- Формулировка теоремы
- Применение теоремы
- Пример задачи
- 5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
- 6. Найти длину биссектрисы в треугольнике
- 7. Биссектриса прямоугольного треугольника
- 8. Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
- 9. Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
- 10. Найти длину медианы треугольника по формулам
- 11. Длина медианы прямоугольного треугольника
Формулировка теоремы
Дан треугольник АВС. На стороне AC взята точка D, которая соединена с вершиной B. Используем следующие обозначения:
- АВ=а
- БК=б
- БД=р
- AD=х
- DC=у
Для этого треугольника верно равенство:
Применение теоремы
Из теоремы Стюарта можно вывести формулы для нахождения медианы и биссектрисы треугольника:
1. Длина биссектрисы
Пусть lc — биссектриса, проведенная к стороне c и разделенная на отрезки x и y. Возьмем две другие стороны треугольника за a и b. В этом случае:
2. Средняя длина
Пусть mc — медиана, приходящаяся на сторону c. Обозначим две другие стороны треугольника как a и b, тогда:
Пример задачи
Дан треугольник АВС. На стороне АС, равной 9 см, берется точка D, которая делит сторону так, что AD вдвое длиннее DC. Длина отрезка, соединяющего вершину B и точку D, равна 5 см. Образовавшийся треугольник ABD равнобедренный. Найдите остальные стороны треугольника ABC.
Решение
Изобразим условия задачи в виде рисунка.
AC = AD + DC = 9 см. Отрезок AD в два раза длиннее DC, т е. AD=2DC.
Следовательно, 2ДС+ДС=3ДС=9 см. Следовательно, DC = 3 см, AD = 6 см.
Поскольку треугольник ABD равнобедренный, а сторона AD равна 6 см, то AB и BD равны, т е. AB = 5 см.
Остается только найти ВС, выведя формулу из теоремы Стюарта:
Заменяем известные значения этим выражением:
Таким образом, ВС = √52 ≈ 7,21 см.
5. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике стороны являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H — высота от прямого угла
а, б — ноги
в — гипотенуза
с1, с2 — отрезки, полученные делением гипотенузы, высоты
α, β — углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через гипотенузу и острый угол (H):
Формула для длины высоты через катет и угол, (H):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы (H):
6. Найти длину биссектрисы в треугольнике
L- биссектриса, отрезок |OB|, делящий пополам угол ABC
а, б — стороны треугольника
c — сторона, с которой утоплена биссектриса
г, е — отрезки, полученные делением биссектрисы
γ — угол ABC, разделенный пополам биссектрисой
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол (L):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
Длина биссектрисы через три стороны, (L):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC совпадает с центром О, вписанной окружности.
7. Биссектриса прямоугольного треугольника
1. Найдите длину биссектрисы от прямого угла до гипотенузы по формулам:
L — биссектриса, отрезок ME начинается от прямого угла (90 градусов)
а, б — катеты прямоугольного треугольника
в — гипотенуза
α — угол, прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты (L):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол (L):
2. Найдите длину биссектрисы от острого угла до катета по формулам:
L — биссектриса, отрезок ME начинается от острого угла
а, б — катеты прямоугольного треугольника
в — гипотенуза
α, β — углы, прилежащие к гипотенузе
Формулы для длины биссектрисы, проведенной через катет и угол, (L):
Формула длины биссектрисы, проведенной через катет и гипотенузу (L):
8. Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
L — высота = биссектриса = медиана
а — равные стороны треугольника
б — база
α — равные углы при основании
β — угол, образованный равными сторонами
Формулы для высоты, биссектрисы и медианы через сторону и угол (L):
Формула для высоты, биссектрисы и медианы относительно сторон (L):
Читайте также: Планеты Солнечной системы
9. Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
Формула расчета высоты = биссектриса = медиана.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы равны. Точка их пересечения — центр вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
а — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника (L):
10. Найти длину медианы треугольника по формулам
Медиана — это отрезок |AO| которая выходит из вершины A и делит пополам противоположную сторону c.
Медиана делит треугольник ABC на два равных треугольника AOC и ABO.
М — медиана, сегмент |АО|
c — сторона, на которой лежит медиана
а, б — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы по трем сторонам (M):
Формула длины медианы двух сторон и угла между ними (M):
11. Длина медианы прямоугольного треугольника
Медиана, отрезок |CO|, выходит из вершины прямого угла BCA и делит гипотенузу ci пополам.
Медиана прямоугольного треугольника (М) равна радиусу описанной окружности (R).
М — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
в — гипотенуза
а, б — ноги
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы (M):
Формула длины в виде ножек, (М):
Формула длины в виде катета и острого угла, (М):
