Трапеция

Определение трапеции

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны называются боковыми сторонами (AB и CD).

Угол при основании трапеции — это внутренний угол трапеции, образованный основанием и стороной, например α и β.

Трапецию записывают перечислением вершин, чаще всего ABCD. А основания обозначаются маленькими латинскими буквами, например a и b.

Срединная линия трапеции (MN) — это отрезок, соединяющий середины сторон.

Высота трапеции (h или BK) — это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобедренной).

АВ=CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла с одной стороны прямые, называется прямоугольной.

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является масштабной, если ее стороны не равны и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

•  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

•  Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании (или продолжении) отрезок, равный стороне.

•  Треугольники и образованы отрезками диагоналей и оснований трапеции равны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников равно .

•  Треугольники и образованные отрезками диагоналей и сторон трапеции имеют одинаковую площадь.

•  В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме сторон.

•  Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

•  Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на прямой.

•  Если сумма углов любого основания трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности.

Свойство 1

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

α + β = 180°

Свойство 2

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Свойство 3

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии и равен половине разности оснований.

• KL — отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
• KL лежит на средней линии трапеции MN

Свойство 4

Пересечения диагоналей трапеции, продолжения сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

• ДК — продолжение стороны КР
• АК — продолжение стороны АВ
• E – середина основания BC, т.е. BE=EC
• F — середина основания AD, т е. AF=FD

Если сумма углов при основании равна 90° (т е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), то продолжения сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований (ML) равна половине их разности.

Свойство 5

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (у оснований) равны, а два других (у сторон) равны по площади.

• ∆AED ~ ∆BEC
• SΔABE = SΔCED

Свойство 6

Отрезок, проходящий через пересечение диагоналей трапеции, параллельных основаниям, можно выразить через длины оснований:

Свойство 7

Биссектрисы углов трапеции с одной стороной взаимно перпендикулярны.

• AP — биссектриса ∠BAD
• BR — биссектриса ∠ABC
• AP перпендикулярно BR

Свойство 8

Окружность можно вписать в трапецию только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее сторон.

. АД + ВС = АВ + CD

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты: R = h/2.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

•  В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

•  В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
•  Если в трапецию можно вписать окружность, то трапеция равнобедренная.

•  Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
•  Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна половине суммы оснований.

Читайте также: Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы

Свойства углов трапеции

• Четырехугольные угловые свойства
  • Сумма углов трапеции равна 360°
  • Сумма внешних углов трапеции, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
  • Каждый угол трапеции всегда меньше суммы трех других углов.

• Свойства трапециевидного угла

1.  Сумма углов, прилежащих к стороне, равна 180°: ∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°
2.  Каждая диагональ трапеции образует с основаниями равные углы.
3.  Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании отрезок, равный стороне: AB=BE.
4.  Полупроводники смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Основные формулы:

Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

•  Половина произведения суммы оснований и высоты трапеции.

•  Разделить произведение диагоналей на синус угла между ними пополам.

Стороны и диагонали равнобедренной трапеции:

Расшифровка:
а,б — основания,
в,г — боковые стороны (в — боковые стороны, если трапеция равнобедренная),
d1, d2 — диагонали,
П периметр,
С площадь,
h — высота, проведенная в противоположную сторону

Формулы определения длин сторон трапеции:

•  Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другое основание:

а = 2м — б

б = 2м — а

•  Формулы длины оснований через высоту и углы при основании:

a = b + h (ctg α + ctg β)

b = a — h (ctg α + ctg β)

•  Формулы длины оснований через стороны и углы с нижним основанием:

a = b + c, потому что α + d, потому что β

b = a — c, потому что α — d, потому что β

•  Формулы сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	час	д =	час
син	sinβ

 

Формулы определения длины средней линии трапеции:

•  Формула определения длины центральной линии через длины оснований:

м =	а+б
2

•  Формула определения длины центральной линии через площадь и высоту:

м =	С
час

Формулы определения длины высоты трапеции:

•  Формула высоты через сторону и прилежащий угол при основании:

h = c sin α = d sin β

•  Формула высоты в виде диагоналей и углов между ними:

ч =	грех γ	d1d2	=	грех δ	d1d2
а+б	а+б

•  Формула высоты в виде диагоналей, углов между ними и средней линии:

ч =	грех γ	d1d2	=	грех δ	d1d2
2 м	2 м

•  Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

ч =	2С
а+б

•  Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

ч =	С
м

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

•  Диагональные формулы по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac, потому что α

•  Формулы для диагоналей в виде четырех сторон:

д1 =	√	d2+аб —	а(д2 — с2)
аб

д2 =	√	с2+аб —	а(с2 — d2)
аб

•  Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a — h ctg β)2 = √h2 + (b + h ctg α)2

d2 = √h2 + (a — h ctg α)2 = √h2 + (b + h ctg β)2

•  Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d2 + 2ab — d22

d2 = √c2 + d2 + 2ab — d12

Формула определения периметра трапеции:

•  Формула периметра в терминах оснований:

Р = а + б + с + г

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

•  Формула радиуса через стороны и диагонали:

Р =	ас d1
4√p(p-a)(p-c)(p-d1)

где

р =	а+с+d1
2

а — большая база

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

•  Формула определения длины отрезков, проходящих через трапецию:

КМ=НЛ =	б	КН=МЛ =	один	ТО=ОК =	аб
2	2	а+б

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность радиуса и делит сторону в точке касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где центральная линия

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
.

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Середина из них равна полуразности оснований, а два крайних равны между собой:
.

Теорема 3. Средняя линия треугольника, состоящего из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции:
.

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Эту теорему также называют «Замечательным свойством трапеций».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие стороны, равны (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, равны.

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если в окружность вписана трапеция, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, вокруг нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме сторон.