Трапеция: свойства, признаки, площадь, средняя линия — материалы для подготовки к ЕГЭ

Определения для трапеции:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (BC и AD), непараллельные стороны называются сторонами (AB и CD).

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, проходящей через другое основание трапеции.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон данной трапеции (на рис. МН). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине суммы. Центральная линия параллельна основаниям. Длина находится по формуле: MN=(AD+BC)/2

M — середина AB, N — середина CD,
AD||BC, MN||AD, MN||BC,

Равнобедренная (равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой стороны равны (AB=CD).
В равнобедренной трапеции:
— углы при основании равны,
— проекции сторон основания равны: AE=FD,
диагонали равны.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям.

Свойства углов трапеции

• Четырехугольные угловые свойства
  • Сумма углов трапеции равна 360°
  • Сумма внешних углов трапеции, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
  • Каждый угол трапеции всегда меньше суммы трех других углов.

• Свойства трапециевидного угла

1. Сумма углов, прилежащих к стороне, равна 180°: ∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°

2. Каждая диагональ трапеции образует с основаниями равные углы.

3. Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании отрезок, равный стороне: AB=BE.

4. Полупроводники смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Свойства сторон трапеции

• Свойства сторон трапеции (как квадрата)
  • Каждая сторона квадрата меньше суммы всех остальных его сторон.
  • Сумма диагоналей меньше длины окружности.
• Диагонали трапеции (как квадрата)
  • Диагонали пересекаются в одной точке.
  • Произведение диагоналей вписанного квадрата равно сумме произведений противоположных сторон.
  • Две противоположные стороны четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

На пересечении диагоналей трапеции и продолжений сторон образуются подобные треугольники, примыкающие к основаниям.

Трапеция и окружность

В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме ее сторон (a+b=c+d). Центр окружности, вписанной в трапецию, является точкой пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
Радиус вписанной окружности:

Вокруг трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. Центр окружности, описанной вокруг трапеции, является точкой пересечения всех четырех серединных перпендикуляров сторон.

AB=CD ⇒ ∠ABC=∠DCB, ∠BAD=∠CDA;
АВ=CD ⇒ АС=BD;
AB=CD ⇒ ABCD вписанный

Читайте также: Таблицы значений основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Основные формулы:

Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

1. Половина произведения суммы оснований и высоты трапеции.

2. Разделить произведение диагоналей на синус угла между ними пополам.

Стороны и диагонали равнобедренной трапеции:

Расшифровка:
а,б — основания,
в,г — боковые стороны (в — боковые стороны, если трапеция равнобедренная),
d1, d2 — диагонали,
П периметр,
С площадь,
h — высота, проведенная в противоположную сторону

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
.

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Середина из них равна полуразности оснований, а два крайних равны между собой:
.

Теорема 3. Средняя линия треугольника, состоящего из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции:
.

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Эту теорему также называют «Замечательным свойством трапеций».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие стороны, равны (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, равны.

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, называется ее средней линией.

• LM — средняя линия трапеции ABCD
• L — середина стороны AB, т е. AL=LB
• M — середина стороны CD, т е. CM=MD

Свойства средней линии трапеции

Свойство 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Для изображения выше:

Свойство 2

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основании данной трапеции.

Свойство 3

Центральная линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых связаны следующим образом (см первый рисунок публикации):

Признак средней линии трапеции

Если отрезок, выходящий из середины стороны трапеции, пересекает другую ее сторону и параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

Вторая средняя линия

Иногда дополнительно выделяют вторую срединную линию трапеции — отрезок, соединяющий середины оснований. При этом следует помнить, что на него не распространяются свойства 1-3 и рассмотренный выше признак.

Вторая срединная линия равнобедренной трапеции также является высотой.

Пример задачи

Средняя линия трапеции 25 см, высота 7 см. Найдите площадь фигуры.

Решение

Как известно, площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b)/2 ⋅ h

В этом случае половина суммы оснований является средней линией. Обозначим его буквой m, то есть m = (a+b)/2.

Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см2.

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если в окружность вписана трапеция, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, вокруг нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если в трапецию можно вписать окружность, то трапеция равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна половине суммы оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность радиуса и делит сторону в точке касания на два отрезка — и , то