- Историческая справка
- Основные понятия
- Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.
- Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.
- Формула теоремы
- Теорема Пифагора: доказательство
- Обратная теорема Пифагора: доказательство
- Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.
- Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.
- Примеры задач
- Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
- Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Историческая справка
Теорема Пифагора — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
В древней китайской книге «Чжоу би суань цзин» рассказывается о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2 }=5 ^ {2}$ уже был известен египтянам около 2300 г до н.э. По словам ученого, строители тогда строили прямые углы, используя прямоугольные треугольники со сторонами 3, 4 и 5. Кое-что еще известно о теореме Пифагора у вавилонян. В тексте дается приблизительный расчет гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.
В настоящее время в научной литературе зафиксировано 367 доказательств этой теоремы. Вероятно, теорема Пифагора — единственная теорема с таким внушительным количеством доказательств. Такой вариант можно объяснить только основным смыслом теоремы для геометрии.
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Сторона гипотенузы лежит против прямого угла.
Катет – это одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула теоремы Пифагора выглядит так:
а2 + Ь2 = с2,
где а, b катеты, с гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
- а = √c2 − b2
- б = √с2 — а2
- с = √a2 + b2
Помните, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — самая длинная сторона, применяются следующие правила:
- если c2 < a2 + b2, то противолежащий угол c острый.
- если c2 = a2 + b2, то противолежащий угол c прямой.
- если с2 > а2 + Ь2, то угол с противной стороны тупой.
Читайте также: Закон Ома: как связаны между собой напряжение, ток и сопротивление
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.
Первоначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,
построен на катетеры.
Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть указать длину гипотенузы треугольника через с, а длину катетов через а и b:
Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не
необходимо понятие площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и
измеряя только длины сторон прямоугольного треугольника.
Формула теоремы
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
с2 = а2 + b2
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, где ∠C = 90º.
Доказательство: a2 + b2 = c2.
Пошаговое доказательство:
- Проведем высоту от вершины С до гипотенузы АВ, основание обозначим буквой Н.
- Прямоугольная фигура ∆ACH равна ∆ABC по двум углам:
∠ACB=∠CHA=90º,
∠A является регулярным.
- Также прямоугольная фигура ∆CBH равна ∆ABC:
∠ACB=∠CHB=90º,
∠B является обычным.
- Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получаем: a:c = HB:a, b:c = AH:b.
- Таким образом, a2 = c * HB, b2 = c * AH.
- Сложим полученные равенства:
а2 + b2 = с * НВ + с * АХ
а2 + b2 = с * (НВ + АН)
а2 + b2 = с*АВ
а2 + Ь2 = с * с
а2 + Ь2 = с2
Теорема доказана.
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный.
Дано: ∆ABC
Доказательство: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
- Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
- Нанесем на стороны отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
- Нарисуем отрезок A₁B₁.
- В результате получается цифра ∆A₁B₁C₁, где ∠C₁=90º.
- На этом рисунке ∆A₁B₁C₁ мы используем теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
- Вот как это получится:
- Следовательно, в треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB на основе результата проектирования,
- A₁B₁ = AB по доказанному результату.
- Следовательно, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC с трех сторон.
- Из подобия фигур следует подобие их углов: ∠C = ∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.
Примеры задач
упражнение 1
В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, другой 4 см. Найдите длину гипотенузы.
Решение:
Воспользуемся формулой теоремы: c2 = 32 + 42 = 25 см2. Следовательно, гипотенуза (с) = 5 см.
Задача 2
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза 10 см. Найдите длину другого катета.
Решение:
Допустим, 6 см — это длина ноги а, и вам нужно найти b.
Как следует из формулы теоремы, квадрат одного катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета.
Они b2 = c2 — a2 = 102 — 62 = 64 см2. Следовательно, b = 8 см.
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Как мы решаем:
- Пусть ноги a = 6 и b = 8.
- По теореме Пифагора c2 = a2 + b2.
- Подставляем значения a и bi в формулу:
с2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
с = √100 = 10.
Ответ: 10.
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Как мы решаем:
- Выберем наибольшую сторону и проверим, верна ли теорема Пифагора:
112 = 82 + 92
121 ≠ 145
Ответ: треугольник не прямоугольный.