Теорема Пифагора — формула, доказательство, задачи

Историческая справка

Теорема Пифагора — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древней китайской книге «Чжоу би суань цзин» рассказывается о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2 }=5 ^ {2}$ уже был известен египтянам около 2300 г до н.э. По словам ученого, строители тогда строили прямые углы, используя прямоугольные треугольники со сторонами 3, 4 и 5. Кое-что еще известно о теореме Пифагора у вавилонян. В тексте дается приблизительный расчет гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.

В настоящее время в научной литературе зафиксировано 367 доказательств этой теоремы. Вероятно, теорема Пифагора — единственная теорема с таким внушительным количеством доказательств. Такой вариант можно объяснить только основным смыслом теоремы для геометрии.

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Сторона гипотенузы лежит против прямого угла.

Катет – это одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула теоремы Пифагора выглядит так:

а2 + Ь2 = с2,

где а, b катеты, с гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• а = √c2 − b2
• б = √с2 — а2
• с = √a2 + b2

Помните, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — самая длинная сторона, применяются следующие правила:

• если c2 < a2 + b2, то противолежащий угол c острый.
• если c2 = a2 + b2, то противолежащий угол c прямой.
• если с2 > а2 + Ь2, то угол с противной стороны тупой.

Читайте также: Закон Ома: как связаны между собой напряжение, ток и сопротивление

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Первоначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построен на катетеры.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть указать длину гипотенузы треугольника через с, а длину катетов через а и b:

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

необходимо понятие площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измеряя только длины сторон прямоугольного треугольника.

Формула теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с2 = а2 + b2

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, где ∠C = 90º.

Доказательство: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

• Проведем высоту от вершины С до гипотенузы АВ, основание обозначим буквой Н.
• Прямоугольная фигура ∆ACH равна ∆ABC по двум углам:

∠ACB=∠CHA=90º,

∠A является регулярным.

• Также прямоугольная фигура ∆CBH равна ∆ABC:

∠ACB=∠CHB=90º,

∠B является обычным.

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получаем: a:c = HB:a, b:c = AH:b.

• Таким образом, a2 = c * HB, b2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

а2 + b2 = с * НВ + с * АХ

а2 + b2 = с * (НВ + АН)

а2 + b2 = с*АВ

а2 + Ь2 = с * с

а2 + Ь2 = с2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный.

Дано: ∆ABC

Доказательство: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Нанесем на стороны отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Нарисуем отрезок A₁B₁.
• В результате получается цифра ∆A₁B₁C₁, где ∠C₁=90º.

• На этом рисунке ∆A₁B₁C₁ мы используем теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
• Вот как это получится:

• Следовательно, в треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB на основе результата проектирования,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Следовательно, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC с трех сторон.
• Из подобия фигур следует подобие их углов: ∠C = ∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Примеры задач

упражнение 1
В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, другой 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение:
Воспользуемся формулой теоремы: c2 = 32 + 42 = 25 см2. Следовательно, гипотенуза (с) = 5 см.

Задача 2
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза 10 см. Найдите длину другого катета.

Решение:
Допустим, 6 см — это длина ноги а, и вам нужно найти b.
Как следует из формулы теоремы, квадрат одного катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета.
Они b2 = c2 — a2 = 102 — 62 = 64 см2. Следовательно, b = 8 см.

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как мы решаем:

• Пусть ноги a = 6 и b = 8.
• По теореме Пифагора c2 = a2 + b2.
• Подставляем значения a и bi в формулу:
  с2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
  с = √100 = 10.

Ответ: 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Как мы решаем:

• Выберем наибольшую сторону и проверим, верна ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 145

Ответ: треугольник не прямоугольный.