Таблицы сложения и вычитания до 20

Как связаны сложение и вычитание

Сложение и вычитание тесно связаны. Вычитание противоположно сложению. Чтобы понять эту информацию, рассмотрим подробный пример.

Представим, что в результате сложения элементов c и b мы получаем элемент a.Исходя из основ сложения натуральных чисел, можно сделать вывод, что c+b=a. Если мы воспользуемся коммутативным свойством сложения, мы можем преобразовать полученное равенство как b+c=a. Делаем вывод, что если из a вычесть b, то останется c. Это равенство a−b=c будет считаться верным. Аналогично, мы получаем его, вычитая число c из a, так что остается b, то есть a−c=b.

Благодаря примеру, который мы рассмотрели выше, можно сделать вывод, что если сумма чисел с и b равна а, то число с есть разность между натуральными числами с и b, а число b есть разность между числа a и c. Это будет означать c=a−b и b=a−c, если c+b=a.

Преобразуем это утверждение и получим важное правило.

Определение 1

Если сумма двух чисел c и b равна a, то разность a−c равна b, а разность a−b равна c.

Теперь мы можем ясно видеть, что сложение и вычитание неразрывно связаны. Исходя из этого факта, мы можем вывести понятие.

Определение 2

Вычитание — это операция, в которой одно слагаемое находится, когда известна сумма и другое слагаемое.

Это определение часто используется в различных примерах и упражнениях.

Таблицы сложения и вычитания в пределах 20

Таблица сложения и вычитания однозначных чисел

Как пользоваться таблицей вычитания

Теперь давайте разберемся, как читать таблицы вычитания, как описано ниже.

Чтобы прочитать схему таблицы вычитания, возьмем пример 11 — 9. Идем вниз по строке номер 9 и через столбец номер 11. На этом пересечении соответствующая запись в таблице вычитания показывает результат 2.

Обратите внимание, что для 9 — 11 операция выполняется с точностью до наоборот. Идем вниз по строке до 11 и вниз по столбцу до 9, соответствующая запись в таблице таблицы вычитания равна 2.

Поэтому делаем вывод, что разницу между двумя числами можно легко найти, просто наблюдая за пересечением соответствующих строк и столбцов вычитаемого и уменьшаемого соответственно.

Читайте также: Таблица степеней

Свойства вычитания натуральных чисел.

• Вычитание как процесс НЕ обладает коммутативным свойством: a−b≠b−a.
• Разница между одинаковыми числами равна нулю: a−a=0.
• Вычтите из целого числа сумму двух целых чисел: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Вычтите число из суммы двух чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
• Распределительное свойство умножения по отношению к вычитанию: a (b−c)=ab−ac и (a−b) c=ac−b c.
• И все остальные свойства вычитания целых чисел (натуральных чисел).

Свойство вычитания двух равных натуральных чисел.

Разность двух одинаковых натуральных чисел равна нулю.

а-а=0,

где а — любое натуральное число.

Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

Из описанного выше свойства видно, что для 2-х одинаковых натуральных чисел работает коммутативное свойство вычитания. Во всех остальных случаях (если уменьшаемое ≠ вычитаемое) вычитание натуральных чисел не обладает коммутативным свойством. Или, другими словами, уменьшаемое и вычитаемое не меняются местами.

Когда уменьшаемое больше вычитаемого и мы решаем поменять их местами, мы вычтем натуральное число, которое меньше, из натурального числа, которое больше. Эта система не соответствует сути вычитания натуральных чисел.

Если a и b — разные натуральные числа, то a−b≠b−a. Например, 45−21≠21−45.

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Для вычитания указанного натурального числа искомая сумма 2-х натуральных чисел одинакова, если из указанного натурального числа вычесть первый член искомой суммы, то из вычисленной разницы вычесть второй член.

Это можно выразить буквами так:

а-(б+с)=(а-б)-с,

где a, b и c — натуральные числа, должны выполняться условия a>b+c или a=b+c.

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

вычитание натурального числа из суммы двух чисел равносильно вычитанию числа из одного из слагаемых, а затем добавлению разности и другого слагаемого. Вычитаемое число не может быть больше члена, из которого это число вычитается.

Пусть a, b и c — натуральные числа. Таким образом, если a больше или равно c, то (a+b)−c=(a−c)+b будет истинным, а если b больше или равно c, то: (a+b)− с= а+(бс). Когда и a, и b больше или равны c, применяются оба последних равенства, и их можно записать следующим образом:

(а+b)-с=(а-с)+b= а+(b-с).

Вычитание единиц из десятков, сотен, тысяч

Из числа 10 возможно любое число от 1 до 9. Воспользуемся представленной выше таблицей. Но что делать в других случаях? Необходимо представить приведенное как сумму двух слагаемых, одно из которых равно 10, а затем вычесть его из суммы. Закрепим наши знания материала на примере:

Пример 10

Вычтите 5 из 60.

Число 60 представляется в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 10. Другое число находится путем вычитания числа 10 из 60. Так как 60−10=50, то 60=50+10. Заменим 60 на сумму 50+10 и получим 60−5=(50+10)−5. Получаем, что: (50+10)−5=50+(10−5)=50+5=55.

Рассмотрев вычитание единиц из десятков, перейдем к вычитанию единиц из сотен.

Чтобы вычесть из 100 число от 1 до 10, нужно представить 100 как 90 + 1090 + 10 и прибегнуть к правилу.

Пример 11

Необходимо найти разницу 100−7.

Представим 100 как 90+10 и выполним: 100−7=(90+10)−7=90+(10−7)=90+3=93. Усложним пример. Вычтем из числа 500 число 3. Представим 500 в виде суммы. Второй член = 500−100, то есть 400. У нас 500=400+100. 100=90+10, 500=400+90+10.

Таким образом, 500−3=(400+90+10)−3.

Завершим математику: (400+90+10)−3=400+90+(10−3)=400+90+7=497.

Перейдем к вычитанию единиц из тысяч.

Пример 12

Необходимо вычислить разницу 1000−8.

Так как 1000=900+100 и 100=90+10, то 1000=900+90+10.

Тогда 1000−8=(900+90+10)−8=900+90+(10−8)=900+90+2=992.

Пример 13

Из 7000 нужно вычесть единицу.

запишем 7000 как 7000=6000+1000=6000+900+100=6000+900+90+10.

Мы заключаем:
7000−1=(6000+900+90+10)−1=6000+900+90+(10−1)=6000+900+90+9=6999.

Используя этот пример, мы можем вычитать любое число, в том числе тысячные и десятитысячные.

Пример 14

Необходимо вычислить разницу 100 000−4.

Потому что
100 000=90 000+10 000=90 000+9 000+1 000==90 000+9 000+900+100=90 000+9 000+900+90+10
что
100 000−4 = (90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) −4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 4) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996.

Пример 15

Нужно от 4 000 000 отнять число 5.

Потому что
4 000 000 = 3 000 000,000+1 000 000 = 3 000 000+900 000+100 000 == 3 000 000+900 000+90 000+10 000 = 3 000 000+900 000+90 000+9 000+1000+1 000,00 000+90 000+900+900+100 == 3 000+900 000+90 000++90 000+900+100 == 3000+900 000+90 000,000+90 000+900+100 = 9000+900+90+10
что
4 000 000−5= (3 000 000+900 000+90 000+9 000+900+90+10) 5) ==3 000 000+900 000+90 000+9 000+9003+9,9.

Вычитание единиц из произвольных чисел

Мы предполагаем, что приведенное можно представить в виде суммы битовых термов. Подобные случаи мы рассмотрели в предыдущих разделах.

Определение 3

Чтобы из такого числа вычесть однозначное число, необходимо разложить уменьшенное число на цифры, а затем вычесть число из суммы.

Придумайте типичные примеры, которые помогут вам усвоить материал.

Пример 16

Нужно определить разницу между числами 46 и 2.

Число 46 представляется как 40+6, тогда 46−2=(40+6)−2=40+(6−2)=40+4=44. Чтобы усложнить задачу, найдем разницу между 46 и 8. Имеем 46−8=(40+6)−8. Так как 8 больше 6, то: (40+6)−8=(40−8)+6. Рассчитаем 40−8 по примеру: 40−8=(30+10)−8=30+(10−8)=30+2=32. Тогда (40−8) +6=32+6=38. Теперь вычтите число 5 из 6047. Разверните 6047 и вычтите число из суммы: 6047−5= (6000+40+7)−5=6000+40+(7−5) =6000+40+2=6042

Давайте закрепим навыки на другом примере.

Пример 17

Нужно из числа 2503 вычесть цифру 8.

Разверните и получите: 2503−8= (2000+500+3)−8. Поскольку 8 больше 3, но меньше 500, то (2000+500+3)−8=2000+(500−8)+3. Вычислим разницу 500−8, для этого представим число 500 в виде суммы 400+100=400+90+10 (при необходимости вернемся к предыдущему разделу этой статьи) и проведем необходимые вычисления:
500−8=(400+90+10)−8=400+90+(10−8)=400+90+2=492. 2000+(500−8)+3=2000+492+3=2495.

Вычитание из произвольных натуральных чисел

Чтобы вычесть из числа десятки, сотни, необходимо представить уменьшенное в виде суммы и выполнить вычитание. Давайте проанализируем этот процесс на нескольких примерах.

Пример 18

Найдите разницу между 400 и 70.

Давайте расширим 400 как 300+100. Итак, 400−70=(300+100)−70. По свойству получаем: (300+100)−70=300+(100−70)=300+30=330. Мы также можем вычесть число 40 из числа 1000. Представьте, что 1000−40=(900+100)−40=900+(100−40)=900+60=960.

По правилу (7000+900+100)−10=7000+900+(100−10)=7000+900+90=7990.

Мы применяем это правило в подобных случаях.

Пример 19

Найдите 400 000–70.

400 000 расширяется как 300 000+90 000+9 000+900+100, затем
400 000−70=(300 000+90 000+9 000+900+100)−70=300 000+90 000+9 000++900+(100–70)=300 000+90 000+9=90 000+9=300 000+9

Давайте использовать аналогичные принципы для вычисления сотен, тысяч и других.

Пример 20

Найдем 5000–800.

Представим 5000 как 4000+1000. Тогда 5000−800=(4000+1000)−800. Используйте свойство: (4000+1000) −800=4000+ (1000−800). Поскольку одна тысяча – это десять сотен, то 1000−800=200. Итак, 4000+ (1000−800) = 4000+200=4200.

Это правило можно использовать для расчета. Помните, что это пригодится не раз.

Пример 21

Найдите разницу между 140 и 40.

Так как 140=100+40, то 140–40=(100+40)–40. Получаем: (100+40)−40=100+(40−40)=100+0=100(40−40)=0 по свойствам, а 100+0=100.

Найдите 140 — 60. У нас 140−60=(100+40)−60. Поскольку 60 больше 40, то: (100+40) −60=(100−60) +40=40+40=80.

Вычитание произвольных чисел

Рассмотрим правило, когда вычитаемое разлагается на цифры. После представления числа в виде суммы битов используется описанное выше свойство вычитания. Вычитание начинается с единиц, затем десятков, сотен и так далее.

Пример 22

Рассчитаем 45−32.

Разложим 32 на цифры: 32=30+2. У нас есть 45−32=45−(30+2). Представьте, как 45−(30+2)=45−(2+30). Теперь воспользуемся свойством вычитания суммы из числа: 45−(2+30) =(45−2)−30. Осталось вычислить 45−2, а затем вычесть число 30.

Изучив предыдущие правила, вы легко сможете это сделать.

Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43. Тогда (45−2)−30=43−30. Осталось представить приведенное в виде суммы битовых слагаемых и завершить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13

Все решение удобно записать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)=(45−2)−30=((40+5)−2)−30==(40+(5−2))−30=(40+3) −30=(40−30)+3=10+3=13

Немного усложним пример.

Вычтите 18 из 85.

Разложим число 18 на цифры, и получим 18 = 10 + 8. Поменяем местами члены: 10+8=8+10. Теперь мы вычтем полученную сумму битовых терминов из числа 85 и воспользуемся свойством вычесть сумму из числа: 85−18=85−(8+10) =(85−8)−10. Вычисляем разницу в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5=((70+10)−8)+5=(70+(10−8))+5=(70+2)+ 5=70+7=77

Тогда (85−8)−10=77−10=(70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример 23

Вычтите из числа 23555 число 715.

Поскольку 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700), то 23555-715=23555-(5+10+700). Вычтите сумму из числа следующим образом: 23555−(5+(10+700))=(23555−5)−(10+700).

Вычислить разницу в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5=20 000+3 000+500+50+(5−5)==20 000+3 000+500+50+0= 20 000+50,00+=23 550.

Тогда (23555−5)−(10+700)=23550−(10+700).

Еще раз обратимся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700.
(23 550−10)−700=23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700==20 000+(3 000−700)+500+40

Отнимите 700 от 3000 и: 3000-700=(2000+1000)-700=2000+(1000-700)=2000+300=2300, тогда 20000+(3000-700)+500,+00=500,+00 = +40=22 840.

Вычитание чисел на координатном луче

Рассмотрим, что такое вычитание с геометрической точки зрения. Мы используем координатный луч. Вычитание числа b из a на координатном луче происходит следующим образом: определяем точку, координата a.Откладываем в сторону точки O единичных отрезков в количестве, определяемом вычитаемым b.Так находим точку на координатном луче координата равна разности a−b. Другими словами, это движение влево от точки с координатой a на расстояние b, чтобы попасть в точку с координатой a−b.

Оцените вычитание на координатном луче, используя рисунок. Итак, мы приходим в точку с координатой 2, так что 6−4=2.

Вычитание отрицательных чисел — что означает

Определение

Отрицательное число — это действительное число, которое меньше нуля и имеет знак минус при записи.

Отрицательное число — это элемент множества, содержащего отрицательные числа. Появление этого понятия в математике связано с расширением множества натуральных чисел. С его помощью удалось классифицировать операцию вычитания как полноценную арифметическую операцию (как и сложение).

Если мы рассмотрим операции с натуральными числами, то увидим, что из большего можно вычесть только меньшее число. В этом случае закон коммутации для вычитания не применяется. Например, выражение 3 + 4 — 5 допустимо, но выражение, в котором операнды меняются местами, 3 — 5 + 4, недопустимо.

Путем добавления отрицательных чисел и нуля к множеству натуральных чисел операция вычитания была распространена на все пары натуральных чисел. Результатом является набор целых чисел. Как для рациональных, так и для действительных чисел соответствующие отрицательные значения получаются одинаково. Когда речь идет о комплексных числах, понятие отрицательного числа не применяется.

Важно отметить, что для любого натурального числа n существует единственное отрицательное число -n, с помощью которого n можно дополнить до нуля:

п+(-п)=0

Абсолютное значение некоторого числа а есть это число без знака. Обозначается следующим образом: а) Например: 4=4; -5=5; 0=0.

Операция вычитания некоторого числа а из другого числа b эквивалентна операции сложения b с числом, противоположным числу а:

ба=б+(-а)

Почти все алгебраические правила применимы как к множеству отрицательных чисел, так и к натуральным числам. Однако есть некоторые функции, связанные со свойствами отрицательных чисел:

1. Множество положительных чисел ограничено снизу, а множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При перемножении чисел с разными знаками получается отрицательное произведение. Если знаки умножаемых чисел одинаковы, произведение будет положительным.
3. Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, такое неравенство изменит свой знак на противоположный.
4. В том случае, когда деление производится с остатком, этот остаток в любом случае неотрицательен.

Основные правила, таблица

Правило

Вычитание отрицательных чисел осуществляется по правилу: чтобы вычесть из числа а число b, имеющее знак минус, нужно прибавить уменьшенное a и число -b, противоположное вычитаемому б. Формула:

а — б = а + (- б)

Это правило доказано. Пусть есть некоторые независимые числа a и b.Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно определить число c, которое при прибавлении к числу b даст прибавку к числу a:

с+б=а

а — б = с

Доказательство сводится к определению справедливости уравнения:

а + (- б) + б = а

В ходе доказательства целесообразно обратиться к свойствам операций над действительными числами. Письменное сравнение можно считать истинным по действию ассоциативного свойства сложения:

(а + (- б)) + б = а + ((- б) + б)

Исходя из того, что в сумму чисел с противоположными знаками прибавляют ноль, получаем:

а + ((− б) + б) = а + 0

Обратите внимание, что добавление числа к нулю не меняет такое число:

а + 0 = а

В результате доказывается равенство:

а — б = а + (-б)

Таким образом, доказано правило вычитания чисел, имеющих знак минус, то есть отрицательных. Это правило распространяется на все рациональные и целые числа a и b, поскольку эти числа характеризуются свойствами, использованными в ходе доказательства.

Вычитание отрицательного числа из отрицательного

вычитание отрицательного числа из другого отрицательного числа сводится к нахождению суммы чисел с разными знаками. Известно, что вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа с тем же модулем, что и отрицательное.

Предположим, вам нужно найти разницу между двумя отрицательными числами: -5 и -2. Используя ранее написанное свойство, представим операцию с отрицательными числами как сложение чисел с разными знаками:

-5 — (-2) = -5 + 2

Затем следует взять модули слагаемых, из большего вычесть меньшее. К полученному результату необходимо добавить знак слагаемого, имеющего наибольший модуль. В этом случае модуль больше числа -5. Таким образом:

-5 + 2 = -3

Вычитание положительного числа из отрицательного

Последовательность действий при вычитании положительного числа из отрицательного числа:

1. Определение численных моделей.
2. Сводка найденных модулей.
3. Добавьте знак минус к результату сложения.

В качестве примера рассмотрим вычитание 4 из -3. Прежде всего, следует определить числовые модули:

∣-3∣=3

∣4∣=4

Полученные модули следует обобщить:

3 + 4 = 7

Вам нужно добавить знак минус к конечному результату:

-3 — 4 = -7

Вычитание отрицательного числа из положительного

вычитание отрицательного числа из положительного включает сложение модулей этих чисел.

В качестве примера рассмотрим вычитание числа -3 из 11. Для этого складываем их модули и получаем ответ:

11 — (-3) = 14

Пример показывает, что вычитание отрицательного числа эквивалентно добавлению положительного числа, которое является обратной величиной отрицательного числа.

Проверка результата вычитания сложением

Проверка результата вычитания двух натуральных чисел основана на соотношении между вычитанием и сложением. Там мы обнаружили, что если c+b=a, то a−b=c и a−c=b. Если a−b=c, то c+b=a; если a−c=b, то b+c=a. Докажем справедливость этих сходств.

Пусть b откладывается от a, после чего остается c. Это действие соответствует равенству a−b=c. Возвращаем выставленные b на место, тогда получаем a. Тогда можно говорить о справедливости равенства c+b=a.

Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее проверять результат вычитания сложением: мы должны прибавить к полученной разности вычитаемое, и в результате должно получиться число, равное уменьшаемому. Если полученное число не равно уменьшаемому числу, значит, при вычитании была допущена ошибка.

Остается только проанализировать решения нескольких примеров, где результат вычитания проверяется сложением.

Пример 24

из 50 вычли 42 и получили 6. Правильно ли было выполнено вычитание?

Проверим результат вычитания. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: 6+42=48 (при необходимости изучите другие параграфы по этой теме). Так как мы получили число, не равное уменьшенным 50, можно утверждать, что вычитание было выполнено неправильно. Это была ошибка.

Пример 25

Необходимо определить разность 1 024−11 и проверить результат.

Вычислите разницу: 1024−11=1024−(1+10)=(1024−1)−10=1023−10=1013.

Теперь проверяем:

1013+11=(1000+10+3)+(10+1)==1000+10+10+3+1=1000+20+4=1024

У нас получилось число, равное уменьшаемому, следовательно, разница рассчитана правильно. 1024−11=1023.

Проверка результата вычитания вычитанием

Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только сложением, но и вычитанием. Для этого нужно вычесть найденную разность из приведенной. В результате должно получиться число, равное вычитаемому. В противном случае в расчетах была допущена ошибка.

Рассмотрим это правило подробнее. Это позволяет проверить результат вычитания чисел методом вычитания. Представим, что у нас есть фрукт, в том числе b яблок и c груш. Если мы отложим яблоки в сторону, у нас останется только c груш, и у нас будет a−b=c. Если мы отложим все груши, у нас останется только b яблок, причем a−c=b.

Пример 26

Число 343 было вычтено из числа 543, в результате чего получилось число 200.

Проверять.

Мы помним соотношение между вычитанием и сложением: 200+343=543. Вычтем из уменьшенных 543 разницу 200, получим 543−200=(500+43)−200=(500−200)+43=30+43=343.

Это число равно числу, которое нужно вычесть, вычитание выполнено правильно.

Примеры и задачи

Пример 1 Расчет:

1) 15 – 5 – 3;

2) 16 — 6 — 1;

3) 18 – 8 – 9.

Решение:

1) 15 — 5 — 3 = 10 — 3 = 7;

2) 16 — 6 — 1 = 10 — 1 = 9;

3) 18 — 8 — 9 = 10 — 9 = 1.

Пример 2 Расчет:

1) 11-7;

2) 17-9;

3) 14 — 5.

Решение:

1) 11 — 7 = 11 — 1 — 6 = 10 — 6 = 4;

2) 17 — 9 = 17 — 7 — 2 = 10 — 2 = 8;

3) 14 — 5 = 14 — 4 — 1 = 10 — 1 = 9.

Упражнение 1. У Маши было 16 рублей. Она купила карандаш за 7 рублей и конфету за 8 рублей. Сколько денег осталось у Маши?

Решение:

16 — 7 = 9 — количество рублей, оставшееся после покупки карандаша;

9 — 8 = 1 — количество рублей, оставшееся после покупки конфеты.

Ответ: 1 рубль.

Задача 2. В одной коробке было 13 конфет, а в другой — 9 конфет меньшего размера. Сколько конфет было в двух коробках?

Решение: Сначала найдите, сколько конфет во второй коробке:

13 — 9 = 4.

Теперь найдем общее количество конфет, прибавив количество конфет в первой коробке к количеству конфет во второй коробке:

13 + 4 = 17.

Ответ: 17 конфет.