Теорема косинусов и синусов

Содержание

Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Следствие верхней части формулы cos α
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
Косинусы углов треугольника
Определение угла с помощью косинуса
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Примеры решения задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Пример №4
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример №8

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула теоремы Пифагора:

a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, c — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

При доказательстве теоремы косинусов мы используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим эту формулу:

ВС2 = (х2 — х1)2 + (у2 — у1)2

В доказательстве теоремы косинусов ВС — сторона треугольника АВС, которую обозначают буквой а. Введем практическую систему координат и найдем координаты нужных нам точек. Точка B имеет координаты (c; 0).
Координаты точки C равны (b cos α; b sin α) для α ∈ (0°; 180°).

cos2α + sin2α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC2 = a2 = (b cos α — c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α — 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2

КЭД

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на математические онлайн-курсы для детей и подростков.

Используя закон косинусов, можно найти косинус угла треугольника:

При b2 + c2 — a2 > 0 угол α будет острым.
При b2 + c2 — a2 = 0 угол α будет прямым.
При b2 + c2 — a2 < 0 угол α будет тупым.

Помните: когда угол α прямой, теорема косинусов становится теоремой Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Получим треугольник ABC, в котором высота CD опущена от вершины C к стороне AB. Это означает:

AD = b × cos α,
DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h2 = b2 — (b × cos α)2
h2 = a2 — (c – b × cos α)2

Приравняем правильные части уравнений:

b2 — (b × cos α)2 = a2 — (c — b × cos α)2

или

a2 = b2 + c2 — 2bc × cosα

Если один из углов у основания тупой (высота упирается в продолжение основания), то это точно так же, как обсуждалось выше.

Определим стороны b и c:

b2 = a2 + c2 — 2ac × cosβ;
c2 = a2 + b2 — 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов верна для всех сторон треугольника, то есть:

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

b2 = c2 + a2 — 2ca cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

Теорему косинусов можно использовать для всех видов треугольников.

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы определить, является ли угол α острым, прямым или тупым, необходимо вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

b²+c²−a²<0, поэтому угол α тупой;
b²+c²−a²=0, поэтому угол α прямой;
b²+c²−a²>0, поэтому угол α острый.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

две его стороны равны;
углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Воспользуемся формулой теоремы косинусов

a² = b² + c² — 2b.c.cosα

Заменяем все известные:

x² = 8² + 8² — 2×8×8×cos140º

х² = 64 + 64 — 128 × (-0,766)

х² ≈ √226,048

х ≈ 15,035.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти и косинус, и угол треугольника. Найдем косинусы углов:

Сходным образом:

Определение угла с помощью косинуса

Теперь давайте посмотрим на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из интервала (0°; 180°) определяет угол (в отличие от синуса).

Получим единичный полукруг. Если мы получим cos α, то получим точку на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку M(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Помните, что если α — угол треугольника, то он лежит между 0° и 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
Если cos α = 0, то α = 90°

Примеры решения задач

С помощью теоремы косинусов можно решать задачи по геометрии. Рассмотрим несколько интересных случаев.

Пример 1. Дан треугольник ABC. Найдите длину см.

∠C = 90°, AB = 9, BC = 3, AM/MB = 1/2, где M — точка на гипотенузе AB.

Как мы решаем:

Поскольку АМ + МБ = 9 и АМ/МБ = 1/2, то АМ = 3, МБ = 6.
Из треугольника ABC находим cos B:
Из треугольника CMW по теореме косинусов находим CM:

Ответ: СМ = .

Пример 2. Дан треугольник ABC, где a2 + b2 < c2. Докажите, что угол ∠C тупой.

Как мы докажем:

Чтобы это доказать, нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, поэтому ∠C тупая.

КЭД

Эта задача показала нам, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой или острый угол.

Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.

Если c2 < a2 + b2, то ∠C острая.

Задача 1

Найти, если дано: , , .

Решение: Поскольку мы знаем, что известен угол между сторонами и и стороной, мы можем найти сторону, если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов
$AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB cdot {BC} cos {угол B}$
экспресс-страница .

Мы получаем:

${BC}^2-2AB cdot {BC} cos {angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0$

Обозначать

Затем

$х ^ 2-2AB cdot cos { угол B} cdot x-AC ^ 2 + {AB} ^ 2 = 0$

Получаем квадратное уравнение. Подставляем значения и решаем:

$x^2-2 cdot 8 cdot frac{1}{2} x-{(4 sqrt 7)}^2+8^2=0$

$х^2-8х-112+64=0$

Нахождение дискриминанта:

$D=b^2-4ac=64-4cdot(-48)=64+192=256$
.

Затем
$x_1=frac{8+16}{2}=frac{24}{2}=12$
.

$x_2=frac{8-16}{2}=frac{-8}{2}=-4$
не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольниках ABC , , . Находить

Решение: Начертите треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Так как , то из формулы (1) получаем:

$AB ^ 2 = 2 {AC} ^ 2-2 {AC} ^ 2 cdot cos { angle 120 ^ { circ}}$

Сделаем замену: :

$AB ^ 2 = 2 {х} ^ 2-2 {х} ^ 2 cdot cos { угол 120 ^ { circ}}$
,

переходим к правой части равенства и получаем квадратное уравнение:

$2 {х} ^ 2-2 {х} ^ 2 cdot cos { угол 120 ^ { circ}} - {AB} ^ 2 = 0$
,

Замените значения:

$2 {x} ^ 2-2 {x} ^ 2 cdot cos { angle 120 ^ { circ}} - {(6 sqrt {3})} ^ 2 = 0$

$cos { угол 120 ^ { circ}} = - гидроразрыва {1} {2}$

$2{х}^2+{х}^2-108=0$

Так как поэтому, .

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если вы знаете, что , , .

Решение: решить треугольник означает найти все стороны и углы. Получаем два угла, а значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна, получаем: $угол B = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -45 ^ { circ} = 105 ^ { circ}$
.

Обозначим неизвестные стороны треугольника: , .

Выразим сторону треугольника по теореме косинусов:

$y ^ 2 = {x} ^ 2 + {AB} ^ 2-2 {x} cdot {AB} cdot cos {30 ^ { circ}}$

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

$[left{ begin{align} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2} y^2={x}^2+16-4{x }cdot sqrt{3}. end{выровнено} right.]$

Преобразуем второе уравнение в систему:

$[left{ begin{align} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2} -16={x}^2-y^2-4{ x}cdot sqrt{3}. end{выровнено} right.]$

Сложим первое и второе уравнения системы и вместо второго уравнения запишем полученное уравнение, получим:

$[left{ begin{align} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2} 0=2{x}^2-xy sqrt{2} -4{x}cdot sqrt{3}. end{выровнено} right.]$

Из второго уравнения выражаем :

$ху sqrt{2}=2x^2-4x sqrt{3}$

$y=frac{2x^2-4xsqrt{3}}{x sqrt{2}}$

Итак, мы выразились из второго уравнения системы, теперь берем его и заменяем на первое уравнение и делаем необходимые преобразования.

$16=x^2+(frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}})^2-x sqrt{2}(frac{2x-4sqrt{3}}{ sqrt{2}})$
, откройте скобки и умножьте левую и правую части уравнения на 2:

$32=2x^2+4x^2-16x sqrt{3}+16 cdot 3-2x(2x-4 sqrt{3})$

$2x^2-8x sqrt{3}+48-32=0$

$2x^2-8x sqrt{3}+16=0$

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

$х^2-4хsqrt{3}+8=0$
.

Получил квадратное уравнение. Давайте решим это.

Нахождение дискриминанта:

$D=b^2-4ac=(4 sqrt{3})^2-4 cdot 8 cdot 1=16 cdot 3 - 32=48-32=16$

Итак, корни уравнения:

$x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}-4}{2}=2 sqrt{3}-2$

$x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}+4}{2}=2 sqrt{3}+2$
.

Оба значения совпадают — они положительные. Мы нашли, :

$y_1= frac{2(2sqrt{3}-2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{-4}{sqrt{2}}$
— отрицательное значение нам не подходит.

$y_2= frac{2(2 sqrt{3}+2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{4}{sqrt{2}}=2 sqrt{2}$
.

Таким образом, мы получаем следующие значения , .

Вы можете самостоятельно проверить и убедиться в правильности этих значений.

Отвечать: , .

Теорема косинусов для треугольника очень полезна для решения геометрических задач, но некоторые задачи усложняются, если не знать другой теоремы — синуса. Например, мы могли бы решить третью задачу гораздо проще — с помощью теоремы синусов, для которой мы бы быстро получили тот же результат. Но при этом мы получим только приблизительное значение . Теорема косинусов дает нам точный результат. Но в дальнейшем, когда вы будете учить две теоремы, мы рекомендуем решать задачи, используя обе.

Пример №4

Найдите площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Положим a = 9, b = 12, c = 15. Получим:

Затем

Радиус R описанной окружности находится по формуле
У нас есть:
Отвечать:
Способ 2. Поскольку
потому что
тогда треугольник прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Площадь равна половине произведения катетов:
а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

Пример №5

Найдите площадь трапеции с основаниями 5 и 14 и сторонами 10 и 17.

Решение:

Пусть основания трапеции ABCD равны AD = 14 и BC = 5, стороны AB = 10 и
Давайте использовать
(рис. 187). Так как ABSK — параллелограмм, то SK = AB = 10, AK = BC = 5, из них KD = AD — AK = 9. Найдите высоту CH треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Находим площадь треугольника KCD по формуле Герона, в которой обозначены стороны a = 10, b = 17, c = 9. Получаем:

Потому что
СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике ABC мы знаем:

высота СН = 2 (рис. 190). Найдите гипотенузу АВ.

Решение:

Давайте строить
симметричный
относительно прямой АВ (см рис. 190).
Потому что
потом вокруг площади
можно описать окружность, где AB — диаметр этой окружности (правильный вписанный угол зависит от диаметра). Треугольник
вписанный в этот круг
По закону синусов
где
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами BC = a и AC =
На гипотенузе АВ, как и на стороне, построен квадрат АДФБ (рис. 191). Найдите расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, то есть отрезка СО.

Решение:

Способ 1. Поскольку
(диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то
значит четырехугольник AOBC вписан в окружность, ее диаметр
Затем

Пусть СО = х. По закону косинусов
находить

от
находить

По свойству вписанного квадрата
Потому что
что
где мы находим
Затем
.

Способ 2. Воспользуемся теоремой Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного квадрата равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см рис. 191):

Способ 3. Завершить сборку
к квадрату CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадает с центром квадрата ADFB, т е с точкой O (точки B и D симметричны относительно центра обоих квадратов). Затем
Отвечать: