Тригонометрические формулы

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, так что одна функция может быть выражена через другую (через преобразование).

Тригонометрические тождества

sin2a+cos2a=1tgα=sinαcosα, ctgα=cosαsinαtgα ctgα=1tg2α+1=1cos2α, ctg2α+1=1sin2α

Эти тождества следуют непосредственно из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.

Основные формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения позволяют перейти от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами от 0 до 90 градусов, то есть преобразовать их.

Литые формулы

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctgα+ -ctgαsinπ2 +α +2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα=tπ2-α, cosπ2-α 2πz=ctgα, ctgπ2 -α +2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπz-α α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=- tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3πα2+α+2πz,=cc =-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=- sinαtg3π2- α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Все формулы сложения в тригонометрии

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sinα±β=sinα cosβ±cosα sinβcosα+β=cosα cosβ-sinα sinβcosα-β=cosα cosβ+sinα sinβtgα±β=tgα±tgβ1±tgα tgβctgα±βgα±βg=-1±ctgα

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы для нескольких углов.

Формулы сложения.

грех (α + β) = грех α, потому что β + грех β, потому что α

грех (α — β) = грех α, потому что β — грех β, потому что α

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β

cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α tg β)

tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

ctg (α — β) = (ctg α ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы кратного угла: двойного, тройного и так далее

Формулы двойного и тройного угла

sin2α=2 sinα cosα cos2α=cos2α-sin2α, cos2α=1-2sin2α, cos2α=2cos2α-1tg2α=2 tgα1-tg2α сtg2α=сtg2α-12 сtgα sin3α=3sin3α=3sin3a=3 cos2α=3 cos2α+4 cos3α+4cos3α+ 4cos3α =3tgα-tg3α1-3tg2αctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1

Формулы двойного угла.

cos 2α = cos² α — sin² α

cos2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 — 2sin² α

sin2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)

ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла.

sin3α = 3sinα — 4sin³α

cos 3α = 4cos³ α — 3cos α

tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Читайте также: Какие моря относятся к тихому океану: особенности и месторасположение водоёмов, полный их список и характеристики

Формула синуса тройного аргумента – доказательство

Для доказательства формулы синуса тройных углов используется сумма и разность между ними. Рекомендуется использовать формулы для двойных углов. Получаем доказательство:
sin3∝ = sin 2∝ + ∝ = sin3∝ = sin 2∝ + ∝ = sin2∝cos∝ + cos2∝sin∝ = sin2∝ + cos2∝sin∝ = 2sincoscos + cos2∝ — sin∝∝*s ∝ + cos2∝ — sin2sin∝ = 3sin∝cos∝ — sin3∝3sin∝cos2∝ — sin3∝

Полученное выражение подставляется: sin3∝ = 3sin∝cos∝ -sin3∝sin3∝ = 3sin∝cos2∝ — sin3∝cos2∝cos2

Замените выражением 1-sin2∝1-sin2∝

Результат: — sin3∝ = 3sin∝ — 4sin3∝sin3∝ = 3sin∝ — 4sin3∝

Косинус тройного аргумента – доказательство

Доказательство формулы косинуса для тройных углов выглядит следующим образом:

cos3∝ = cos 2∝ + ∝ = cos 2∝ + ∝ = cos2∝cos∝ — sin2sin∝ = cos2∝cos∝ — sin2∝sin∝ = (cos2∝ — sin2∝) cos∝∝ — 2 = (cos2∝ — sin2∝)*cos∝ — 2sin∝cos∝sin∝ + = cos3∝ — 3sin2∝cos∝cos3∝ — 3sin2∝cos∝.

Аргумент заменен. Вместо 3α = cos3α — 3sin2αcosαcos 3α = cos3α — 3sin2αcosα sin2αsin2α вставляем 1 — cos2∝1 — cos2

Окончательное решение: cos3∝ = 4cos3∝ — 3cos∝cos3∝ = 4cos3∝ — 3cos∝

Поделиться в социальных сетях: 29 июня 2021, 17:03 Математика Не удалось загрузить класс xLike!

Формулы половинного угла.

1. Синус половины угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 с левой стороны. Это правило справедливо и для других приведенных ниже формул. 
2. Косинус половины угла:
   
3. Тангенс половины угла:
   
4. Котангенс половинного угла:
   
5. Выражение синуса через тангенс половины угла:
   
6. Выражение косинуса в виде тангенса половины угла:
   
7. Выражение тангенса через тангенс половины угла:
   
8. Выражение котангенса через тангенс половины угла:
   

Формулы приведения.

Функция/угол подряд.

π/2 – α

п/2 + а

π-α

π+α

3π/2 – α

3π/2 + α

2π-α

2π + а

грех

коса

коса

син

— сина

— коса

— коса

— сина

син

потому что

син

— сина

— коса

— коса

— сина

син

коса

коса

тг

ктга

–ctgα

— тга

тга

ктга

–ctgα

— тга

тга

кТГ

тга

— тга

–ctgα

ктга

тга

— тга

–ctgα

ктга

Функция/угол в °

90° — α

90° + α

180° — α

180° + α

270° — α

270° + α

360° — α

360° + α

Формулы понижения степени

Формулы приведения

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Часто при расчетах нецелесообразно действовать громоздкими силами. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции от сколь угодно большой до первой. Вот их общий вид:

Общий вид формул приведения

для четного n решения

sinnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1(-1)n2-k Ckn cos((n-2k)α)cosnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1Ckn cos((n-2k) а)

для нечетного n

sinnα=12n-1∑k=0n-12(-1)n-12-k Ckn sin((n-2k)α)cosnα=12n-1∑k=0n-12Ckn cos((n-2k)α)

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Факторизация разностей синуса и косинуса очень удобно использовать для решения тригонометрических уравнений и упрощения выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα+sinβ=2sinα+β2 cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2 cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2 cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2 sinα-β2, β=2-cosαβα

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассмотрены формулы произведения синуса, косинуса и синуса косинуса.

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα sinβ=12 (cos(α-β)-cos(α+β))cosα cosβ=12 (cos(α-β)+cos(α+β))sinα cosβ=12(sin(α-β)+ грех(α+β))

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — тангенс, котангенс, синус, косинус — могут быть выражены через тангенс половины угла.

Универсальная тригонометрическая замена

sinα=2tgα21+tg2α2cosα=1-tg2α21+tg2α2tga=2tgα21-tg2α2ctgα=1-tg2α22tgα2

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1

Это тождество является результатом применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичной тригонометрической окружности.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α-tan2α=1 или sec2α-tan2α=1.

Эта формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой частей на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α-cot2α=1 или csc2α-cot2α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (полученного из него делением левой и правой частей на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

tanα=sinα/cosα,

где α≠π/2+πn,n∈Z.

Определение котангенса:

cotα=cosα/sinα,

где α≠πn,n∈Z.

Следствие из определений тангенса и котангенса:

танα⋅cotα=1,

где α≠πn/2,n∈Z.

Определение секанса:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈Z

Определение косеканса:

csca=1/sinα,α≠πn,n∈Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > а, sinx ≥ а, sinx < а, sinx ≤ а,

cosx > а, cosx ≥ а, cosx < а, cosx ≤ а,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a,

cotx > а, cotx ≥ а, cotx < а, cotx ≤ а.

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.