Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — один из фундаментальных принципов геометрии Евклида. Он устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. И это звучит так:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
с2 = а2 + b2.
Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов. Это объясняется тем, что косинус 90 градусов равен нулю.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса — это свойство параллельных прямых, пересекающих две секущие с общей точкой.
Вообще есть две теоремы Фалеса — общая, на все случаи жизни, и частная — то, что нужно для решения задач по ЕГЭ по математике.
Через произвольные точки A1, A2, … An–1, An, лежащие на стороне AO угла AOB, параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках B1, B2, … Bn–1, Bn соответственно. Тогда есть справедливое равенство:
В ЕГЭ по математике теорема Фалеса чаще всего встречается в параллелограмме с диагональю, — будьте начеку.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора Но на самом деле теорема Пифагора работает для любого треугольника, только в этом случае она называется теоремой косинусов.
Квадрат длин сторон треугольника равен сумме квадратов длин других сторон за вычетом удвоенного произведения длин сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Собственно, по формуле сразу становится понятно, почему это соотношение называется теоремой косинусов. Он также чрезвычайно похож на разность квадратов с вычислением косинуса, так что запомнить его не очень сложно. А если вспомнить, что косинус 90 градусов равен 0, то мы увидим всем знакомую теорему Пифагора.
Читайте также: Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Теорема синусов
Казалось бы, синус — это что-то из тригонометрии, но это еще не все. Планиметрия может смело с ней спорить, и теорема синусов — наглядный аргумент в этом воображаемом споре. Короче говоря, теорема синусов — это формула соединения угла с противоположной стороной треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства:
,
где R — радиус, описанный вокруг окружности треугольника.
По теореме синусов, во-первых, можно быстро найти радиус описанной окружности на известной стороне и противоположной углу. Во-вторых, если треугольник не прямоугольный, то в нем можно просто найти синус угла по известной стороне и радиус описанной окружности. Ну и в конце концов, можно использовать отношения между двумя сторонами и углами. Формула синусов в ЕГЭ по математике используется нечасто, но иметь ее в своем арсенале полезно и обязательно.
Теорема Менелая
Ее еще называют теоремой треугольника и секущей, и звучит она так:
Если точки C1 и A1 взять на сторонах AB и BC треугольника ABC соответственно, а точку B1 взять на продолжении стороны AC до точки C, то точки C1, A1 и B1 лежат на той же прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
Теорема Менелайя подходит для решения 2-й части ЕГЭ по математике. Он поможет уменьшить огромную кучу исписанных листов при решении и сэкономить время на экзамене, ведь помогает решать в несколько действий.
Чтобы легко запомнить все основные теоремы из геометрии для ЕГЭ по математике, скачайте и распечатайте удобную шпаргалку. Помимо теорем из этой статьи есть еще две редкие — теоремы Чеви и Вариньона, а также задачи на доказательство.
Математика – обязательный предмет, без которого вы не получите аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Делимся типичными ошибками в ЕГЭ по математике, а также требуем, чтобы отработать теорию на практике.
