Треугольник

Определение треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которая образована путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.

• Точки А, В и С являются вершинами треугольника.
• Отрезки АВ, ВС и АС являются сторонами треугольника, который часто обозначают одной латинской буквой. Например, АВ = а, ВС = b, АС = с.
• Внутренняя часть треугольника – это часть плоскости, ограниченная сторонами треугольника.

Стороны треугольника в углах образуют три угла, традиционно обозначаемые греческими буквами — α, β, γ и т д. Из-за этого треугольник также называют многоугольником с тремя углами.

Углы также могут обозначаться специальным символом “∠“:

• α — ∠BAC или ∠CAB
• β — ∠ABC или ∠CBA
• γ — ∠ACB или ∠BCA

Классификация треугольников

В зависимости от величины углов или количества равных сторон различают следующие виды фигур:

1. Остроугольный — треугольник, у которого все три угла острые, т.е меньше 90°.

2. Тупоугольный — треугольник, у которого один из углов больше 90°. Два других угла острые.

3. Прямоугольный — треугольник, у которого один из углов прямой, т.е равен 90°. На такой фигуре две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АВ и АС). Третья сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

5. Равнобедренный – треугольник, имеющий две равные стороны, которые называются боковыми (АВ и ВС). Третья сторона – основание (АС). На этом рисунке углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).

6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Все углы также равны 60°.

Виды углов в треугольнике:

Чтобы лучше понять, что такое треугольники, изучим
какие углы в треугольниках.

• Острый угол
  Это любой угол меньше 90°.

• Тупой угол
  Это любой угол больше 90°, но меньше 180°.

• Прямой угол
  Это угол 90°.

• Расширенный угол
  Это угол 180°.

По величине углов

1. 
   Остроугольный треугольник — Все углы в треугольнике острые.
2. 
   Тупоугольный треугольник — один из углов тупого треугольника (больше 90°).
3. 
   Прямоугольный треугольник — один из углов прямоугольного треугольника (равный 90°).

По числу равных сторон

1. 
   Масштаб треугольника — все три стороны не равны.
2. 
   Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
3. 
   Равносторонний треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Читайте также: Умножение матриц: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников:+ показать

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов прямой (равный 90˚).

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются сторонами, третья сторона называется основанием.

Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2.  Равные углы лежат на равных сторонах, и наоборот.
3.  Сумма углов треугольника равна 180º .
4.  Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
   не рядом:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

1.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1.  Треугольники подобны, если у них соответственно две стороны и угол между ними равны.

1.   Треугольники подобны, если у них есть два угла и сторона, прилежащая к ним соответственно.

1.  Треугольники подобны, если у них соответственно три равные стороны.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними в треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то такие треугольники равны. Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два смежных угла треугольника соответственно равны стороне и двум смежным углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение: Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а равные стороны пропорциональны.

∆ABS ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и АБМН = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники равны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Характеристики. Площади подобных треугольников связаны как квадрат коэффициента подобия:

S∆ABCSS∆MNK = k2

Правило существования треугольника

Используя свойство стороны треугольника, мы можем узнать, существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон, и если их сумма больше длины самой длинной стороны, треугольник существует.

Например, существует ли треугольник со сторонами 3, 7 и 15 см?

Решение: проверить свойство сторон треугольника: сложить две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3 + 7 = 10, а 10 < 15, то есть треугольник не получится.

А вот такие длины сторон 5 см, 7 см и 6 см вполне могут образовать треугольник: прибавьте 5 + 6 = 11 и 11 > 7 — есть треугольник с такими длинами сторон.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрисы треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где полупериметр

Формула Герона

, где полупериметр

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

один	=	б	=	с	= 2р
син	sinβ	грех γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac, потому что β

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b, потому что γ + c, потому что β

b = а, потому что γ + с, потому что α

c = а, потому что β + b, потому что α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Боковые формулы для медиан

а = 23√2(mb2 + mc2) — ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Медианы треугольника

Определение: Медиана треугольника — это отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
2. На пересечении медианы треугольника они делятся в соотношении два к одному (2:1)

   AOOD=BOOE=COOF=21

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равные части

   S∆ABD = S∆ACD

   S∆BEA = S∆BEC

   S∆CBF = S∆CAF

4. Треугольник разделен тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

   S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD ​​= S∆COE

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медианы треугольника через стороны

ма = 12√2b2+2c2-a2

мб = 12√2a2+2c2-b2

мс = 12√2a2+2b2-c2

Биссектрисы треугольника

Определение: Биссектриса угла — это луч, начинающийся в вершине угла и делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника — центре вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   АЕАВ=ECBC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   Угол между lc и lc’ = 90°

4. Если две биссектрисы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрисы треугольника через стороны:

пусть = 2√bcp(p — a)b + c

фунт = 2√acp(p — b)a + c

lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — половина периметра треугольника

Формулы биссектрисы треугольника через две стороны и угол:

пусть = 2bc cosα2b + c

lb = 2ac cosβ2a + c

lc = 2ab cosγ2a + b

Высоты треугольника

Определение: высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадает со стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходят вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Если две высоты в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный. 1ч = 1р

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

га = 2Са

чб = 2Сбн

ч = 2 сбн

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ха=bc2R

hb=ac2R

hc=ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Окружность можно вписать в любой треугольник, и только в один.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен отношению площади треугольника к его полуокружности:

р = сп

Радиус окружности, вписанной в треугольник через три стороны:

r = (a + b — c) (b + c — a) (c + a — b) 4 (a + b + c)

Радиус окружности, вписанной в треугольник через три высоты:

1r = 1 га + 1 га + 1 га

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она содержит все вершины треугольника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон. Окружность можно описать около любого треугольника, и только одного. Свойства углов Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, вне тупоугольного треугольника, в середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности по трем сторонам и площади:

R=abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin αsin βsin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противолежащий угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

d2 = R2 — 2Rr

rR = 4 sinα2sinβ2sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 12Rr = abca + b + c

Средняя линия треугольника

Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

•  Любой треугольник имеет три средние линии2.
  Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

МН=12АС КН=12АВ КМ=12ВС

МН || АС КН || АБ КМ || До нашей эры

•  Средняя линия отсекает подобный этому треугольник, площадь которого равна одной четвертой площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

•  При пересечении всех трех осевых линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆АМК ∼ ∆АВС

∆КНК ∼ ∆АВС

∆НКМ ∼ ∆АВС

Знак. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой другой стороны треугольника, то этот отрезок является средней линией.

Примеры задач

упражнение 1
В треугольнике известны два угла: 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.

Решение
Примем известные углы за α (32°) и β (56°), а неизвестный угол за γ.
Согласно свойству суммы всех углов α + β + γ = 180°.
Следовательно, γ = 180° — α — β = 180° — 32° — 56° = 92°.

Задача 2
Даны три отрезка длины 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.

Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из рассмотренного выше свойства:
11 — 4 < 8 < 11 + 4
8 – 4 < 11 < 8 + 4
11 — 8 < 4 < 11 + 8

Все верно, поэтому эти отрезки могут быть сторонами треугольника.