Трапеция

Вычисления

Определение трапеции

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны называются боковыми сторонами (AB и CD).

Угол при основании трапеции — это внутренний угол трапеции, образованный основанием и стороной, например α и β.

Трапецию записывают перечислением вершин, чаще всего ABCD. А основания обозначаются маленькими латинскими буквами, например a и b.

Срединная линия трапеции (MN) — это отрезок, соединяющий середины сторон.

Высота трапеции (h или BK) — это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобедренной).

АВ=CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла с одной стороны прямые, называется прямоугольной.

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является масштабной, если ее стороны не равны и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

  •  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

  •  Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании (или продолжении) отрезок, равный стороне.

биссектриса трапеции

  •  Треугольники и образованы отрезками диагоналей и оснований трапеции равны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников равно .

57

  •  Треугольники и образованные отрезками диагоналей и сторон трапеции имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликих треугольников

  •  В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме сторон.

окружность вписанная в трапецию

  •  Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

qq

  •  Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на прямой.

е

  •  Если сумма углов любого основания трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности.

трапеция с углами при основании 90

Свойство 1

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

α + β = 180°

Свойство 2

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Формула нахождения средней линии трапеции через длины оснований

Свойство 3

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии и равен половине разности оснований.

Формула нахождения отрезка между серединами диагоналей трапеции

  • KL — отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
  • KL лежит на средней линии трапеции MN

Свойство 4

Пересечения диагоналей трапеции, продолжения сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

  • ДК — продолжение стороны КР
  • АК — продолжение стороны АВ
  • E – середина основания BC, т.е. BE=EC
  • F — середина основания AD, т е. AF=FD

Если сумма углов при основании равна 90° (т е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), то продолжения сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований (ML) равна половине их разности.

Формула нахождения отрезка между серединами оснований трапеции

Свойство 5

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (у оснований) равны, а два других (у сторон) равны по площади.

  • ∆AED ~ ∆BEC
  • SΔABE = SΔCED

Свойство 6

Отрезок, проходящий через пересечение диагоналей трапеции, параллельных основаниям, можно выразить через длины оснований:

Формула нахождения отрезка, проходящего через пересечение диагоналей трапеции

Свойство 7

Биссектрисы углов трапеции с одной стороной взаимно перпендикулярны.

  • AP — биссектриса ∠BAD
  • BR — биссектриса ∠ABC
  • AP перпендикулярно BR

Свойство 8

Окружность можно вписать в трапецию только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее сторон.

. АД + ВС = АВ + CD

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты: R = h/2.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  •  В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

  •  В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
  •  Если в трапецию можно вписать окружность, то трапеция равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

  •  Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
  •  Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна половине суммы оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Читайте также: Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы

Свойства углов трапеции

  • Четырехугольные угловые свойства
    • Сумма углов трапеции равна 360°
    • Сумма внешних углов трапеции, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
    • Каждый угол трапеции всегда меньше суммы трех других углов.
  • Свойства трапециевидного угла
  1.  Сумма углов, прилежащих к стороне, равна 180°: ∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°
  2.  Каждая диагональ трапеции образует с основаниями равные углы.
  3.  Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании отрезок, равный стороне: AB=BE.
  4.  Полупроводники смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Основные формулы:

Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

  •  Половина произведения суммы оснований и высоты трапеции.
  •  Разделить произведение диагоналей на синус угла между ними пополам.

Стороны и диагонали равнобедренной трапеции:
трапеция
Расшифровка:
а,б — основания,
в,г — боковые стороны (в — боковые стороны, если трапеция равнобедренная),
d1, d2 — диагонали,
П периметр,
С площадь,
h — высота, проведенная в противоположную сторону

Формулы определения длин сторон трапеции:

  •  Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другое основание:

а = 2м — б

б = 2м — а

  •  Формулы длины оснований через высоту и углы при основании:

a = b + h (ctg α + ctg β)

b = a — h (ctg α + ctg β)

  •  Формулы длины оснований через стороны и углы с нижним основанием:

a = b + c, потому что α + d, потому что β

b = a — c, потому что α — d, потому что β

  •  Формулы сторон через высоту и углы при нижнем основании:
с = час        д = час
син sinβ

 

Формулы определения длины средней линии трапеции:

  •  Формула определения длины центральной линии через длины оснований:
м = а+б
2
  •  Формула определения длины центральной линии через площадь и высоту:
м = С
час

Формулы определения длины высоты трапеции:

  •  Формула высоты через сторону и прилежащий угол при основании:

h = c sin α = d sin β

  •  Формула высоты в виде диагоналей и углов между ними:
ч = грех γ d1d2  = грех δ d1d2
а+б а+б
  •  Формула высоты в виде диагоналей, углов между ними и средней линии:
ч = грех γ d1d2  = грех δ d1d2
2 м 2 м
  •  Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
ч =
а+б
  •  Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
ч = С
м

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

  •  Диагональные формулы по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac, потому что α

  •  Формулы для диагоналей в виде четырех сторон:
д1 = d2+аб — а(д2 — с2)
аб
д2 = с2+аб — а(с2 — d2)
аб
  •  Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a — h ctg β)2 = √h2 + (b + h ctg α)2

d2 = √h2 + (a — h ctg α)2 = √h2 + (b + h ctg β)2

  •  Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d2 + 2ab — d22

d2 = √c2 + d2 + 2ab — d12

Формула определения периметра трапеции:

  •  Формула периметра в терминах оснований:

Р = а + б + с + г

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

  •  Формула радиуса через стороны и диагонали:
Р = ас d1
4√p(p-a)(p-c)(p-d1)

где

р = а+с+d1
2

а — большая база

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

  •  Формула определения длины отрезков, проходящих через трапецию:
КМ=НЛ = б    КН=МЛ = один    ТО=ОК = аб
2 2 а+б

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность радиуса и делит сторону в точке касания на два отрезка — и , то

4

Площадь

или где центральная линия

трапециевидная площадь

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m=displaystyle frac{a+b}{2}
.

2-2.png

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Середина из них равна полуразности оснований, а два крайних равны между собой: ЭФ=ГХ,; FG=displaystyle frac{ab}{2}
.

3-2.png

Теорема 3. Средняя линия треугольника, состоящего из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: ПК=МН
.

4-2.png

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

5-2.png

Эту теорему также называют «Замечательным свойством трапеций».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие стороны, равны (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, равны.

6-2.png

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если в окружность вписана трапеция, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, вокруг нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме сторон.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word