Историческая справка
Менелай Александрийский — древнегреческий астроном и математик. Время его жизни и деятельности определяется двумя астрономическими наблюдениями, приведенными в «Альмагесте» Птолемея, которые Менелай сделал в Риме в первый год правления Траяна, то есть в 98 г. Он является автором работ по сферической тригонометрии: 6 книги по расчету хорд и 3 книги «Сферы».
Джованни Чева — итальянский математик и инженер. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Пизанского университета, где позже стал профессором математики. С 1686 года Чева работал в Мантуанском университете и оставался на этой должности до конца жизни. Большую часть своей жизни Чева изучал геометрию, пытаясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят за его исследования в области механики.
В 1678 г. Чева опубликовал свою знаменитую теорему «О взаимно пересекающихся прямых» по синтетической геометрии треугольника; эта теорема позже получила свое название — теорема Чевы. Эта теорема сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Проще говоря, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий с помощью положения точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет.
Формулировка теоремы Менелая
Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I веке до нашей эры. Он внес большой вклад в развитие сферической тригонометрии, где использовал эту самую теорему, которую теперь изучают все школьники, для получения формул.
Прежде чем приступить к изучению, сделаем подходящий чертеж.
Что у нас есть? Треугольник ABC и прямая, пересекающая две его стороны и продолжение третьей стороны.
Особенность теоремы заключается в том, что цифра выше чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это очень распространенная геометрическая конструкция, когда прямая таким образом пересекает треугольник.
Если мы видим рисунок выше, мы можем написать формулу:
запомнить взаимосвязь просто: действуем по принципу «пик — точка, точка — пик». То есть, если мы получим точку C1 на стороне AB, их отношение запишется следующим образом:
Доказательство теоремы
Чтобы доказать теорему Менелая, проведем через точку C прямую, параллельную AB, вот так:
Введите пересечение этой линии с B1C1
через точку Д.
В этом случае мы получим несколько пар подобных треугольников.
Сторона CD параллельна стороне АВ. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу В1 между ними.
Углы B1CD и B1AC1 равны для параллельных прямых CD, AB и секущей AC.
Анализируя эту пару подобных треугольников, мы можем записать условие пропорциональности подобных сторон, а именно:
Поскольку сторона CD не входит в исходное равенство, для дальнейшего доказательства ее необходимо выразить.
Используя описанное равенство, используя свойства пропорции, запишем:
Запишем следующую пару конгруэнтных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 конгруэнтны, так как углы CA1D и BA1C1 конгруэнтны вертикалям. Кроме того, угол CDA1 равен углу BC1A1, так как он лежит между параллельными прямыми CD, AB и секущей C1D.
Покажем это на картинке:
Из этого подобия можно написать некоторую пропорциональность подобных сторон:
Таким же образом выразим CD:
Остается только сравнить. Дроби, которыми мы выражали CD, те же самые.
Таким образом мы получаем:
Умножив обе дроби на обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:
КЭД
2 Как запоминать теорему Менелая
Вы просто берете любую вершину треугольника и начинаете обход треугольника, начиная с этой вершины. Также каждый раз после вершины нужно попасть в точку разделения (точка со штрихом, промежуточная точка). То есть, если направление и порядок обхода таковы, что вы попали в вершину C из вершины A, то из точки C вы попадаете сначала в A’, а из A’ вы попадаете в точку B. Двигаясь вдоль каждой стороны, вы пишете отношение, принимая во внимание направление, которое вы выбрали для обхода. Произведение трех полученных соотношений равно единице.
Читайте также: Города Золотого кольца: полный список, главные достопримечательности
Формулировка теоремы Чевы
Джованни Чева — итальянский математик и инженер. Годы жизни 1648 — 1734 Основные труды исследователя геометрии и механики.
Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 году.
Рассмотрим рисунок ниже:
Теорема звучит так: все произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке), делят стороны, противоположные этим вершинам, так, что выполняется равенство:
В честь ученого, доказавшего эту теорему, эти отрезки называются «чевианами».
Теорема Чевы 1
Теорема Чевы 1. Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (рис. 1) взять соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда равенство
| . | (1) |
Рисунок 1
Доказательства необходимости. Докажем, что если отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, то выполняется равенство (1). Для этого через точку В проводят прямую, параллельную прямой АС, и обозначают буквами D и С точки пересечения прямых СС1 и АА1 с этой прямой соответственно (рис. 2).
Рис.2
Так как треугольник DC1B равен треугольнику AC1C, то равенство
| (2) |
Поскольку BA1E равен треугольнику, AA1C — треугольник, значит, выполняется равенство
| (3) |
Поскольку DBO подобен треугольнику CB1O, подобие равно
| (4) |
Поскольку BOE равен треугольнику, AOB1 является треугольником, поэтому выполняется равенство
| (5) |
Умножая равенства (2 — 5), получаем
Доказательство необходимости завершено.
Доказательства адекватности. Докажем, что если выполнено равенство (1), то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Воспользуемся обратным методом. Для этого буквой O обозначим точку пересечения отрезков AA1 и CC1 и будем считать, что отрезок BB1 не проходит через точку O (рис. 3).
Рис.3
Проведем отрезок ВВ2 через точку О (рис. 4).
Рис.4
Поскольку отрезки AA1, BB2 и CC1 пересекаются в одной точке, выполняется равенство
| (6) |
Кроме того, имеет место равенство
| (1) |
Разделив равенство (6) на равенство (1), получим равенство
следствием этого является равенство
| (7) |
Из равенства (7) следует, что точки B1 и B2 совпадают.
Доказательство достаточности завершено.
Теорема Чевы 2
Теорема Чевы 2. Если на продолжениях за точку B на сторонах AB и CB треугольника ABC взять соответственно точки C1, A1, а на стороне CA взять точку B1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны если и только чье подобие
| . | (8) |
Рис.5
Доказательство необходимости (случай «а»). Докажем, что если прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке (рис. 5), то выполняется равенство (8). Для этого через точку В проводят прямую, параллельную прямой АС, и обозначают буквами D и С точки пересечения прямых АА1 и СС1 с этой прямой соответственно (рис. 6).
Рис. 6
Так как треугольник BC1E подобен треугольнику AC1Ctriangle , то подобие равно
| (9) |
Так как треугольник DA1B подобен треугольнику AA1Ctriangle , то
| (10) |
Так как OAB1 напоминает треугольник ODBtriangle , то
| (одиннадцать) |
Так как треугольник B1OC подобен треугольнику BOEtriangle, то подобие равно
| (12) |
Умножая подобия (9 — 12), получаем
Доказательство необходимости в случае «а» завершено.
Доказательство необходимости (случай «б»). Докажем, что если прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны (рис. 7), то выполняется равенство (8).
Рис.7
Проведем через точку B прямую, параллельную прямой AC, и обозначим буквами D и E точки пересечения прямых AA1 и CC1 с этой прямой соответственно (рис. 8).
Рис. 8
Так как треугольник BC1E подобен треугольнику AC1Ctriangle , то
| (1. 3) |
Так как треугольник DA1B подобен треугольнику AA1Ctriangle , то
| (14) |
Поскольку четырехугольники ADBB1 и BECB1 являются параллелограммами, равенство
CB1=BE, B1A=DB ,
откуда равенство
| (15) |
Умножая подобия (13 — 15), получаем
Доказательство необходимости в случае «б» завершено.
Комментарий. Доказательство достаточности условия (8) в случае 2 проводится так же, как это было сделано для случая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.
4 Как запоминать теорему Чевы
Запоминаем точно так же, как и теорему Менелая — выбираем вершину, из которой начинаем, и направление обхода. Далее делаем все так же, как при получении формулировки теоремы Менелая.
Применения теоремы Чевы
В разделе «Медианы треугольника» нашего справочника доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого рассмотрим медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. 9).
Рис.9
Потому что
тогда равенство
,
откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого рассмотрим биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. 10).
Рис.10
В соответствии со свойством биссектрисы истинны подобия
Если мы умножим эти три равенства, то получим равенство,
откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого сначала рассмотрим высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC (рис. 11).
Рис. 11
Потому что
значит, умножая эти три равенства, получаем равенство,
откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказана теорема о пересечении высот остроугольного треугольника.
Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).
Рис. 12
На рис. 12 изображен треугольник ABC с тупым углом B, высотами которого являются отрезки AA1, BB1 и CC1.
Потому что
значит, умножая эти три равенства, получаем равенство,
откуда следует, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказана теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника.
Нет необходимости доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке, так как все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.
Теорема о пересечении высот треугольника полностью доказана.
Теперь, используя теорему Чевы, докажем следующую теорему.
Теорема. Рассмотрим ABC как окружность, вписанную в произвольный треугольник. Пусть точки A1, B1 и C1 касаются этой окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Тогда отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке (рис. 13).
Рис. 13
Доказательство. Используя свойство равенства касательных, проведенных к окружности из одной точки, запишем следующие равенства:
AC1 = B1A, BA1 = C1B, CB1 = A1C.
Из этих сходств получаем:
Отсюда, используя теорему Чевы, заключаем, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Комментарий. Точка пересечения отрезков AA1, BB1 и CC1, упомянутая в только что доказанной теореме, называется точкой Жергонна в честь французского математика Жозефа Жергонна (1771 — 1859 гг.).
Пример задачи
Дан треугольник ABC с точками A’, B’ и C’ на сторонах BC, AC и AB соответственно. Вершины треугольника соединяются с заданными точками, а образующиеся отрезки проходят через одну точку. Точки А’ и В’ взяты на серединах соответствующих противоположных сторон. Выясните, в каком отношении точка С’ делит сторону АВ.
Решение
Нарисуем рисунок по условиям задачи. Для простоты используем следующие обозначения:
- АВ’ = В’С = а
- ВА’ = А’С = б
Остается только составить связь между отрезками по теореме Чевы и подставить в нее принятые обозначения:
После сокращения дробей получим:
Следовательно, AC’ = C’B, т е точка C’ делит сторону AB пополам.
Следовательно, отрезки АА’, ВВ’ и СС’ являются медианами нашего треугольника. После решения задачи мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для всех треугольников).
Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке также пересекаются биссектрисы или высоты.
Задача 1
Дан треугольник ABC (см рисунок ниже) с удлиненной стороной CA. Также были взяты медианы BM и AN. Обозначим их точку пересечения через О.
Возьмем точку K на стороне AB так, что AK относится к AB как 1/3.
АС=4 см, АМ=2 см.
Проведем прямую ОК до пересечения со стороной АС. Обозначим их точку пересечения как P.
Сторона AP будет обозначаться y.
Найти: что такое сегмент AP.
Решение:
Так как отношение сторон АВ и АК равно 1/3, то АК = х и КБ = 3х.
Рассмотрим треугольник АВМ. Для этого мы берем это прямо OP.
Таким образом, мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.
Запишем теорему Менелая для этой фигуры.
Подставим известные данные в это соотношение:
В результате получаем, что у = 4.
Ответ: отрезок АР = 4 см.
Задача 2
Проблема, связанная со свойствами теоремы Чевы.
Рассмотрим рисунок:
Данный:
- сумма АВ и ВС равна 13;
- АС = 8 см.
Найти: соотношение между БО и ОБ1.
Итак, напишем отношение:
Мы заменяем:
Конечным результатом является дробь 13/8.
Отвечать:
