Теорема безу: формула, следствия и примеры решений

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была неожиданно открыта Этьеном Безу, французским математиком, который в основном изучал алгебру. Теорему Безу можно сформулировать следующим образом:

Давай выясним. Р(х) — некоторый многочлен ix, (х — а) — бином, где а — один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки — это оператор, указывающий, что одно выражение делится на другое. Отсюда следует, что, найдя хотя бы один корень этого уравнения, мы можем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каков ее эффект? Теорема Безу — универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, с его помощью кубическое уравнение можно превратить в квадратное, биквадратное, кубическое и так далее

Но одно дело понять, а как поделиться? Конечно, можно разделить на столбик, но этот способ доступен не всем, и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть другой путь, это схема Горнера. Поясню работу на примере. Предполагать:

Таким образом, мы получаем многочлен, и мы, возможно, нашли один из корней заранее. Теперь рисуем небольшую таблицу с 6 столбцами и 2 строками, в каждый столбец первой строки (кроме первого) вносим коэффициенты уравнения. И в первый столбец строки 2 вписываем значение а (найден корень). Так что первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим. Рассчитываем значения следующих столбцов следующим образом:

Затем продолжаем таким же образом с остальными столбиками. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если вы получите число, отличное от 0, вам придется выбрать другой подход. Пример кубического уравнения:

Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток после деления многочлена P(x) на двучлен (xa) равен P(a).

Читайте также: Сумма ⭐ двух векторов: определение, правило, координаты

Суть открытия

Пусть имеется уравнение старшей степени вида P (x) = 0, где P (x) — многочлен, состоящий из a0xn + a1xn-1 +… + an-1x + an. На практике окажется, что все коэффициенты целые. Рассмотрим два многочлена: P(x) = x 3 + 3 x 2 -2 x +2 и Q (x) = x -1. Нам нужно найти остаток после деления P(x) на Q(x). Этот остаток должен быть числом, так как степень будет меньше той, на которую происходит деление.

Для решения примера необходимо использовать деление на столбик. Первый шаг — подобрать выражение таким образом, чтобы при умножении на х-1 получалась кубическая степень. Это выражение будет х в квадрате. После выполнения действия будет получен моном: x3 — x2. Подставив его под первый полином, можно получить выражение меньшее на порядок: 4х2 — 2х.

Чтобы получить это уравнение, x-1 нужно умножить на 4x. Отсюда снова получаем выражение с меньшей степенью: 4х2 — 4х. После вычитания образуется двучлен: 2 х +2. Чтобы от него избавиться, х-1 надо умножить на два. В результате после вычитания остаток будет равен четырем.

Этот ответ на самом деле можно найти более простым способом, используя определение Безу. Для рассматриваемого примера свободные коэффициенты составят: 1 + 3 — 2 + 2 = 4. Это число и есть оставшийся объект, полученный после деления.

Используя эту формулировку, довольно легко найти действительные корни любого уравнения. Пусть а — корень уравнения Р(х) = 0. Тогда, подставив его значение, получим тождество — ноль равен нулю. Это означает, что P(n) = 0, а вместе с функцией равно нулю и остаток при делении.

Таким образом, если бы удалось найти корень уравнения, то, в соответствии с формулировкой Безу, многочлен P(x) будет полностью делиться на P(n). Это основное применение теоремы Безу — решение примеров, состоящих из уравнений, имеющих высокие степени.

Фактически задача поиска ответа в уравнениях высших степеней состоит из следующих шагов:

1. нахождение корня n.
2. разделив решение на двучлен xn.
3. получение уравнения на порядок ниже.

Алгоритм повторяется до тех пор, пока уравнение не станет квадратным. Следует помнить, что если корень подходит, то деление в алгоритме будет выполнено полностью.

Поэтому важным этапом является получение корня. Лучше всего найти его по схеме Горнера.

Доказательство теоремы

Схема Горнера отлично работает вместе с теоремой Безу. Овладев навыками их использования, вы сможете решить уравнение с любым показателем степени в достаточно быстро и качественно, без сложных подстановок и выполнить деление в столбик.

Для доказательства теоремы предположим, что при делении многочлена F(x) на линейный бином x за вычетом числового коэффициента остаток операции будет равен значению многочлена в точке, то есть F (н). Разделите многочлен F (x) на (xn). В результате получается остаток, равный r.

Деление можно представить в виде произведения: F(x)=(xn)*Q(x). В этом выражении Q(x) по-прежнему будет полиномом, но уже на порядок ниже F(x). Теперь можно вместо х подставить числовой коэффициент, то есть использовать, что х равен единице. Тогда: F(n) = (nn) * Q(n) + r = r Здесь r — константа. В результате можно сказать: r = f(n), что и требовалось доказать.

Для быстрого определения корней в доказательстве теоремы Безу используется схема Горнера. Алгоритм используется, когда частное равно двучлену x — n Суть его заключается в следующем. Если предположить, что P (x) = a0x n + a1x n-1 +… + a0 по отношению к Q (x) = bn-1 * xn-1 + bn-2 * xn-2 +… + b0 — числитель, поэтому после замены выражений в дроби получаем равенство: a0x n + a1x n-1 +… + a0 = (bn-1 * xn-1 + bn-2 * xn-2 +… + b0) * (x — a) + r, где свободный член — это остаток.

Для дальнейшего решения раскроем скобки и приравняем коэффициенты с одинаковыми показателями в степени. Затем выразите коэффициенты частного через числитель и знаменатель. То есть an = bn-1; ан-1 = бн-2 — а*бн-1; а0 = г-або. Полученные результаты для наглядности удобнее занести в таблицу. Он составляется по следующему принципу:

• начиная со второго столбца первой строки запишите коэффициенты из исходного уравнения;
• в первый столбец переносится число, с которым надо произвести деление, т е потенциальные корни (х0);
• ниже вводится то, что находится в верхнем элементе во втором столбце;
• чтобы заполнить следующую ячейку, необходимо выполнить операцию умножения числа на выбранный x0 и прибавления стоящего числа в столбце выше;
• проделайте аналогичные операции до окончательного заполнения всех ячеек.

Строки, которые в последнем столбце будут равны нулю, и есть искомое решение уравнения. В этом случае последний коэффициент является остатком, а все предыдущие коэффициенты являются коэффициентами неполного частного.

Следствия из теоремы Безу

1. Число a является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится нацело на двучлен xa .

   Это означает, в частности, что множество корней многочлена P(x) идентично множеству корней соответствующего уравнения P(x)=0 .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни также целые числа).
3. Пусть a — целочисленный корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Для любого целого числа k число P(k) делится на ak .

Теорема Безу позволяет, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если P(a)=0, то заданный многочлен P(x) можно представить как:

P(x)=(xa)Q(x)

Таким образом, находится один корень, а затем находятся корни многочлена Q(x), степень которых на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда с помощью этого приема — его называют понижением степени — можно найти все корни заданного многочлена.

Применения теоремы Безу

Нас будет интересовать делимость выражений вида

биномам вида a ± b (здесь n — натуральное число).

В выражении

возьмем а как независимую переменную, а b как постоянную. Итак, выражение

будет многочленом степени n по переменной а, поставленной в убывающие степени этой переменной.

а) по делению

на a + b остаток будет:

Фонды,

делится на a+b только в том случае, если n нечетно.

б) В случае разделения

на а — б имеем

Фонды,

не делится на а-б.

в) по дивизии

на a+b у нас есть

Фонды,

делится на a + b, только если n — четное число.

г) при разделе

на а — б получаем

Фонды,

всегда делится на а — b.

Другие важные применения теоремы Безу описаны в следующих главах.

Правило Горнера. Правило Горнера позволяет вычислить коэффициенты при частном и остатке при делении многочлена в убывающих степенях х на двучлен х — а, не занимаясь самим делением. При делении многочлена

на двучлен x — и в частном получаем многочлен степени (n — 1):

а в остатке число R.

По имуществу раздела

Раскрывая скобки в правой части этого равенства и объединяя слагаемые с одинаковыми степенями x, мы получаем тот же многочлен, что и в левой части.

Приравнивая коэффициенты к одинаковым степеням x, находим, что

Расчеты можно организовать следующим образом: коэффициенты на дивиденды:

частное и остаток:

Примеры:

1. Используя правило Горнера, найти частное и остаток при делении многочлена

Решение:

2. Разделиться

Решение:

Используя правило Горнера, легко найти частное

Отсюда следует формула

Формулу можно получить таким же образом

Примеры решения задач

Пример

Упражнение. Найдите остаток от деления многочлена f(x)=3 x^{2}-4 x+6 на двучлен (x-1)

Решение. По теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке a=1 . Затем находим f(1), для этого подставляем в выражение для полинома f(x) вместо x значение a=1. Хотеть:

f(1)=3 cdot 1^{2}-4 cdot 1+6=3-4+6=5

Отвечать. Остальное 5

Пример

Упражнение. Используя теорему Безу, докажите, что многочлен f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4 делится на двучлен x=1 без остатка.

Решение. Данный многочлен делится на данный двучлен без остатка, если число x=1 является корнем данного многочлена, то есть имеет место равенство: f(1)=0 . Найдите значение многочлена в точке x=1 :

f(1)=17 cdot 1^{3}-13 cdot 1^{2}-4=17-13-4=0

КЭД

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разложить полином на моном, разделите каждый член полинома на этот моном, а затем сложите получившиеся частные.

Например, полином 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 разделим на мономер xy. Запишем это деление в виде дроби:

Теперь разделим каждый член многочлена 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на мономер xy. Полученные частные складываются:

Мы получили обычное для нас деление мономов. Сделаем такое деление:

таким образом, деление многочлена 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на мономер xy дает многочлен 15xy2 + 10y + 5y2.

При делении одного числа на другое частное должно быть таким, чтобы при умножении его на делитель получилось делимое. Это правило сохраняется и при делении многочлена на одночлен.

В нашем примере произведение полученного многочлена 15xy2+10y+5y2 на делитель xy должно быть равно многочлену 15x2y3+10xy2+5xy3, то есть исходному делимому. Проверим, так ли это:

(15xy2 + 10y + 5y2)xy = 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3

деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Мы помним, что для сложения дробей с одинаковыми знаменателями нужно складывать их числители, оставляя знаменатель неизменным.

Например, сложение дробей
,
и
необходимо написать следующее выражение:

Если мы рассмотрим выражение
, то получим дробь
, значение которого равно 1,5.

В то же время выражение
мы можем вернуться в исходное состояние
, и вычислите каждую дробь отдельно, затем сложите полученные частные. Результат все равно будет 1,5

То же самое происходит, когда вы делите многочлен на одночлен. Одночлен берет на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена. Например, деление многочлена ax + bx + cx на многочлен x дает три дроби с общим знаменателем x

Оценка каждой дроби приведет к многочлену a + b + c

Пример 2. Разделить многочлен 8m3n + 24m2n2 на одночлен 8m2n

Пример 3. Разделить многочлен 4c2d − 12c4d3 на одночлен −4c2d

Деление одночлена на многочлен

Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.

Допустим, мы хотели разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5.

Результатом этого деления должен быть многочлен, умножение которого на многочлен 5x + 3y + 5 дает одночлен 2xy. Но не существует многочлена, умножение которого на многочлен 5x + 3y + 5 привело бы к моному 2xy, поскольку умножение многочленов дает многочлен, а не моном.

Но в учебниках можно найти упражнения на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В первых выражениях для таких задач иногда выполняется деление одночлена на многочлен. В этом случае никаких преобразований производить не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить полученное числовое выражение.

Например, найдем значение выражения
для х = 2.

Выражение
есть деление одночлена на многочлен. В этом случае мы не сможем произвести никаких преобразований. Единственное, что мы можем сделать, это подставить в исходное выражение вместо переменной x число 2 и найти значение выражения:

Деление многочлена на многочлен

Если первый многочлен умножить на второй многочлен, то получится третий многочлен. Например, если вы умножите многочлен x + 5 на многочлен x + 3, вы получите многочлен x2 + 8x + 15

(х + 5)(х + 3) = х2 + 5х + 3х + 15 = х2 + 8х + 15

(х + 5)(х + 3) = х2 + 8х + 15

Если произведение разделить на коэффициент, получается множитель. Это правило относится не только к числам, но и к многочленам.

Тогда согласно этому правилу деление полученного нами многочлена x2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно дать многочлен x + 5.

Деление многочлена на многочлен выполняется углом. Отличие будет в том, что при делении многочленов не нужно определять первое неполное делимое, как при делении обычных чисел.

Разделим многочлен х2+8х+15 на многочлен х+3 с углом, так шаг за шагом увидим, как получается многочлен х+5.

В этом случае результат известен нам заранее. Это будет многочлен x + 5. Но чаще всего результат неизвестен. Поэтому мы прокомментируем решение так, будто результат нам неизвестен.

Результатом деления должен быть новый многочлен. Члены этого многочлена будут появляться один за другим в процессе деления.

Теперь наша задача — найти первый член нового многочлена. Как это сделать?

Когда мы первоначально умножали многочлены x + 5 и x + 3, мы сначала умножали первый член первого многочлена на первый член второго многочлена. Таким образом, мы получили первый член в третьем многочлене:

Если мы разделим обратно первый член третьего многочлена на первый член второго многочлена, мы получим первый член первого многочлена. И это то, что нам нужно. Ведь нам нужно прийти к многочлену x + 5.

Тот же принцип нахождения первого члена будет осуществляться и при решении других задач на деление многочленов.

Итак, чтобы найти первый член нового многочлена, вы должны разделить первый член делимого на первый член делителя.

Если первый член делимого (в нашем случае это х2) разделить на первый член делителя (это х), то получим х. То есть первым членом нового многочлена является x. Пишем под прямым углом:

Теперь, как и при делении обычных чисел, умножаем х на делитель х + 3. На этом этапе нужно уметь умножать одночлен на многочлен. Умножение x на x + 3 дает x2 + 3x. Запишем этот многочлен под делимым x2+ 8x+ 15 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь вычтите x2 + 3x из делимого x2 + 8x + 15. Подобные члены вычитаются из подобных членов. Если из x2 вычесть x2, получится 0. Ноль не записывается. Кроме того, если вы вычтете 3x из 8x, вы получите 5x. Пишем 5х так, чтобы этот член находился под терминами 3х и 8х

Теперь, как и при делении обычных чисел, отрываем очередной член делимого. Следующему члену 15. Вы должны разорвать его вместе со своим знаком:

Теперь разделим многочлен 5x+15 на x+3. Для этого нужно найти второй член нового многочлена. Чтобы его найти, нужно разделить первый член делимого (теперь это член 5x) на первый член делителя (это член x). Если 5х разделить на х, то получится 5. То есть второй член нового многочлена равен 5. Запишем его под прямым углом вместе со знаком (член 5 в данном случае положителен)

Теперь умножаем 5 на делитель х+3. При умножении 5 на х+3 получаем 5х+15. Запишем этот многочлен под делимым 5х+15

Теперь вычтите 5x + 15 из делимого 5x + 15. Если вы вычтете 5x + 15 из 5x + 15, вы получите 0.

Это совместное использование завершено.

После выполнения деления можно проверить, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное х + 5 умножить на делитель х + 3, многочлен должен быть х2 + 8х + 15

(х + 5)(х + 3) = х2 + 5х + 3х + 15 = х2 + 8х + 15

Пример 2. Разделить многочлен x2 − 8x + 7 на многочлен x − 7

Запишем это деление уголком:

Находим первый член частного. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем x. Пишем xi прямого угла:

Умножаем x на x − 7, получаем x2 − 7x. Запишем этот многочлен под делимым x2 − 8x + 7 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Вычтем многочлен x2 − 7x из x2 − 8x + 7. Вычитание x2 из x2 дает 0. Ноль не записывается. А вычитание −7x из −8x дает −x, поскольку −8x − (−7x) = −8x + 7x = −x. Мы пишем −x под терминами −7x и −8x. Затем сносим следующий член 7

Следует соблюдать осторожность при вычитании отрицательных членов. На этом этапе часто допускают ошибки. Если поначалу сложно вычитать в столбик, можно воспользоваться обычным вычитанием многочленов в ряд, которое мы изучали ранее. Для этого нужно отдельно вывести делимое и вычесть полином, лежащий под ним. Преимущество этого метода в том, что следующие члены делимого не нужно отрывать — они автоматически переходят в новый делимый. Воспользуемся этим методом:

Вернемся к нашей задаче. Разделим многочлен −x + 7 на x − 7. Для этого нужно найти второй член в частном. Чтобы его найти, нужно разделить первый член делимого (теперь это член -x) на первый член делителя (это член x). Если -x разделить на x, вы получите -1. Пишем −1 под прямым углом вместе со знаком:

Умножаем −1 на x − 7, получаем −x + 7. Запишем этот многочлен под делимым −x + 7

Теперь из −x + 7 вычтем −x + 7. Если вычесть −x + 7 из −x + 7, получим 0

Дивизия завершена. Таким образом, частное от деления многочлена x2 − 8x + 7 на многочлен x − 7 равно x − 1

Возьмем чек. Умножим частное x − 1 на делитель x − 7. Получим многочлен x2 − 8x + 7

(х — 1)(х — 7) = х2 — х — 7х + 7 = х2 — 8х + 7

Пример 3. Разделить многочлен x6 + 2×4 + x7 + 2×5 на многочлен x2 + x3

Найдем первый член частного. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем х4

Умножаем х4 на делитель х2+х3 и результат записываем под делимым. Если умножить х4 на х2+х3, получится х6+х7. Запишем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь вычтем из делимого полином x6 + x7. Вычитание x6 из x6 даст 0. Вычитание x7 из x7 также даст 0. Оставшиеся члены 2×4 и 2×5 будут свернуты:

Появился новый дивиденд 2х4+2х5. Такое же делимое можно получить, выписав отдельно многочлен x6+2×4+x7+2×5 и вычитая из него многочлен x6+x7

Разделите многочлен 2×4 + 2×5 на делитель x2 + x3. Как и прежде, сначала делим первый член делимого на первый член делителя, получаем 2х2. Мы пишем этому участнику в частном порядке:

Умножаем 2х2 на делитель х2+х3 и записываем результат под делимым. Если умножить 2х2 на х2+х3, получится 2х4+2х5. Запишем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом. Итак, делаем вычитание:

вычитание многочлена 2×4 + 2×5 из многочлена 2×4 + 2×5 дало 0, значит, деление прошло успешно.

В промежуточных расчетах члены нового дивиденда расставлялись врозь, образуя большие расстояния. Это было связано с тем, что при умножении частного на делитель результаты записывались так, что одинаковые члены располагались друг под другом.

Эти расстояния между членами нового делимого образуются при случайном расположении членов исходных многочленов. Поэтому перед делением желательно расположить члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда решение примет более точный и понятный вид.

Давайте решим предыдущий пример, расположив члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Если члены многочлена х6 + 2х4 + х7 + 2х5 расположить в порядке убывания степеней, то получится многочлен х7 + х6 + 2х5 + 2х4. А если члены многочлена x2 + x3 расположить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x3 + x2

Тогда угловое деление многочлена x6 + 2×4 + x7 + 2×5 на многочлен x2 + x3 имеет следующий вид:

Дивизия завершена. Таким образом, частное от деления многочлена x6 + 2×4 + x7 + 2×5 на многочлен x2 + x3 равно x4 + 2×2

Возьмем чек. Умножьте частное x4 + 2×2 на делитель x2 + x3. У нас должен получиться многочлен x6+2×4+x7+2×5

(x4 + 2×2)(x2 + x3) = x4 (x2 + x3) + 2×2(x2 + x3) = x6 + 2×4 + x7 + 2×5

При умножении многочленов также желательно располагать члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда члены полученного полинома также будут упорядочены по убыванию степеней.

Давайте перепишем умножение (x4 + 2×2)(x2 + x3), расположив члены многочленов в порядке убывания степеней.

(x4 + 2×2)(x3 + x2) = x4(x3 + x2) + 2×2(x3 + x2) = x7 + x6 + 2×5 + 2×4

Пример 4. Разделить многочлен 17×2 − 6×4 + 5×3 − 23x + 7 на многочлен 7 − 3×2 − 2x

Расположим члены исходных полиномов в порядке убывания степеней и выполним это деление на угол:

Фонды,

Пример 5. Разделить многочлен 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 на многочлен a2 − 3ab − 9b2

Найдите первый член частного. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем 4а2. Пишем 4a2 приватно:

Умножьте 4a2 на делитель a2 − 3ab − 9b2 и запишите результат под делимым:

Вычесть из делимого полученный многочлен 4a4 − 12a3b − 36a2b2

Теперь делим −2a3b + 12a2b2 − 54b4 на делитель a2 − 3ab − 9b2. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем −2ab. Запишем −2ab в частном:

Умножим −2ab на делитель a2 − 3ab − 9b2 и запишем результат, полученный при делимом −2a3b + 12a2b2 − 54b4

Вычтите полином −2a3b + 12a2b2 − 18ab3 из полинома −2a3b + 12a2b2 − 54b4. Когда мы вычитаем одинаковые члены, мы обнаруживаем, что члены -54b4 и 18ab3 не равны, а это означает, что их вычитание не приведет к преобразованию. В этом случае мы выполняем вычитание, где это возможно, а именно вычитаем -2a3b из -2a3b и 6a2b2 из 12a2b2, и вычитаем 18ab3 из -54b4 как разность -54b4 — (+18ab3) или -54b4 — 18ab3

Тот же результат может быть достигнут путем отступа полиномов в строке с помощью круглых скобок:

Вернемся к нашей задаче. Разделите 6a2b2 − 54b4 − 18ab3 на делитель a2 − 3ab − 9b2. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем 6b2. Пишем 6b2 приватно:

Умножим 6b2 на делитель a2 − 3ab − 9b2 и запишем результат, полученный при делимом 6a2b2 − 54b4 − 18ab3. Немедленно вычтите этот результат из делимого 6a2b2 − 54b4 − 18ab3

Дивизия завершена. Таким образом, частное от деления полинома 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 на полином a2 − 3ab − 9b2 равно 4a2 − 2ab + 6b2.

Возьмем чек. Умножьте частное 4a2 − 2ab + 6b2 на делитель a2 − 3ab − 9b2. У нас должен получиться многочлен 4a4 — 14a3b — 24a2b2 — 54b4

Деление многочлена на многочлен с остатком

Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен можно получить остаток от деления.

Во-первых, давайте вспомним деление обычных чисел на остаток. Например, разделим угол 15 на 2. С остатком это деление будет сделано так:

То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых чисел и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:

Рациональное число
читается как семь целых чисел плюс одна секунда. Знак плюс традиционно не записывается. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс необходимо записать.

Например, если при делении многочлена а на многочлен b мы получили частное с, а еще остался остаток q, то ответ запишется так:

Например, мы делим многочлен 2×3 − x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3

Найдите первый член частного. Делим первый член делимого на первый член делителя, получаем 2х2. Пишем 2×2 приватно:

Умножаем 2×2 на делитель x − 3 и записываем результат под делимым:

Вычесть из делимого полученный многочлен 2×3 − 6×2

Теперь делим 5×2 − 5x + 4 на делитель x − 3. Разделив первый член делимого на первый член делителя, получим 5x. Пишем 5x приватно:

Умножьте 5x на делитель x − 3 и запишите результат под делителями 5×2 − 5x + 4

Вычтем многочлен 5×2 − 5x + 4 из многочлена 5×2 − 15x

Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3. Разделив первый член делимого на первый член делителя, получим 10. Запишем 10 в частное:

Умножьте 10 на делитель x − 3 и запишите результат под делимым 10x + 4. Этот результат сразу вычтите из делимого 10x + 4

Число 34, полученное вычитанием многочлена 10x — 30 из многочлена 10x + 4, является остатком. Мы не сможем найти следующее частное, которое при умножении на делитель x − 3 дало бы нам в итоге 34.

Следовательно, при делении многочлена 2×3 − 2×2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2×2 + 5x + 10 с остатком 34. Ответ записывается так же, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она ставится под прямым углом) плюс остаток, деленный на делитель:

Когда деление многочленов невозможно

Деление многочлена на многочлен невозможно, если степень частного меньше степени делителя.

Например, нельзя делить многочлен x3+x на многочлен x4+x2, так как частное — это многочлен третьей степени, а делитель — многочлен четвертой степени.

Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, и даже получить частное x−1, которое, умноженное на делитель, даст делимое:

Но деление многочлена на многочлен должно дать многочлен, а частное x−1 не является многочленом. Ведь полином состоит из мономера, а мономер, в свою очередь, есть произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x−1 представляет собой дробь
, который не является продуктом.

Пусть это прямоугольник со сторонами 4 и 2

Площадь этого прямоугольника будет равна 4×2=8 квадратных единиц.

увеличьте длину и ширину этого прямоугольника на x

Дополним недостающие страницы:

Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражается многочленом x2 + 6x + 8

(х + 4)(х + 2) = х2 + 4х + 2х + 8 = х2 + 6х + 8

В этом случае мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4.

Степень полинома x2 + 6x + 8 равна сумме степеней полиномиальных множителей x + 4 и x + 2, а это означает, что ни одна из степеней полиномиальных множителей не может превышать степень полиномиального произведения. Следовательно, чтобы было возможно обратное деление, степень делителя должна быть меньше степени делимого.