Тождественные выражения в математике
Рассмотрим три простых алгебраических выражения:
- 5x + 10;
- (х + 2) cdot 5
- фракция{20x + 40}{4}
Независимо от используемых значений x все три выражения равны друг другу.
Для доказательства используем элементарные преобразования, разрешенные в математике, и получаем, что 5x + 10 = 5x + 10 = 5x + 10, то есть все три выражения равны между собой. Для упрощения становится ясно, что какие бы x ни были выбраны, эти выражения всегда будут равны.
Приходим непосредственно к определению тождественных выражений:
Выражения называются идентичными друг другу, если при некоторых значениях переменных они всегда равны друг другу.
Например, можно сказать, что выражение 5x + 10 идентично выражениям (x + 2) cdot 5 и frac{20x + 40}{4}.
Также стоит отметить, что выражения не всегда идентичны для всех возможных значений переменных, например выражения frac{y^2-4}{y-2} и y+2 идентичны для всех y, кроме y=2.
При значении у равном двум первое из этих двух выражений теряет смысл, так как делить на ноль нельзя, и при этом значении в знаменателе получается нуль.
Эти выражения можно назвать одинаковыми для всех допустимых значений переменной y, то есть эти выражения одинаковы для всех y, при которых оба выражения не теряют своего смысла. Такие выражения называются тождественными на заданном множестве значений.
Читайте также: Что такое правильный многоугольник: определение, признаки, элементы, виды
Что представляет собой тождество
Начнем с определения понятия идентичности.
Определение 1
Тождество — это равенство, истинное для всех значений переменных. По сути, тождество — это любое числовое подобие.
По мере анализа темы мы можем уточнять и дополнять это определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.
Определение 2
Тождество — это истинное числовое равенство, а также равенство, которое будет истинным для всех допустимых значений переменных, входящих в его состав.
Любые значения переменных для определения тождества обсуждаются в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает выполнение операций исключительно с целочисленными выражениями (единицами и многочленами). Они имеют смысл для всех значений переменных, входящих в их состав.
Программа Grade 8 расширена за счет вычисления выражений, имеющих смысл только для значений переменных из DPV. В связи с этим меняется и определение личности. Действительно, тождество становится частным случаем подобия, так как не всякое подобие есть тождество.
Понятия «тождество» и «тождественное равенство»
Что такое тождество в алгебре?
Определение 2
Тождество в математике — это равенство, которое выполняется всегда или, другими словами, верно для всех наборов значений переменных.
Если два или более одинаковых выражения написать рядом друг с другом через знак «равно», мы получим тождественное сходство, т е тождество.
К этим же равенствам относятся коммутативный закон сложения $a+b =b + a$ и ассоциативный закон умножения $(ab) cdot c = a cdot (bc)$, поскольку они верны независимо от значения переменные $a,b,c$. Сокращенные формулы для разности квадратов, разности квадратов и суммы квадратов являются другими примерами идентичных уравнений.
Иногда тождествами называют не только выражения, содержащие некоторые переменные, но и все арифметически верные равенства вида $2+2=4$.
Никакое равенство, содержащее переменные, нельзя назвать тождеством. Например, равенство $y+5 = 7$ соблюдается только при $y= 2$, при любом другом значении $y$ оно не соблюдается и поэтому не может называться тождеством.
Знак тождества
Запись равенства предполагает наличие знака равенства «=», от которого некоторые числа или выражения располагаются справа и слева. Знак тождества выглядит как три параллельные линии «≡». Его также называют знаком тождественного равенства.
Обычно регистрация личности ничем не отличается от регистрации обычного равенства. Знак тождества можно использовать, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело не с простым подобием, а с тождеством.
Примеры тождеств
Перейдем к примерам.
Пример 1
Числовые равенства 2≡2 и -3≡-3 являются примерами тождеств. Согласно данному выше определению, всякое истинное числовое равенство по определению есть тождество, и данные равенства истинны. Их также можно записать следующим образом: 2≡2 и -3≡-3.
Пример 2
Равенства 2+3=5 и 7−1=2 3 тоже можно считать тождествами, поскольку они верны. Здесь мы также можем написать 2+3≡5 и 7−1≡2·3.
Тождества могут содержать не только числа, но и переменные.
Пример 3
Возьмем уравнение 3 (x+1)=3x+3. Это равенство выполняется для любого значения x. Этот факт подтверждается распределительным свойством умножения по отношению к сложению. Это означает, что данное подобие есть тождество.
Пример 4
Возьмем тождество y (x−1)≡(x−1)x:x y2:y. Рассмотрим диапазон допустимых значений переменных x и y. Это все числа, отличные от нуля.
Пример 5
Возьмем равенства x+1=x−1, a+2 b=b+2 a и |x|=x. Есть ряд значений переменных, для которых эти сходства неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 становится неверным равенством 2+1=2−1. И вообще равенство x+1=x−1 не достигается при некоторых значениях переменной x.
Во втором случае равенство a+2·b=b+2·a неверно во всех случаях, когда переменные a и b имеют разные значения. Возьмем a=0 и b=1 и получим неверное равенство 0+2·1=1+2·0.
Равенство, где |x| — Модуль переменной х тоже не тождество, так как он неверен при отрицательных значениях х.
Это означает, что данные подобия не являются тождествами.
Пример 6
Если вспомнить тригонометрию и логарифмы, то здесь тоже можно найти примеры тождеств. Это основное логарифмическое тождество alogab=b и основное тригонометрическое тождество вида sin2α+cos2α=1.
В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Когда мы фиксируем действия над числами, мы работаем с тождествами. Тождества — это записи свойств степеней, свойств корней и других.
Тождественные преобразования
Очень часто для упрощения процесса вычисления некоторых выражений, а также для их сравнения и более удобной подстановки переменных в равенства используются различные математические преобразования. Эти преобразования называются тождественными преобразованиями, так как они не меняют конечные значения выражений и равенств.
Определение 4
Преобразования тождества — это преобразования и замены одного выражения другим, тождественным ему, которые не изменяют конечного значения выражений и не приводят к нарушению тождества подобия.
Любое выражение при всех допустимых значениях используемых в нем переменных имеет определенное значение. Отсюда можно сделать вывод, что применение различных законов, наблюдаемых для арифметических действий, приводит к превращению исходного выражения в новое, тождественное исходному выражению.
Пример 1
Какие выражения идентичны?
- (10 + 3) и 13 cdot (1 +5).
- (x^2 + y^2) и (x – y)(x+y).
- 8 и (2cdot 3 + 16 – 14).
- 7 долларов + 4 доллара и 6 долларов + 6 долларов.
Отвечать:
Выражения под номерами 2 и 3 идентичны, в случае выражения под номером 2 слева дана сокращенная формула разности квадратов, а справа расширенная. Что касается третьего выражения, упростите выражение справа:
(2cdot 3 + 16 — 14)= 6 + 16 — 14 = 8
8 долларов = 8 долларов.
Доказательство тождеств.
Для доказательства тождества необходимо произвести одинаковые преобразования обоих или части равенства, и получить одинаковые алгебраические выражения слева и справа.
Например, для подтверждения личности:
Вынесем х за скобки:
Уменьшаем на х:
Квадратная разница:
Уменьшим на х-1:
Это равенство является тождеством для x ≠ 0 и x ≠ 1.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти значение 1 для переменной (которая действительна), для которой числовые выражения (которые были получены) не будут равны между собой.
Например:
x−1 = x+1 — уменьшить на x для простоты;
5−1 ≠ 5+1 — подставить, например, 5.
Это сходство не тождество.
Разница между тождеством и уравнением.
Тождество верно для всех значений переменных, а уравнение — это равенство, истинное только для одного или нескольких значений переменной.
Например:
х + 20 = 30;
Это выражение верно только для x = 10.
Тождеством будет равенство, не содержащее переменных.
Пример:
33 = 27.
Пример задачи
Определите, какие из следующих сходств являются тождествами:
- 212 + х = 2х — х + 199 + 13
- 16 ⋅ (х + 4) = 16х + 60
- 10 — (-х) + 22 = 10х + 22
- 1 — (х — 7) = -х — 6
- х2 + 2х = 2х3
- (15 – 3)2 = 152 + 2 ⋅ 15 ⋅ 3 – 32
Отвечать:
Тождества — это первое и четвертое равенство, потому что при всех значениях х обе их части всегда будут иметь одинаковые значения.