	3375	50 625	759 375	11 390 625	170 859 375	2 562 890 625	38 443 359 375	576 650 390 625
16	256	4096	65 536	1 048 576	16 777 216	268 435 456	4 294 967 296	68 719 476 736	1 099 511 627 776
17	289	4913	83 521	1 419 857	24 137 569	410 338 673	6 975 757 441	118 587 876 497	2015 993 900 449
18	324	5832	104 976	1 889 568	34 012 224	612 220 032	11 019 960 576	198 359 290 368	3 570 467 226 624
19	361	6859	130 321	2 476 099	47 045 881	893 871 739	16 983 563 041	322 687 697 779	6 131 066 257 801
20	400	8000	160 000	3 200 000	64 000 000	1 280 000 000	25 600 000 000	512 000 000 000	10 240 000 000 000

Таблица степеней по алгебре: числа в квадрате

Невозможно нарисовать абсолютно каждое число и найти его значение во всех степенях. В сложных примерах рекомендуется использовать онлайн-калькуляторы. Мы имеем дело с самыми примитивными и распространенными случаями. В основном в гимназии (до 11 класса) примеры с умножением оцениваются незначительное количество раз. Часто используется квадрат (a2). Мы уже возводили к нему некоторые числа (от 1 до 25). Большие числа можно найти здесь:

*Примеры выделены синим цветом для лучшего понимания.

Ярусы слева, а юниты сверху. То есть, чтобы возвести в квадрат число 24, ищем пересечение его десятки и единицы (2 – десять, 4 – единица). Получаем показатель 576. Таким образом, данную таблицу степеней натуральных чисел можно использовать для возведения в квадрат чисел до 99.

Пример 3. Возведение в квадрат больших значений.

Задача. Найдите 632.

Решение. В числе «63» 6 десятков и 3 единицы. У нас десятки слева, а единицы в верхней строке. Ищем искомые значения в таблице степеней по алгебре и находим число на их пересечении.

Отвечать. 3969.

Таблица степеней чисел до 100 в кубе

Часто в примерах необходимо возвести в куб двузначное число. Легче это будет сделать с помощью следующей таблицы:

*Примеры выделены синим цветом для лучшего понимания.

Пример 4. Работаем с таблицей натуральных степеней чисел в кубе.

Задача. Найдите 453.

Решение. Делим число на десятки и единицы. Находим 4 десятка (левый столбец) и 5 ​​единиц (верхняя полоса) и ищем значение их пересечения.

Отвечать. 157464.

Пример 5. Рассчитываем квадрат по таблице.

Задача. Найдите 403.

Решение. Есть два способа найти значение. Первый — руководствуясь таблицей. 4 — десятки, 0 — единицы. Ищем пересечение этих чисел. В результате получается 6400. Второй способ: бросаем 4 и добавляем два нуля (потому что 10 кубиков = 100). 43=64. Прибавляем «00» и получаем идентичный ответ: 6400.

Отвечать. 6400.

Таблицы степени по математике просты в использовании. Но только если речь идет о небольших количествах. Для длинных примеров, состоящих из многих чисел в степенях, можно использовать онлайн-калькуляторы. Это позволит избежать ошибок, которые могут быть вызваны просмотром неправильной ячейки.

Решение задач

Упражнение 1. Упростите и решите выражение 52 × 53.

Как мы решаем:

52 × 53 = 52+3 = 55 = 3125

Упражнение 2. Упростите и решите выражение 24 × 33 × 25.

Как мы решаем:

24 х 33 х 25 = 24+5 х 33 = 29 х 33 = 512 х 27 = 13824

Упражнение 3. Найдите 364.

Как мы решаем:

Предполагая, что у нас есть таблица только до 10, мы учитываем основу степени:

364 = 64 х 64 = 1296 х 1296 = 1679616

364 = 64 × 64 = 68 = 1679616

Степень с отрицательным показателем

Что делать с отрицательной степенью, то есть когда показатель отрицательный?

На основании свойств 4 и 5 (см раздел выше) получается:

A(-n) = 1/An, 5(-2) = 1/52 = 1/25.

И наоборот:

1/A(-n) = An, 1/2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(А/В)(-n) = (В/А)n, (3/5)(-2) = (5/3)2 = 25/9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимается степень с показателями, равными целым числам.

То, что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3150 = 1, (-4)0 = 1 . и так далее

A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 и так далее

Также, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2. то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетное, то наоборот.

Им свойственны и общие свойства, и все описанные выше частные свойства.

Дробная степень

Это представление можно записать в виде: Am/n. Читается как: корень энной степени числа А им сила.

С индикатором дробей можно делать что угодно: уменьшать, разлагать на части, возводить в другую степень и так далее

Степень с иррациональным показателем

Пусть α — иррациональное число и А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Так как это аксиома — 1 равно единице во всех степенях,
• А˃1.

Ar1 ˂ Aα ˂ Ar2, r1 ˂ r2 — рациональные числа,

• 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором абзаце.

Показатель степени — это, например, число π. Это рационально.

r1 равно 3 в этом случае,

r2 будет равно 4.

Итак, для A = 1 1π = 1.

A = 2, тогда 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

A = 1/2, тогда (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Такие степени характеризуются всеми описанными выше математическими операциями и специфическими свойствами.