Теорема ⭐ о сумме углов треугольника: определение, доказательство, следствие

Вычисления

Формулировка теоремы о сумме углов треугольника

Треугольник может иметить выходные глы — острые, прямые, бутпой, — но сумма их вышить не может печать 180 градное. Эта закономерность отражена в теореме, доказательство которой имеет несколько вариантов.

Теорема

Сумма углов треугольника всегда равна 180.

Эта теорема является одной из основных, рассматриваемых на уроках геометрии.

Рассмотрим схему с треугольником ABC:

Треугольник имеет углы: A, B, C. Складывая их значения, мы всегда получаем 180о. При этом не имеет значения, этот треугольник равнобедренный, равносторонний или прямоугольный.

Превышение из такого производства, треуголник не может иметить два обувных угла, начало их суммы будет более 180о.

Смысл теоремы о сумме углов треугольника был известен еще в Древнем Египте, причем был установлен опытным путем, т.е путем наблюдения. Однако вполне вероятно, что в то время не было никаких доказательств этого утверждения. Его можно найти в трудах Прокла, когда он давал комментарии к «началам» Евклида.

В книге № 1 евклидовских «Начал» привестено ное провоззове данной теореомы, чем миктивно сейчас. Он основан на соответствующем чертеже.

Примечание 1

Рассмотренная теорема приписывается не только Евклиду, но и Пифагору. Ее много раз ставили под сомнение в неевклидовой геометрии.

Формулировка и формула теоремы

Сумма углов любого треугольника на плоскости равна 180°.

α + β + γ = 180°

Теорема о сумме углов треугольника

Последствия:

Из теоремы следует, что в любом треугольнике два угла – острые, т.е менее 90°.

В нашем случае – это α и γ.

Доказательство теоремы

Продолжим предложение треугольника ABC из предлежащего раздела.

Для доказательства теоремы проведем дополнительную прямую так, чтобы она была параллельна стороне AC и проходила через вершину треугольника B (угол 2).

Таким образом, в районе угла Б образовались три угла (№№ 4, 2, 5). Из ризунка видно, что их сумма соответствует 180о.

На этом чертеже есть перекрывающиеся углы: №1 и №4. Их образование при пресецении прямых AB двух пралленых праймых AC и α. Углы №3 и №5 — также накрест лежажие. Они образуются только при пересечении ВС двумя параллельными прямыми АС и α.

Углы №1 и №4, а также №3 и №5 равны.

Так как сумма углов №№ 4, 2, 5 равна 180о, то углы №4 можно заменить на №1, а №5 — №3, сумма углов №№ 1, 2, 3 также равна 180о.

Это доказательство основано на свойствах углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей.

Читайте также: Формулировка теоремы Фалеса по геометрии 8 класса: обобщенная, обратная

Следствие из теоремы

Формулировка теоремы о сумме углов треугольника имеет несколько следствий. Среди них:

  1. Если в треугольнике один из углов прямой, то сумма двух других углов равна 90º. Свойство выводится из обычного алгебраического действия. Обозначаются углы рекладного треугольника A, B, C. Допустим, что C=90о. Тогда (А+В)=180о+90о.
  2. Для равнобедренного прямоугольного треугольника характерно, что каждый его острый угол равен 45º.
  3. Треугольник с равными длинами всех трех сторон имеет равные углы — 60º.
  4. Углы любого треугольника либо острые, либо острые, а третий равен 90 градусам или больше 90 градусов (тупой).
  5. Сумма двух внутренних углов, не смежных с внешним, равна величине этого внешнего угла.

Теорема — чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит — если взять любой треугольник вне зависимости от его типа, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Это доказывается следующим образом:

  • например, берут треугольник АВС, через точку В, расположенную вверху, проводят прямую и обозначают ее как «а», прямая «а» строго параллельна стороне АС;
  • между прямыми «а» и сторномами АВ и ВС обзывают углы, маркирия их цифрами 1 и 2;
  • угол 1 признают степень угла А, угол 2 — величину угла С, так как эти углы считаются лежащими поперек;
  • таким образом, сумма углов между 1, 2 и 3 (который обзучаться на месте угла В) признается равным широкому углу с вершиной В — и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, равна 180 градусам, то сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило справедливо для любого треугольника.

Что следует из геометрической теоремы

Принято одного из привестной прибыли.

  • Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то по умолчанию один из его углов будет равен 90 градусов, и сумма острых углов также будет равна 90 градусам.
  • Если мы говорим о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, которые в сумме составляют 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
  • Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно каждый из которых будет равен 60 градусам, а в сумме они дадут в сумме 180 градусов.
  • Внешний угол любого треугольника будет равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Можно привести к тому, что в животе из треугольников есть как минимум два угла поворота. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, и если их всего два, то третий угол будет тупым или прямым.

Также необходимо знать, что для сторон прямоугольных треугольников предусмотрены специальные названия. «Длинная» сторона, которая расположена напротив прямого угла, называется гипотенузой, а остальные «короткие» стороны называются катетами. В последующих разделах геометрии эти имена упоминаются очень часто.

Классификация треугольников по видам углов

Рассматривая треугольники как многоугольники с тремя вершинами, в геометрии выделяют следующие разновидности:

  1. Треугольник с острым концом
  2. Приямоугольный (одна из вершин 90º). Стороны, образующие данный угол, — катеты, а сторона, противоположная углу 90°, — гипотенуза.
  3. Тупоугольный (одна из вришин предлагает тупым углом, а две другие — чувства).

В зависимости от особенностей сторон треугольника существует и другая классификация:

  1. Треугольник с выраженными эмоциями по сторонам — равносторонний.
  2. Треугольник с предъявляемыми требованиями к штормам — равобедренный.

Данная классификация предполагает наличие определенных признаков в каждой из названных групп. Эти знаки пригодятся при решении задач, когда нужно доказать особенности какой-либо геометрической фигуры. Спасибо:

  1. Больший угол всегда просмотров натрадый большей строны.
  2. Равные углы всегда расположены так, что напротив них — тяжелые строны.
  3. Любой треугольник (равносторонний, равнобедренный, тупоугольный, рекладный и т п.) имеет 2 угла угла.
  4. Любой внешний угол всегда превышает внутренний угол по величине и равен сумме других, несмежных углов.

Для прямоугольного треугольника есть еще несколько свойств, вытекающих из его определения и изложенных в учебниках геометрии:

  1. Напротив категориальные всегда выставление острые углы.
  2. Гипотенуза всегда превосходит по длине любой из катов, но меньше их суммы.
  3. Тот катет, против которого лежит острый угол 30°, равный половине длины гипотенузы.
  4. Сумма квадратов катетов ривана квадрату гипотенузы. Это свойство доказывается теоремой Пифагора.

Заметка 2

Существует очень производство для равнобедренного треугольника. Его высота, проведенная в сторону фундамента, совпадает с медианой и биссектрисой того угла, который расположен между равными сторонами. Кроме того, она совпадает с осью симметрии треугольника, проведенной по основанию.

Пояснение на примерах

Рассмотрим очень широкое распространение треугольников, приведённых выше, на пимерах.

упражнение 1

Сколько градусов имеет один из углов треугольника, если другие углы равны 25° и 42?

Решение:

На основании теоремы о сумме углов в треугольнике делаем следующий расчет:

180о-(25о+42о)=113о.

Следовательно, этот треугольник тупой.

упражнение 2

Известно, что в треугольнике один из углов равен сумме двух других. Какому треугольнику принадлежит эта геометрическая фигура?

Решение:

Тодна X+2X/2=180 Путем математических игр придим к уравнению вида сообщений: 2X=180, откуда X=90о.

Ответ: у этого треугольника прямой угол, значит, он прямоугольный.

упражнение 3

Дан треугольник ABC. В нем угол C на 15о больше, чем угол A, а угол B — на 30о его меньше. Найдите размер каждого угла

Решение:

Обозначается X вышиту угла A. Тогда угол C=X+15, B=X-30

Источник: wiki.eduvdom.com

Воспользуемся свойством суммы углов треугольника и составим уравнение:

Х+(Х+15)+(Х-30)=180

3х-15=180

3Х=195

Х=65

Ответ: угол A=65°, угол B=65-30=35°, угол C=65+15=80.

Для проверки можно сложить значения полученных результатов: 65+35+80=180о. Следовательно, задача была решена правильно.

упражнение 4

О треугольнике ABC известно, что угол A равен 60º, угол B равен 80º. Из угла A в стране BC опусна бискестриса, образованияв треугольнике ACD. Каких сторон входит в данные треуголник?

Источник: wiki.eduvdom.com

Решение:

Исходя из определения биссектрисы, мы знаем, что это луч, который начинается в вершине угла треугольника и делит его на два равных угла, пересекает противоположную сторону в определенной точке.

Так как биссектриса делит угол А пополам, то образованный угол DAB равен 30о, а угол ADC=30+80=110о (так как это внешний угол треугольника).

Исходя из правила, что сумма углов в треугольнике равна 180°, выполняем математическое действие:

Угол С=180-(110+30)=40о

Ответ: Угол С равен 40о.

упражнение 5

В треугольнике ABC известна величина одного угла: A = 40о. Известно, что угол, примыкающий к углу В, равен 70º. Определить входит во все углы.

Решение:

Решение о создании в сравнении. Обозначает склонность C к X

(Х+40°+(180°-70°))=180

Х+150°=180

Х=30

Этот вариант решения основан на том свойстве, что если сумма смежных углов равна 180º (а именно это мы и видим на рисунке относительно угла B), то величина каждого из них равна 180º минус размер прилежащего угла.

Ответ: Величина угол С = 30о, угол В — 110о.

Проверочным действием является операция сложения всех известных и найденных значений углов: 110о+30о+40о=180о.

упражнение 6

В треугольнике ABC бесплатно угол A (40о). Кроме того, по сотению этого треугольника равностороннего (AC=BC). Найдите значения двух оставшихся углов.

Решение:

Известно, что в равностороннем треугольнике величины углов, прилежащих к этим сторонам, равны. Следовательно, углы В и А равны. Используя теорему о сумме углов в треугольнике, приняв за X значение угла С, получим уравнение:

2*40о+Х=180о

Х=100о

Ответ: Величина угол В равана 40о, угол С — 100о. Следовательно, треугольник тупоугольный.

Примеры задач

задание 1
Это треугольник, у которого острые углы равны 30° и 43°. Найдите значение третьего угла.

Решение:
Из теоремы третий угол равен: 180° – 30° – 43° = 107°.

Задание 2
В равнобедренном треугольнике угол, прилежащий к основанию, равен 35°. Появление противоляжий к основанию угла.

Решение:
Как известно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому их сумма равна 70° (35° * 2). Следовательно, неизвестный угол равен 110° (180° – 70°).

Оцените статью
Блог о Microsoft Word