Теорема синусов: формула и примеры решения задач

Вычисления

Историческая справка

Древнейшее доказательство теоремы синусов на плоскости описано в книге «Трактат о полном четырехугольнике» персидского математика, механика и астронома Насир ад-Дина Ат-Туси (1201 — 1274), написанной в XIII в. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока еще в XI веке. В работе западноаравийского математика, астронома и правоведа Аль-Джаяни (989 — 1050) XI века «Книга о неведомых дугах сферы» дано общее доказательство теоремы синусов о сфере.

Формулировка и формула теоремы

1. Обыкновенная теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

Теорема синусов

Теорема синусов

2. Расширенная теорема

В произвольном треугольнике применимо следующее соотношение:

Расширенная теорема синусов

Расширенная теорема синусов

R — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Расширенная теорема синусов

Теорема

Для произвольного треугольника выполняется соотношение:

frac{a}{sinalpha}=frac{b}{sinbeta}=frac{c}{singamma}=2 R

Здесь R — радиус описанной окружности вокруг рассматриваемого треугольника.

Читайте также: Сумма тангенсов

Доказательство теоремы синусов

Закон синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему с формулой:

стандартный треугольник

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему, используя формулу площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы получаем два соотношения:

  1. На b уменьшаем, используем правило пропорциональности и получаем:

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема будет полезна, чтобы найти:

  • Стороны треугольника по двум углам и стороне.
  • Углы треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство следствия из теоремы синусов

Теорема синусов имеет важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

рассмотрим следствие с точки зрения радиуса

, где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключается в этой формуле:

Двойной радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠A = α острый в треугольнике ABC.

острый в треугольнике ABC

Начертите диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используя теорему о вписанном угле, получаем, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C прямоугольный в том смысле, что ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет ai треугольника BA1C, умножьте гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Поэтому:

Для остроугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. В треугольнике ABC угол ∠A = α тупой.

Начертите диаметр окружности BA1. Точки A и A1 по разные стороны от прямой BC. Квадрат ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство состоит в том, что сумма противоположных углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

тупоугольный треугольник АВС

Вспомните свойство квадрата, вписанного в окружность:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол C при вершине равен 90°, так как он опирается на диаметр. Следовательно, находим катет a таким образом:

А = 2R sin (180° — a) = 2R sin

Поэтому:

Для тупоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

3. Угол ∠А = 90°.

Угол ∠А = 90

В прямоугольнике ABC угол A прямой, а противолежащая сторона BC = α = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Поэтому:

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы профильной математики.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать интересный вывод: если известны одна сторона треугольника и синус противоположного угла, то можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник определяется не только этими значениями. Это означает, что если треугольник еще не определен, то можно найти радиус описанной окружности.

Раскроем эту тему на примере теоремы об угле, вписанном в окружность, и ее следствий.

Теорема о вписанном угле: угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

5fda04529a8b9837562942.png

∠A = α опирается на дугу BC. Дуга BC содержит столько же градусов, сколько и ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

5fda0452afd03893583274.png

Следствие 1 теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

5fda054d00f56044490038.png

∠A = ∠BAC опирается на дугу BC. Следовательно, ∠A = 1/2(∠COB).

Если взять точки А1, А2. А и проводя лучи из зависимых от той же дуги, получаем:

5fda054d53d56049101849.png

На рисунке изображен набор треугольников, имеющих общую сторону СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники подобны, и они имеют одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, в основу которых положен диаметр, равны 90°, то есть прямые.

5fda0624e0211300375483.png

BC — диаметр описанной окружности, следовательно, ∠COB = 180°.

5fda06253dede968565481.png

Следствие 3 теоремы о вписанном угле

Сумма противоположных углов квадрата, вписанного в окружность, равна 180°. Это означает, что:

5fda06254bdba721154056.png

Угол ∠A = α основан на дуге DCB. Следовательно, по теореме о вписанном угле DCB = 2α.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Следовательно, DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Следовательно: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 теоремы о вписанном угле

Синусы противоположных углов вписанного квадрата равны. Это:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Применение

Теорема синусов также используется для нахождения углов, сторон (обычно пропорции), но чаще для нахождения радиуса описанной окружности.

Теорема синусов есть и в первой части ОГЭ: список упражнений из открытой банки .

Примеры решения задач

Теорема синусов и ее следствия активно используются для решения задач. Давайте рассмотрим несколько примеров для закрепления материала.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠C = 15°, BC = 4√6. Найдите переменный ток.

Пример решения задачи на теорему синусов

Как мы решаем:

  • Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠А + ∠В + ∠С = 180°

    ∠В = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Находим сторону переменного тока по теореме синусов:

Ответ: АС = 12.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника соответственно равны 10 и 8 см. Найдите угол против данного катета.

Как мы решаем:

Возьмем за х неизвестный угол. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Поэтому:

Фонды .

Ответ: Угол примерно равен 53,1°.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word